《大学物理学》质点运动学练习题.pdf

精品文档 . 质点运动学学习材料 一、选择题 1质点沿轨道AB作曲线运动，速率逐渐减小，图中哪一种情况正确地表示了质点在C处 的加速度 ? ( ) ( A) ( B)( C)( D) 【提示：由于质点作曲线运动，所以，加速度的方向指向曲线的内侧，又速率逐渐减小，所以加速度的切 向分量与运动方向相反】 2 一质点沿 x 轴运动的规律是54 2 ttx（SI 制） 。则前三秒内它的( ) ( A) 位移和路程都是3m； ( B)位移和路程都是-3m； ( C)位移是 -3m，路程是3m； ( D) 位移是 -3m，路程是5m。 【提示：将 t=3 代入公式，得到的是t=3 时的位置，位移为t=3 时的位置减去t=0 时的位置；显然运动规律 是一个抛物线方程，可利用求导找出极值点： 24 dx t dt ，当 t=2 时，速度 0 dx dt ，所以前两秒退 了 4 米，后一秒进了1 米，路程为 5 米】 3 一质点的运动方程是cossinrRt iRt j vv v ， R、为正常数。从 t/到 t=/2 时间内 ( 1) 该质点的位移是( ) ( A) -2R i ；( B) 2Ri；( C) -2j；( D) 0。 ( 2) 该质点经过的路程是( ) ( A) 2R；( B) R；( C) 0；( D)R。 【提示：轨道方程是一个圆周方程（由运动方程平方相加可得圆方程），t / 到 t2/ 时间内质点沿圆 周跑了半圈，位移为直径，路程半周长】 4 一细直杆 AB，竖直靠在墙壁上，B 端沿水平方向以速度 v 滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细 杆中点 C 的速度( ) ( A) 大小为 2 ，方向与B 端运动方向相同； ( B) 大小为 2 ，方向与A 端运动方向相同； ( C) 大小为 2 ， 方向沿杆身方向； ( D) 大小为 2cos ，方向与水平方向成角。 A C B v a C A B aC A B a C A B aC A B 精品文档 . 【提示： C 点的坐标为 sin 2 cos 2 C C l x l y ，则 cos 2 sin 2 cx cy ld dt ld dt ，有中点 C 的速度大小： 2 C ld dt 。 考虑到 B 的横坐标为sin B xl，知已知条件 cos d l dt ， 2cos C 】 1-5如图所示，湖中有一小船，船在离岸边s距离处， 有人在离水面高度为h 的岸边用绳子拉船靠岸，设该 人以匀速率v0收绳，绳不伸长且湖水静止，小船的速度 为 v，则小船作( ) （A）匀加速运动， 0 cos ；（B）匀减速运动， 0cos ； （C）变加速运动， 0 cos ；（D）变减速运动， 0cos 。 【提示： 先由三角关系知 222 xlh ，两边对时间求导有 d xdl xl dtdt ，考虑到 dx dt ， 0 dl dt ， 且cos x l 有 0 cos 】 6一质点沿x 轴作直线运动，其t曲线如图所示， 如 0t 时，质点位于坐标原点，则4.5ts时，质点在 x 轴上的位置为：( ) （A）0；（B）5m； （C）2m；（D） 2m。 【提示：由于是 t曲线图，质点的位移为图中所围的面积。梯形面积为中位线乘高】 7 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为 22 rat ibtj vv v ( 其中 a、b 为常量 ) ， 则该质点作：( ) （A） 匀速直线运动； （ B）变速直线运动； （C）抛物线运动； （ D）一般曲线运动. 【提示：将矢量的表达式改写为 2 2 xat ybt ，则 2 2 x y at bt ， 2 2 x y aa ab 。可见加速度为恒量，考虑到质点 的轨迹方程为： b yx a ，质点作直线运动】 8一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度为2/m s，瞬时加速度为 2 2/am s，则 一秒钟后质点的速度：( ) （A）等于零；（B）等于 2m/s； （C）等于 2m/s； （D）不能确定。 【提示：由于质点运动的加速度是瞬时，不能判断一秒钟后质点的速度】 t(s) v(m/s) O 1 2 -1 1 2 3 4 2.54.5 0 l h x 精品文档 . 1-2一运动质点在某瞬时位于位矢( , )r x y v 的端点处，对其速度的大小有四点意见，即： （1） dr dt ； （2） dr dt v ； （3） d s dt ； （4） 22 dxd y dtdt 。下述判断正确的是 ( ) （A）只有（ 1） （2）正确；（B）只有（ 2）正确； （C）只有（ 2） （3）正确；（D）只有（ 3） （ 4）正确。 【提示：/drdt是位矢长度的变化率，/drdt v 是速度的矢量形式，/ds dt是速率， 由分量公式考虑： x d x dt ， y d y dt 知速度的大小为 22 dxdy dtdt 】 1-3 质点作半径为R 的变速圆周运动时， 加速度大小为 ( v 表示任一时刻质点的速率) ( ) （A） d dt ；（ B） 2 R ；（C） d dt 2 R ；（D） 2 4 2 d dtR 。 【提示：半径为R 的变速圆周运动可由自然坐标系的加速公式考虑。即 t d a dt ， 2 n a R 】 11一小球沿斜面向上运动，其运动方程为 2 54stt（SI） ，则小球运动到最高点的时 刻是： ( ) （A）4ts； （B）2ts； （C）5ts； （D）8ts。 【提示：小球运动到最高时速度为0，而将运动方程对时间求导可得速度表达式】 12质点沿直线运动，加速度 2 4at，如果当3ts时，9xm，2/m s，质点 的运动方程为 ( ) （A） 3 430.75xttt；（B） 4 23 2 124 t xtt； （C） 4 2 21 72 124 t xtt；（D） 3 2 72 12 t xtt。 【提示：求两次积分可得结果。（1） 3 2 0 (4)4 3 t tdttv ，将3ts，2/m s代入可 得 0 1/m s； （2） 34 2 0 ( 14)2 312 tt xtdtttx ，将3ts，9xm代入可 得 0 3 4 xm】 13一物体从某高度以 0 v v 的速度水平抛出，已知它落地时的速度为 t v ，那么它运动的时间 是： ( ) （A） 0t g ； （B） 0 2 t g ； （ C） 22 0t g ； （ D） 22 0 2 t g 。 【提示：平抛运动落地时水平分速度仍为 0，竖直分速度为 22 0t 】 14质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 时间转一周，在2t 时间间隔中，其平均速 度大小与平均速率大小分别为： ( ) 精品文档 . （A） 2 R t ， 2 R t ；（B）0， 2 R t ；（C）0， 0；（D） 2 R t ，0。 【提示： 平均速度大小指的是一段时间的位移与该段时间的比值，平均速率指的是路程与该段时间的比值， 显然 2t 时间间隔中质点转2 周，位移为0，但路程是4 R】 1-3质点作曲线运动， r v 表示位置矢量，s表示路程， at表示切向加速度，下列表达式中， （1） d a dt ； （2） d r dt ； （3） ds dt ； （4） t d a dt v 。 正确的是： ( ) （A）只有（ 1） 、 （4）是正确的； （B）只有（ 2） 、 （4）是正确的； （C）只有（ 2）是正确的；（D）只有（ 3）是正确的。 【提示：（1）dv/dt 应等于切向加速度； （2）dr/dt 在极坐标系中表示径向速度 r v，而（ 4）中dv/dt 为加 速度的大小，所以只有（3）是正确的】 16质点由静止开始以匀角加速度沿半径为R作圆周运动，如果在某一时刻此质点的总 加速度a与切向加速度 t a成45 o 角，则此时刻质点已转过的角度为： ( ) （A） 1 6 rad； （ B） 1 4 rad； （C） 1 3 rad； （D） 1 2 rad。 【由 t知vtR ，则 2 n tR a R ；而 t aR，加速度a与切向加速度 t a成45 o 角意味着 tn aa，有 2 1t；又质点已转过的角度 2 0 1 2 t dtt ， 1 2 】 17某物体的运动规律为 2d kt d t ，式中的k为大于零的常量，当0t时，初速为 0， 则速度与时间t的函数关系为：( ) （A） 2 0 1 2 kt； （B） 2 0 1 2 k t； （C） 2 0 11 2 kt ； （D） 2 0 11 2 kt 。 【提示：利用积分。考虑 2 d ktd t，有 0 2 0 t d ktdt 】 二、填空题 1质点的运动方程为 2 2 1030 1520 xtt ytt ， （式中x，y的单位为m，t的单位为s） ，则该 质点的初速度 0 v ；加速度a v 。 【提示：对时间一次导得速度1015ij vv ，两阶导得加速度6040ij vv 】 2升降机以加速度为2.2 2 /ms上升，当上升速度为3/m s时，有一螺丝自升降机的天花 板上松落，天花板与升降机的底面相距3m， 则螺丝从天花板落到底面所需要的时间为秒。 精品文档 . 【提示：考虑螺丝作初速为0，加速度为9.8+2.2=12m/s 的自由落体运动，则 21 '2 h t g 】 3一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道P点处速度大小为 ，其方向与水平方向成30° 角。则物体在P点的切向加速度 t a，轨道的曲率半径。 【提示：只要是抛体运动，加速度就一定是竖直向下的重力加速度。考虑自然 坐标系cos t aa（为切向和a之间的夹角）和 2 n a ，有sin30 t ag o ，cos30 n ag o 】 4试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情况（v0 ） ： （A）0 t a，0 n a； （B）0 t a，0 n a； （C）0 t a，0 n a；。 【提示：（A）变速曲线运动； （B）变速直线运动； （C）匀速曲线运动】 5一质点作直线运动，其坐标与时间的关系如图所示， 则该质点在第秒时瞬时速度为零；在第秒 至第秒间速度与加速度同方向。 【提示：由于速度是曲线的斜率，所以第3 秒时斜率为零也就是瞬时速度为零；从第1 秒到第 3 秒，斜率 为正，但逐渐变小，表明速度为正但加速度为负，从第3 秒到第 6 秒，斜率为负且逐渐负方向增加，表明 速度为负且加速度为负】 6一质点沿半径为0.2m 的圆周运动 , 其角位置随时间的变化规律是 2 56t（SI 制） 。 在2t时，它的法向加速度 na；切向加速度ta。 【由 d dt 知 Rd dt ，再利用公式 2 n a R 和 t d a dt 可得 2 80/ n am s， 2 2/ t am s】 7在x y平面内有一运动质点，其运动学方程为：10cos510sin 5rtit j vv v ，则t时刻其 速度v v ；其切向加速度的大小 t a；该质点的运动轨迹 是：。 v 30P / t s /x m O 1234 56 精品文档 . 【 dr dt v v 有 v 50sin 550cos5t it j vv ；而 22 ( 50sin5 )(50cos5 )50tt（与 时间无关），切向加速度 t a0；运动轨迹由 10cos5 10sin5 xt yt 消去时间求得： 22 0xy】 8悬挂在弹簧上的物体在竖直方向上振动, 振动方程为sinyAt，其中A、均为常 量, 则：( 1)物体的速度与时间的函数关系为； ( 2)物体的速度与坐标的函数关系 为。 【提示：由( ) d y t dt 有( ) tcosAt，与振动方程联立有：( )y 22 Ay】 1-4在x轴上作变加速直线运动的质点, 已知其初速度为 0，初始位置为0 x，加速度为 2 aC t ( 其中C为常量 ) ，则其速度与时间的关系( ) t，运动方程为 ( )x t。 【提示：利用积分。 0 2 0 t dCt dt ，有( ) t 3 0 3 C t，在由 0 3 0 0 1 () 3 xt x d xCtdt 有 ( )x t 4 00 12 C xtt】 10灯距地面高度为 1 h, 一个人身高为 2 h, 在灯下以匀速率v沿水平直线行走, 如图 所示。则他的头顶在地上的影子M点沿 地面移动的速度 m v。 【由三角形相似有 1 2 h x xvth ，两边对时间求导，考虑到 m dx dt 有 m 1 12 h hh 】 11如图示，一质点P 从 O 点出发以匀速率1/m s作顺时针 转向的圆周运动，圆的半径为1m，当它走过 2 3 圆周时， 走过的路程是；这段时间内的平均速度大小为； 方向是。 【由于圆的半径为1m，所以走过的路程（弧长）即为对应的角度，为 4 3 （240 o ） ；平均速度却为位 移与时间的比值，位移大小为3，用去时间为 4 3 ，则 3 3 / 4 m s；从图中不难看出，平均速 度方向30y o 与 成角向右下方】 12一质点沿半径为R 的圆周运动，在t = 0 时以 0 v的速率经过圆周上的P 点，此后它的 M 2 h 1 h x y ? O P ? 精品文档 . 速率按 0 bt( 0、b为正的已知常量 ) 变化，则质点沿圆周运动一周再经过P 点时的 切向加速度 t a；法向加速度 n a。 【利用公式 t dv a dt 和 2 n a R 可得 t ab； 222 22 000 ()2 n btbtb t a RRR ，考虑到运动 一周的时间可由 2 0 1 2 2 Rtbt 得出，代入上式得 n a 2 0 4b R 】 13以一定初速度斜向上抛出一个物体，如果忽略空气阻力，当该物体的速度v v 与水平面的 夹角为时，它的切向加速度的大小为 t a，法向加速度的大小为 n a。 【见填空第 3 题提示，得：sing和cosg】 三、计算题 1-14 一石块从空中由静止下落，由于空气阻力，石块并非作自由落体运动，现已知加速 度为 aAB v（式中 A、B 为常量），求石块的速度和运动方程。 1-22一质点沿半径为R 的圆周按规律 2 0 1 2 sv tbt而运动， 0 v，b 都是常数。（1）求 t 时刻质点总的加速度； （2）t 为何值时在数值上等于b？（ 3）当加速度达到b 时，质点已沿 圆周运行了多少周？ 3在离地面高度为h的平台，有人用绳子拉小车，当人的速率 0 v匀速时，试求小车的速率 和加速度大小。 1-6已知子弹的轨迹为抛物线，初速为 0 v，并且 0 v与水平面的夹角为。试分别求出抛 物线顶点及落地点的曲率半径。 5 质点P在水平面内沿一半径为R=1m 的圆轨道转动，转动的角速度 与时间 t 的函数 关系为 =kt2，已知 t=2s 时，质点P的速率为16m/s，试求 t=1s 时，质点P的速率与加速度 的大小。 s 0 l h x g y x g 0v 0 v x v n a 精品文档 . 1-20一直立的雨伞，张开后其边缘圆周半径为R，离地面的高度为h，当伞绕伞柄以匀角 速 旋转时，求证水滴沿边缘飞出后落在地面上半径为 2 12/rRhg的圆周上。 1-24一质点在半径为0.10 m 的圆周上运动，其角位置为 3 24t。 （ 1）求 t=2. 0 s时质 点的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时， 值为多少？（ 3）t 为何值时，法向加速度和切向加速度的值相等？ 解答 一、选择题 1C2D3 (1) B ( 2) B4D5C6 C 7B8D9D 10D 11B12B13C14B15D16D17C 三、计算题 1 解： （1）选石块静止处为原点，竖直向下方向为y 正向。 由 dv a dt 有 dv ABv dt ，则 dv dt ABv() dv dt ABv ， 积分有 1 lntABvC B 。 考虑到0t时， 0 0v，有 1 lnCA B ，石块的速度为(1) Bt A ve B ； （2）由 d y v dt 有(1) BtA d yedt B ，则：石块的运动方程为： 2 0 1 (1)()(1) 0 t BtBtBt t AAAA yedttete BBBBB 。 石块的运动方程为 2 (1) Bt AA yte BB 2 解： （1）对圆周方程求导得速度大小： 0 ds vvbt dt （注意圆周方程中是“s”而不是“ r v ” ） 精品文档 . 可利用自然坐标系得切向和法向加速度： 22 0 () t n dv ab dt vbtv a RR 则总的加速度： 4 222 0 2 () tn vbt aaab R ； 加速度与半径的夹角为： 2 0 arctan () t n aRb avbt （2）由题意应有： 4 20 2 ()vbt bb R 4 0 ()0vbt，当 0 v t b 时， a=b。 （3）当 0 v t b 时， 2 0 2 v s b ， 2 0 /2 2 v nR b ，有 2 0 4 v n Rb 3 解： d d x v t 车 ， 0 d d s vv t 人 由于绳长不变， d d dxl v dtt 车 ， 又由几何关系： 222 slh，两边对t求导有： 22 dsdl sl dtdt ，解得： 0 22 v s v sh 车 ；同理可求得加速度为： 22 0 3 22 2 dv v h a dt sh 车 。 （类似问题：在离水面高度为h 的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边s 距离处，当人以速率v0匀速 收绳时，试求船的速率和加速度大小。） 4 解： （1）抛物线顶点处子弹的速度 0cosx vv，顶点处切向加速度为0，法向加速度为g。 因此有： 22 0 11 (cos )vv g， 22 0 1 cosv g ； （2）在落地点时子弹的 0 v，由抛物线对称性， 知法向加速度方向与竖直方向成角，则：cos n ag， 有： 2 0 2 cos v g则： 2 0 2 cos v g 。 5 解：由线速度公式： R 22 1Rktkt，将已知条件代入求得k： s 0 l h x g y x g 0 v 0v xv n a 精品文档 . 22 16 4 2 k t 。P点的速率： 2 4t。P 点的切向加速度大小： d d t a t 8t。 P 点的法向加速度大小： 2 n a R 4 16t。所以， t=1 时： 2 4t4(m/s)；8 t at 2 8(m/s )， 4 16 n at 2 16(m/s )。 2222 1688 5 tn aaa 2 17.9(m/s ) 6 解：由平抛公式，水滴沿边缘飞出后落在地面上所需时间为： 2h t g ， 则落地距离为， 2h sRtR g ； 考虑到水滴是沿伞的边缘切线方向飞出，有： 22 rRs， 则 222 2 22 1 hRh rRR gg 。 7 解：可由角位置求出角速度： 2 12 d t dt ，则速率 2 1.2vRt。 可利用自然坐标系得切向和法向加速度： 24 4 2.4 1.44 14.4 0.1 t n dv at dt vt at R 总的加速度大小： 222228 2.414.4 tn aaatt； （1）当 t=2 s时， 2 2 4.8/ 230.4/ t n am s am s （2）由题意应有： 22281 2.42.414.4 2 ttt 3 3 6 t， 3 243.15 6 rad。 （3）令 4 2.414.4tt，得 32.41 14.46 t， 3 1/60.55ts时，法向加速度和切向加速度的值 相等。 s R r