2高考本源探究之函数及其性质.docx.pdf

高考本源探究一函数及其性质 函教代换 11 函数三方麹层形结台丨 I 分类爲召矗化三化后 函数是高屮数学的主线，其不仅灵活而且抽象！学好函数要把握好函数屮两种思维是直觉思维与抽象思 维, 这里分为如下五部分作介绍：一、初等函数，二、函数性质，三、函数图像，四、特殊函数，五、数学思 维. 1.1、 初等函数之二次函数 【17全国I理21】已知函数f(x) = ae 2x+(a-2)eA -x. (I )讨论f(x)的单调性； (II)若/( 兀) 有两个零点，求a的取值范围 . 【示例分析】/6) = 2de“ + (d_2)e“l,因式分解：/(x) = (c/e v-l)(2ex+ 1) 再对参数进行分类讨论，得到函数 单调性 . 【14 全国II 理21】已f(x) = e x+ex-2x. (I )讨论/( 劝的单调性； (II)设.?(%) = f(2x)-4bf(x), 当兀0 时,g(x)0,求b 的取值范围 . 【示例分析】整体思想: 视为整体 . 化简g(x) = (e 2x-e 2x)-4b(ex-ex)+(Sb-4)x 求导 gx) = 2(e 2v +严)_4如 + )+8b4 = 2? +尸 _ 曲? +)+ 4b4 =2(ex +) 2JL(e A +e x)-(2b- 2)J 讨论：依据e x + e'x2 与 2b-2大小关系分类 . 1.2、 初等断数之三次函数 【高考1 (13全国新课标10)已知函数y = x 3-3x + c 的图像与x轴恰有两个公共点，贝叱= A.2 或2 B. 9 或3 C. 1 或1 D. 3 或1 【高考2 (13新课标理10/文11)已知函数/(x) = x 3+Z?x2+cr+J, 下列结论中错误的是A. 1TOGR,有/(xo) = O B.函数/(x)的图像是中心对称函数 奇偶性 对称性 e 周期性 单凋性 扳最值 e 1 图像变 1 导数工 穿针引线 C.若如是函数/(x)的极小值点，则/(X)在区间(YO,X° )单调递减 D.若如是函数 /( 兀)的极值点，则/(xo) = O 【高考3 (14全国II文12)已知函数/(X) = OX 3-3X2+1,若惭数 /(x)存在唯一的零点勺，且兀() ，则实数d 的取值范围是 A. (2,+oo) B. (1,4-00) C. (oo,2) D. (, 1) 【例题1】( 武汉2月调研 )函数/(X) = X 3-3X2+6X -7的图像是中心对称函数，则其对称中心为_ 【分析】巧用导数处锂函数的对称中心 如图所示：设(x0,y()是函数的刈 ?称中心，且点( 兀,)、 ( 七, ) 是函数上关于対称中心対称两点，由对称性可知，函数在西、 勺处的切线斜率相等，设斜率为R 则f x) = 3x 2 -6x-6 = k , 且/ f x 2) = k 知兀、兀2是3F -6x4-6-/: = 0的两根，则占 +吃=2 = 2兀() 即姚 =1, /(x0) = /(!) =-3,知(1,-3)为函数的对称中心 . 【命题预期】(18武汉2月理12)已知直线 / 与曲线)；= X 3-6X2 + 13X-9相交，交点依次为A,5C,且IABH BC=y/5,则直线 / 的方程为 ( ) A. y = -2x + 3 B?y 2x-3 C?y = 3x-5 D?y = -3x + 2 【分析】y = x 3-6x2+13x-9 = (x-2)3+(x-2)+l, 这是不容易直接想到的，但可以借助于导数，三次函数对称屮 心的横坐标是一阶导数的对称轴横坐标( 或二阶导数的零点 )，待定系数便可很快的找到对称屮心? 即?= X 3- 6X 2 + 13X-9, y =3兀J12兀+13, y =6x-2x,知对称中心横坐标为2, 所以可得歹 =/_6疋+13兀9 =(兀一2尸 +(兀一2) + 1,此函数由f(x) = x 3+x 向右平移2单位，向上平移一单位得到， 研究直线与/(x) = % 3 +兀交点依次为 A,5 (O),C , AB=BC=yf5 , 图像关于B (O)中心对称， 设方程：y = kx. 4(无, 九) ，贝'J + =5，消元得到疋疋 +比6 = 0, 丁0=殊+兀0 试根得伙2)伙2+ + 3) = 0,即得k = 2,也即方程：y = 2x 再平移回去： / 方程：y = 2(x-2) + l = 2%-3, 故选B. 【反思】充分利用函数对称的特性：两点关于对称中心对称，则这两点处的切线平行，这样转化为研究导函 数, 将三次函数降为二次函数，利用函数与方程思想，找到对称两点的中点横坐标(二次函数的对称轴 ) ，进而 找 到对称中心坐标 . 1.3、初等函数之指数与对数函数 【高考1（05大纲III文6/理6）若? = , /? = , c =,则2 3 5 A. cb aE?b c aC. a c b 【高考2 （13 课标II理8）设a = log36, /? = log510, c = log714, A. ab0 , 0 a c 则 D. b ch D. 3y 由x,y,z为正数 , 知比1,可得x = og 2k. y = log3k . z = log5k （既顺应了题设中 “相等”，又将变量化归统一到相同变量，实现了减元，自然之道） 2x = 21og = logZ:s 3y =引og3 = log駆、5z = 51og5Z: = logZ: ?I 2兀= =| 3 3 log2r = -r两根，即 ( “分别是y = -t与y = 2,和 2 2 y = log21交点A,3的横坐标，如图：由图像対称特性可知， 交点人B关于点P对称，而易知勺 =扌，故t +t2 思路二：化异求同，函数思想解决：由2为+2“=5,即2v,-1+x1- = 0,说明西是函数 / (x) = 2 x-'+x- 的一个零点； 2 2 . (-.v2)-i 7 5 7 2?1、函数性质Z奇偶性、对称性 【高考14新课标I文5理3】/(x) , g( 兀) 是定义在R上的函数 , 力( 兀) = /(x) + g(x)，则“ f(x), g( 兀) 均 为偶函数”是“加兀) 为偶函数的” A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【高考15新课标II文12】设函数/(x) = ln(l+|x|) - 一匚, 则使得 /( 兀) /(2x 1)成立的兀的取值范围是1 +兀 A. ( ,1)B. ) (l,+oo) C. D. )( 亍+°°) 【高考16新课标III文16】已知函数 /( 兀)为偶函数，当兀 0),知其为奇函 1, x 0 数，借此可速判断分段函数的奇偶性. x 2 兀3, x 0 【例题2 (17全国I文9)已知函数/(x) = lnx + ln(2-x),则(C ) A.函数/(%) 在(0,2)上单调递增B.函数/(x)在(0,2)上单调递减 C.函数/(%) 图像关于兀=1对称D.函数/(%) 图像关于点(1,0)对称 【分析】 思路一：对称问题的代数形式入手： 发现f(2-x) = lnx+ln(2-x) = f(x), 即f(2-x) = f(x),即函数 /( 兀) 图像关于兀=1对称; 对函数求导： /(%) = -= “Z),在x G (0,2)上不单调 . x 2-xx(x-2) 思路二：化简变形，平移化归为偶函数 f(x) = lnx+ln(2-x) = lnx(2一x) = ln-(x-l) 2 + 1, xG(0,2) 而g(x) = ln(- 兀hl), 1,1)是偶函数，关于y轴对称，f(x) = g(x-l),可知函数关于x = l对称. 破解轴对称问题微课程 【引例】(07全国理14)若函数/(x) = (x + l)(x + a)为偶函数，则实数 _ ? 【分析】思路一：从代数性质上推导，对任意xeR,恒有 (-x + l)(-x+? ) = /(-x) = /(x) = (x + l)(x+a)恒 成 立，即2(a + l)x = 0,此式与变量无关，得6/ = -1； 思路二从几何图像对称性质上推导，发现/(X) = (X + 1)(X+Q)个己知的零点x = -l ,函数为偶函 数，其图像关于y轴刈?称，零点也必有一个对称零点x = L即得a = -l.( 从中你有何感触 ) 【例题3】(13全国I理16)若函数/(X) = (1-X 2)( X 2+4-/?)的图像关于直线 x = -2对称，则 /( 兀) 的 【分析】思路一：运用一般到特殊思想，挖掘特殊的点对的对称性 ( 对象函数是有两个已知零点的一元四次函数，类比二次函数轴对称知已知的对应零点必然对称) 由/(x) = (l-x 2)(x2+or+Z?),知 /(-1) = /(1) = 0,则-3, -5 也为函数零点 a , 即 /(x) = (1 -X 2)(x2 + 8x+15). b = l5 又图象关于x = -2对称得ll!x = -2是函数的一个极值点(三次函数发现一个因 式，大大降低分解因式难度) ? f (x) = -2x(x 2 + 8x+15) + (1 - %2 )(2x+8) = 7( 兀+2)(无+2 + 亦)( 兀+2亦) ?列表可看出/(x)在x = -2- 后或兀二2 +亦 时収极大值，/(2 +石)=/( 2 +厉)=16. 【再分析】利用 函数思想，转化类比二次函数求最值 同法一：知/(x) = (l x)(l + x)(x+3)(x + 5)(发现函数零点的等距，换元构造) 思路二：得 /( 无)= 3 ( 兀 + 2)3 + (兀 + 2)( 兀+ 2) 1(兀 + 2) + 1 = 9 ( 兀+ 2)2(兀+2)21 = -( 兀+2尸一5+ 16 516 (类比二次函数处理最值手段) 思路 三：回归偶函数，左右平移不改变函数的值域 (1一9)(9一3。+ 历=0 (1-25)(25-56/4-/?) =0 将函数往右平移2个单位可得 /( 兀一2) = 1 ( 兀一2)l + (x-2)(x-2) + 3(x-2) + 5 =(9-X2)(X2-1) = - (x 2-5)2 +16, 若对于再、召w D，且兀 +吃=2a , 恒有/(x() + fx 2) = 2b, 则 称 点(a,b)是函数y = /(x)的对称中心 . 若f(x) = x3 -3x2 -sin(7ix), 求 / 1 、( 2、, 4022_ 4023 砧居 2012 * 2012 * + 2012 + 2012 * 【分析一】利用对称中心的充要条件，待定中心 【分析二】利用函数平移，回归奇函数对称性 【分析三】利用求导，从一阶导函数对称轴(二阶导函数零点 ) 探寻函数对称中心 【分析四】分解函数，探寻函数对称中心 设(x) = A:3 -3x2,则g (x) = 3x 2 -6x, g (x) = 6x-6, 知g (1) = 0,而g(1) = -2 , 得函数g(x)的对称中心为(1, - 2)； 再设h(x) = -sin(7L￥),知h(x)的一个对称中心是(1,0), 所以f(x) = g(x)-h(x)的对称中心为(1, -2) ?(以下同解法一，过程略) 【反思】 1、 对称性性质在教学中多以让学生记忆的方式学习为主，这样容易使得学生对这些性质的理解不到位，仅会 生般硬套公式而不能灵活应用，陷入解题困境?如函数/(X)关于直线X = 成轴对称图形，其充要条件是/(x) = /(2d-x),学生首先想到的是代数形式，而系列点的对称才是对称性问题的本质，特殊的点对对称的图像特征 是我们破解函数对称性问题优先的思考方向. 2、 理论依据 : 设函数于 ( 兀)= g(x) + /2(兀) ，若g(x)的对称中心为(a,b), /2(劝的对称中心为(a,c),则函数/(x) = g( 兀)+ h(x)的对称中心为(a,b + c) ? 简略证明：g(x)的对称中心为(a.b),知gO) + g(2a-x) = 2b, /z(x)的对称中心为(a,c),则 力( 兀)+/Z(2G-X) = 2c , 所 以f(x) 4- f(2a -x) = g(x) + h(x) 4- g(2ax) 4- h(2a -x) = 2(Z?4- c), 即/(x) = (x) + /z(x)对称中 心为(d“ + c),得证. 但要注意，若两个函数图像对称中心的横坐标不相等，不能得出一般性结论 . 2.2、函数性质Z周期性概念及应用 【例题1】若y = /(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数(B ) A.既是周期函数，又是奇函数B.既是周期函数，又是偶函数 C.不是周期函数，但是奇函数D.不是周期函数，但是偶函数 很多小伙伴做对了，也不敢确定答案，准确地说，只是“猜”对了！ 思路一：特殊化，一般这类问题学生都是通过特殊化思想去验证的，如可举例：/(x) = sin x ,其导函数既是周 期函数，又是奇函数. 思路二一般化，由周期性知/( 兀)=于( 兀+门，对恒等式两边求导，/(x) = /(x+T)；由奇函数知/(-X)= - /(X),对恒等式两边求导，一/ ( 一兀)=一/ ( 兀)； 所以，y = f x)既是周期函数，又是偶函数( 现在总放心 了吧). 对于定义在R上的函数 /(%), 若存在正数对于任意的xeR , 均有f(x) + f(x+2a) = 2b , (/G + 2a) + /(x + 4a) = 2，两式作差得/(x + 4tz)-/(x) = 0),知T为函数 /( 兀) 的一个正周期 . 对于具有两个对称性的抽象 函数，其一定有周期性. 【命题预期】已知函数/(X)是定义在(Y),0) (0,+8)上的偶函数，当兀丘(0,+8)时, 2|A_I|-l,02 0 A. (oo, 1) B?(0,+oo) C. (1,0) D ?(oo,0) 【分析】问题看似简单，却深刻地考察函数单调性概念，很多学生认为函数是单调递减的，不等式可转化为 x+2x得出错解，问题出在哪?单调性一定是要指明区间的，这个被忽略. 【例题2(07天津文10改) 设函数 /(%) = 2/(x) x 2, x 0 * 恒成立，求实数 / 的取值范围?| 【分析】回归符号函数模型：/(x) = X 2 -sgn(x),显然函数为奇函数，且函数在 R上单调递增，根据符号函 数性质：2/(x) = 2x 2 -sgn(x) = (/2x)2 ? sgn( 2%) = /(V2x), 化归转化抽彖不等式：/(x+r)2/(x)恒 成立，可转化为/(x+r)/(A/2X)恒成立，利用单调性转化：兀Jlr对xw“,f + 2恒成立，BP(V2- l)%0 即二阶导函数 /“ (%) 在(2,3)上有一零点， 不妨设为兀 (形式上虚设，运算上代换) ， 2 有21n22-2 = 0,即2 = , hr 2 ?( B?y = /(2x-l) X * 思路一：直接研究函数 的图像公共点 知在(-oo,x0)时，/(x)0,即f(x)递增； 3 且f(0) = ln20、/(l) = 2(ln2-l)0 . x, e (0,1) G(3,4) 发现/(x)有且只有两个零点，不妨设为州, ( 形式上虚设，运算上代换)，且 . 、: 2'1 ln2 =2,22 ln2 = 2x2 知在( 一8,召)时，.f(x)0,即/( 兀) 递增；在 ( 引 吃)时，/'(兀)0,即/( 兀) 递增; /( 兀)=2A|- 兀；=r _ x；-兀 ( _ 壬) 兀| (2 _ 兀)0 且In 2 In 2 f(x 2) = 2 X2 -%2 =X2(-X2)0时图像，结合对称性画出另一侧图像： y = (x0 )( 大熟悉了，导数中基本型函数) ，)；=上竺，知其先增后减，ymax =- 0.345 , x ' e 如图( 复杂函数作趋势图像) ： 函数的“难题”是由“原味”的初等函数“灵动”组合而成的，通过函数组合教学，实现解一题通一类. 【命题预期】函y = a x-x2 (a l)恰有三个不同零点，求实数d的取值范围 . 【分析】转化与化归：研究方程+的根，也即研究y = 与y = F图像三个公共点问题 ( 此处对函数图像的准确性要求很高，儿何直观难办到). 按例题思路二的方法，分离变量，向熟悉函数转化：其l?x = 0不是方程的根， 个数，而）， =也丄口是奇函数，只需要研%x 0时图像，结合对称性画出另一侧图像: y = （x0 ）（大熟悉了，导数中基本型函数），上竺，知其先增后减，; ViX =-, x 对e / 如例题中图（复杂函数作趋势图像）：得In ? 0时，均有Ka 1）兀1（兀2妙一l）no,贝!）实数 【分析】思路一、代数法解不等式分析 设 / W = （67-1）-1（x2）, g （x） =（tz-l）x-l, /i（x） = x2-ax- 当XT+X?时，h （x） = x 2 -O ￥ -l 口向上，知/?（X）T+OO, 由条件x0时，均有（0-1）%-1（兀2-or-l）n0,知当 XT+X?时，g（x）T+oo,得。一10 知x = !是x 1 = 0的根，得a = 0（舍去）或a=. ci 1 2 思路二、图像法解不等式分析 设/（x） = （。一1）/一1（无2 一处一1）, g（x） = （Q-1）X-1,h（x） = x 2 当时，h（x） = X 2 -ax-ifl 口向上，知/2（X）T+oo, 由条件兀0时，均有（a-l）x-l（无2 ar-l）n（）,知当XT+OO时，g（x）T+oo,得G-10 由/（0） = -10 a-1 若疋=丄10,由“穿针引线”，画出/ （兀）的图像如图3,知/ 在（禺 , “）上 / （兀），由“穿针引线”，画出/ （兀）的图像如图4,知/ （兀）在（兀3，坨）上fM 0在x0恒成立，必须有且只有直线零点经过二次函数另 一零点！根据试题源头分析，解决这个问题策略是将两函数重新拆开，根据图像直观分析. 2、在平面直角坐标中，利用穿针引线法可画出解析式为乘积式( 已因式分解找到了零点)的函数的大体图像 , 仍同用“穿针引线”法解高次不等式类似，保证函数最高次幕系数为正，“遇奇直穿，遇偶折回”的原则，用 直观的图像可突破代数的抽象，解题效率得到大大提高. 4. 1、特殊函数之抽象函数 【例题1】已知函数 /( 力对任意的实数均有/( 兀+刃=/( 兀) + /(y)，且当兀0时，f(x) 0 , /(-I) = -2 ,则/(%) 在兀w -1,2上的值域为 _ ? X 【分析】用变量兀替换y,得/(2x) = 2/(x),即/(x) = 2/(-)(这还是个恒等式，用运动眼光看到是自变 量成倍数关系时，应变量也是倍数关系，好象是个正比例函数，又/(-I) = -2这时很多同学会以y = 2x作原 型函数 ) 猜测 /(x) = kx, 又/(-I) = -2,得f(x) = 2x, 检验满足兀0时,/(x) 0 , 所以/(x)在无w -1,2上的值域为x G -2,4. Y 【知识拓展】用变量兀替换y,得f(2x) = 2f(x), 即f(x) = 2/(-) ,/( 兀2) = 2/(今)，即響 =/( 今) 得字+竽“守)+/( 斜 弘); 皿)*今+硝) 对任意XpA.eR,有/(X,4-X2) = /(X,) + /(X2),即 /('于)= /(守) + /(*) 所以'( 召)+ /(心)=说明函数图像上 任意两点的中点也在此两点连线上 所以/( 兀) 图像是直线，又取丙=兀2= 0得/(0) = 0,即直线还过原点 所以f(x) = kx,(k G R)得证 . 【例题2】设函数 /( 兀) 是实数集R上的单调递增函数，若g(x) = /(x)-/(2-x),且g(K)+ g(Q0,求 证：Aj + 召2? 【分析】先判断函数g(x)的单调性： ( 抽象函数的单调性判定一般只能用单调性定义) 设任意西，七WR,且西 2 勺( 预设自变量大小关系，判断应变量大小关系是否一致) /?是实数集R上的单调递增函数，?. /( 州)2)0,得g(x l)-g(x2) = g(2-x2),即g(xl)g(2-x2)f 且g(x)为实数R上的单调递增函数，得西2 心，即西 +花2得证. 【例题3 (14天津) 已知函数f(x) = x-e x (xeR ). (I )求函数 /( 兀)的单调区间和极值；(-a),l)递增；(1,+a)递减；极大值 /(!) = -) 设eR , /( 壬)=2/(￥) (II)若X X2, = /(A：2),求证：Xj + 2 . 【分析】求导知：/(X)在( 一8,1)递增，在(1,+00)递减； 有极大值 /(!) = -,画惭数大致图像： e 结合条件f(x ) = /(x2),知()1 要证明结论兀 + 兀22 o %. 2-x , 逆用单调性。/( 兀2)/(-r,)0, 正用函数单调性：在e(0,l)上有g(x)vg(l) = 0,原命题得证 . 4.2、特殊函数之分段函数 【例题11(15湖南15)已知函数= i -, 若存在实数b,使得g(x) = f(x)-b有两个零点，则实 x,x a 数a的取值范围是 _ ? 【分析】图像直观发现分段函数性质： 【命题预期 I已知函数f(x)=|x-d|+a-丄(XG1,4),求/( 兀)最大值表达式g(a)?X 【分析】由函数口变量兀定义区间有限定，可对参数。进行分类讨论，依据是去绝对值符号： (1)当必1 时,f(x) = x-,在XG1,4±递增, 则g(a) = ； x4 267-(% + ),1 4时，/(x) = 2tz-(x + 丄) ，在xwl,4上递减，则g(a) = 2a-2 ； X 【反思】绝对值函数是高中数学重要内容，如果绝对值函数中带有参变量，那这类问题比较复杂. 其方法是先 把绝对值函数先写成分段函数形式，通过研究分段函数的“整体”图像，找到分类讨论的“界点”(依据) ，画 龙贵于点睛，分类讨论难于找界点. 4.3、特殊函数之复合函数 【例题1】设函数/(x) = 兀/ # 0 【分析】问题的内层与外层函数是同一个函数，其核心是要把/(/(tz)() 由分段函数讨论： -2 r+r -2 ,再次 同样对分段函数讨论： a0 ,亠 r 9, 得 G -2 即a0 观察外层函数图像，由/(/(a) 5 2,知f(a) -2 再观察内层函数图像，rtl /(a)-2,知*血. 【反思】解决复合函数y = fg(x)问题的核心就是如何转化为单层函数问题，转化的主要方式是由内而外的 剥离，先将内层函数整体t = g(x)换元，再转化研究y = f(t)( 其中函数的变化特点是函数t = 的值域是 函数y = /(/)的定义域 ). 5.数学思维之整体思维 4 【例题1 (17浙江理17)已知6ZGR,函数f(x) =|% + -G|+G在区间1，4上最大值为5,求实数d的取 x 值范围 . 【分析】 思路一：变量代换后分类讨论 4 令x + = t r由 xel,4,知t G 4,5J,问题转化为函数g(t)=t-a+a在1丘4,5最大值为5, 综上所述 : g(Q)= 5进行类讨论求最值 . 讨论( 二)抓住函数图像待征，优化讨论，g(t)=t-aa为V型函数，g(r)nm=maxg(4),g(5),再对 g(4)5g(5)与g(4)g(5)分类讨论 . 思路二：从不等式恒成立问题视角转化 4 4 问题转化为|x + a|+ 。55对xwl,4恒成立，即a-5x + a对无wl,4恒成立 , x x c U 4 2a-5Wx + 即兀, 根据且命题的恒成立处理原则得a-? 4 2 X d - Cl 5 Cl 【例题2】(08浙江理15)已知/ 为常数，函数f(x)=x 2 在区间0,3 ±最大值为2,则实数r的值 为? 【分析】 思路一：优化讨论 /(Q 环=max/(O),/(l),/(3),以三个值大小为依据确定讨论的界. 思路二采用整体换元，令x 2-2x=m f由 xeO,3,得me-l,3,问题转化为在me-1,3上，函数 最大值为2? 函数的儿何意义可视为数轴上两点间距离，即数轴上任意动点到区间-1,3上任意动点最大距离为2 ,只有落 在区间-1,3的中点满足题意 , 即/ = 1? 思路三：从不等式恒成立问题视角转化 问题转化为lx 2-2 兀一*2对兀w0,3恒成立，即-2“一2兀一虫2对兀 ?1,4恒成立 , t 5 2x + 2 即彳 9对 XG0,3恒成立，即 / = 1? x 2x 25/ 【命题预期】已知f为常数，函数f(x)=x 2 在区间0,3 ±最大值为2,则实数r的值为 _ ? 【分析】这时采用整体换元就充法应对了，但还是可以从优化讨论或恒成立问题转化下手. 【反思】换元法就是通过引入一个或几个新变量来替换原来的某些变量的解题方法，我们都深刻知道换元关 键 是要注意新变元定义的变化，换元仅是一种变量代换，即整体思维，但它可以把复杂函数变为简单函数， 化难 为易、化繁为简，快速实现未知向已知转换.