5函数逼近与曲线拟合.docx.pdf
第 5章函数逼近与曲线拟合 上一章讨论的是函数插值问题，通常都是用一个多项式来代替一个已知的函数，它们在 给定的插值基点上有相同的函数值，是对原函数的一- 种近似。然而，在实际应用中插值问题 仍有明显的缺点： 对于有解析式的函数而言，在其它点上误差可能很大，如龙格现象； 对于 离 散( 表) 函数而言，给定的数据点本身是有误差的，刚性地让插值函数通过这些点不仅没有意 义，而且会影响对原函数的近似程度。另外，泰勒展示也是对连续函数的一种低阶近似, 它在 展开点附近误差较小，但在展开点远处，误差会很大。 本章讨论在新的函数谋旁度最条件下的函数近似问题，对连续函数称之为函数逼近问题, 对于离散函数称之为dii线拟合问题。主要内容有：函数最佳逼近的概念，正交多项式，最佳 均方逼近少最小二乘曲线拟合问题等。 5.1 函数最佳逼近的概念 希望能有一种方法寻求出一个近似多项式，使它在整个区间上既均匀的逼近/(%), 所需 的 计算呆又小， 这就是函数逼近要解决的问题。为了刻划“均匀逼近”，设Pn(x)是定义在区间 a,b上原函数/(x)的近似多项式。我们用|/(x) -pn (x)|来度量pn(x)与/(x)近似逼近程度。这 样，自然地会有下面两种不同的度暈标准： fM- pn (x) 使丿IJ这个度量标准的函数逼近称为均方逼近或平方逼近； /W 一pn (x) = max f(x)一pn (x) 使用这个度量标准的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近o 关于一致逼近的问题，在数学分析中有以下结论。设函数/(X)在区间a,b上连续，若 0,则存在多项式P(x)使|/(x)-P(x)| 0为给定的权函数。山呼定义连续意义下的欧氏范数即2范数为 |/|2 = J(/J) = pMf(x) 2dx f G (5-4) 设有点列兀；：0 ud,b,并且a = minCxJ, b = max(x.) 0 即有 以下求均方误差p|2 = /（x）-r（x）|2o由于 X几； 俗）=（工几；0，久）=（门 S） k = 0,12 , /=0 /=0 山法方程（5-10）式，得 （门久） =（/ ，久） 从而 （/-） = 0 即/-5*与狹（兀）伙 =0,1,2,?, ）正交，故f _s*与空间span0o（兀） , , 正交, 得 （/-5*,5* ） = 0o 从而，平方谋差 =（A/）-（/,/） = |/） “0 k=0 故授佳均方逼近的均方误差为 IHL （5-11） V k=o 该定理不仅表明了最佳均方逼近函数的存在唯一性，其证明过程也给出了确定最佳均方逼近 函数/（X） = XAVW的途径是求解线性方程组（5-10）式。不过若基函数族/=0 （P3（x）,，久（X）选取不当，会遇到病态方程组的情形。 5.3.1离散点列的最小二乘拟合 在实际问题屮有时只能知道/ （兀）的一组点列坷，x 2o,而不知道/（X）的确切表 达式。已知数据木身可能是测最或实验得到的而带有谋茅，采用插值法显然不是好的方法。 将最佳均方逼近的思路应用于带权的离散点列坷，儿雋上，便得到曲线拟合的最小二乘 法。 设给定一组数据兀,y岸0，（p = span %,0,（pn（n ）：0=1'1，1'1'17，（00，00）=工叱00（心）2=5 /=0 （x0（） 0（）=工 wi 坷10）（/ ）1 2.5 , a。= % %）= 0.5 M （0（），久） 于是，（px（x） = x - 0.5 o 又有 4 0 = 0（兀） ：0 = -o.5-o.25, 0, 0.25, 0.5卩，（处 ?）=工叱“心厅 =0.625 /=0 4 （“，） =工叱兀 % （兀）2 =0.3125 , i=0 从而，（p2（x） = （x-al）（x-a0）-bi = （兀0.5）20.125。例5?6已验证了它们的 正交性。 5.3.3 连续区间上的正交多项 给定区间a,b和对应的权函数x?（x） 0 o设冇n+1个多项式 久（兀） =工4“0 k =0,1,2,?,/? 7=0 其中cf丰0 ,它们满足正交性（5-16）式, 这里（久）是连续意义下的内积，则称他； Lo 为在区间S,b上的带权p（x） 0的正交多项式序列。 定理5?6设久（兀）是在区间d,6上的带权°（兀） 0的首项系数非零的n次正交 多项式（77 1），则久（朗的n个根都是单实根，并且分布在区问0）上。 证明 设Q是久（兀）的任一根，首先证明它是单实根。当n=l时这是显然的。当”、2 时, 若&是重根或复根，则有 （Pn（兀） =（兀一Q）（兀 一Pn-2（兀） 其中，臣是仅的共辘数，pn_2（x）是次数不超过m2次的非零多项式。从而内积（久，Pn- 2） = f 0（x）（兀-&）（兀 -P：2dx =pxx-a pl_2（x）dx =f Q（x 川x_a| 几一2（%）Fdx 0 这与（pn（兀）和P-2（ X ）正交相矛厉。 然后, 证明a G （a,h） o因为（兀）又可写成 （pn（x） = （x-a）pn_ 其中，（x）是次数不超过ml次的非零多项式，由正交性得知 （0,01 ）=025 （00，? ） （0”，）= f PM（x - a）p；2 Mdx = 0 这表明线 性函数X-Q在区间d,b上变号，从而G w（d,b）。 下而给出儿个经典的正交多项式。 （1）勒让德多项式（Legendre） 在区间 -1,1上, 取权函数p（x） = 1时, 由函数族 1 dn9 A）=1，pn M = -（x2-l）n（归,2,）2 nax 可构成一个正交多项式族，称作勒讣?徳多项式，它们具有以卜性质：性质 1 （正交性） 0 m H n 2 - m = n 、2+ 1 性质 2 （递推关系） p（）（x） = l, P| （兀） =兀 (n +1)几+ (x) = (2n + V)xpn (x) - npn_x (x) (n = 1,2,) 据此可得 性质 3 几在-1,1内有n个不同的实零点，并且与原点对称。 （2）切比雪夫多项式（Chebyshev） 在区间 -1,1上，収权函数p（x） = . 1吋，由函数族 J1-/ Tn（x） = cos（n arccos x）J x lJl-x2 2 , dx取得最小 值。 12.利用最小二乘法原理，求才盾线性方程组 XtX2 = 1 v 兀 兀2 = 2 2西_兀2=1 近似解。 13.求/(x) = sin(),x G 0,0.1在空间 ? = spanl,x,x 2 ± 的最佳均方逼近多项式，并给出均方 误差 (利用3种方法 ) 。
