[中学联盟]浙江省绍兴县杨汛桥镇中学八年级数学下册：期末复习四平行四边形.docx.pdf

期末复习四平行四边形 复习目标 要求知识与方法 了解 多边形的概念，多边形内角和公式，外角和 平行四边形的概念，四边形的不稳定性，平行线之间距离的概念 中心对称概念及性质 三角形中位线的概念及性质 反证法的含义及基本步骤 理解平行四边形的性质与判定 在直角坐标系中求已知点关于原点对称的点的坐标 会用反证法证明简单命题 运用作简单图形关于已知点中心对称的图形 用平行四边形的判定与性质解决有关图形的论证和计算等问题 综合运用三角形、平行四边形相关知识解决实际问题 必备知识与防范点 一、必备知识： 1. 四边形的内角和等于_ , 外角和等于 _ ?n边形的内角和等于_ , 外 角和等于 _ . n边形对角线条数为_ . 2. 屮心对称图形的性质：对称屮心平分连结两个 _ 的线段 . 在直角坐标系屮，点 （x, y） 关于原点对称的点为 _ ? 3. 夹在两条平行线间的_ 相等，夹在 _ 间的垂线段相等 . 4. 平行四边形的性质：平行四边形对边_ : 对角_ : _ 互相平分 . 5. 平行四边形的判断：一组对边_ 的四边形是平行四边形；两组对边_ 的四边 形是平行卩 q边形；对角线 _ 的以边形是平行四边形 . 6. 三角形的中位线_ 第三边，并且等于第三边的 _ ? 7. _ 一般先假设命题不成立，从假设出发经过推理得出和_ 矛盾，或者 与 _ 、 _ 、 _ 等矛盾，从而得出假设不成立是错误的，即原命题正确. 二、防范点： 1. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行边形； 2. 反证法与举反例有着本质的区别，反证法是证明真命题，而举反例是证假命题. 例题精析 考点一 多边形内角和、外角和 例1 (1) 一个多边形的外角和与内角和共1620°, 则这个多边形的边数是_ . (2) 一个多边形除一个内角Z外，其余各角Z和为2570°, 则这个内角是 _ . 反思：n边形的内角和必为180°的倍数，少一个内角或多一个角的问题可以用180°的整数倍去解决问题 . 考点二平行四边形的判定与性质 例2如图，四边形ABCD的对角线相交于点0,下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( ) A. OA = OC, OB = OD B? ZBAD=ZBCD, ABCD C. AD/BC, AD = BC D. AB = CD, AO = CO 例3如图，在ZZVABCD中，点E, F在对角线BD ± ,且BE = DF,求证: (1) 四边形AECF是平行四边形； (2) AE = CF. 反思：本题从U7ABCD性质入手，判定四边形AECF是平行四边形 . 本题证明方法多样，也可不添线， 用一组对边平行且相等或两组对边相等来证明. 考点三三角形中位线定理 例4 ( 宜昌屮考 ) 如图，要测定被池塘隔开的A, B两点的距离 . 可以在AB外选一点C,连结AC, BC,并分别找出它们的中点D, E,连结ED.现测得AC=30m, BC=40m, DE=24m,则AB二( ) A. 50m B. 48m C. 45m . D. 35m 例5如图，在平行四边形ABCD屮，对角线AC、BD交于点0, BD=2AD, E、F、G分别是OA、OB、 CD的中点，求证： (1) ED丄CA； (2) EF=EG. 反思：中点 +等腰三角形联想三线合一，中点+直角联想斜边中线定理，中点+平行联想两三角形全等， 两个屮点想到屮位线定理. 考点四与平行四边形有关的计算 例6探究：如图1,在平行四边形ABCD的形外分别作等腰直角AABF和等腰直角AADE, ZFAB = ZEAD = 90 °, 连结AC、EF,在图屮找一个与AFAE全等的三角形，并加以证明. 应用：以 U7ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图2,连结EF, GH, IJ, KL.若U7 ABCD的面积为6,则图中阴影部分四个三角形的而积和为_ . 反思：本题证 FAEAABC (SAS)难点是证ZFAE=ZABC,主要从周角入手 . 在应用中关键是找到阴影三角形 与之全等的三角形，如 FAE9ZXABC, ALDKABCD.类似地，若将等腰直角三角形变成等边三角形 ( 见第 四章专业提升二第4题) ，方法也相似 . 考点五平行四边形的拓展探究 例7在同步4.44.6复习课中我们曾做过以下题目： 如图，在RtAABC中，ZC=90 °, 以AC为一边向外作等边三角形ACD,点E为AB的中点，连结DE.求证： DE/7CB? 变式 1：如图，在RtAABC中，ZC=90 ° ,以AC为一边向外作等腰ZACD,且AD=DC,点E为AB 的中点，连结DE.求证：DECB； 变式2：如图，在RtAABC屮，ZC=90 °, 以AC为一边向外作等腰ZACD,且AD=DC, DA丄AB,以 AB为一边向形外作等腰AABF,且AF=BF, ZFAB=ZCBA.点E为AB的中点，连结DE.求证：DE=AF. 反思：将 做过的题冃进行分类整理，融会贯通是一种良好的学习习惯. 考点六 坐标平面内的平行四边形 例 8在平面直角坐标中，有点0 （0, 0）, A （-1, 1）, B （2, 2）. （1）求点C,使以0、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形. ?1(-1, |)? y ? (2?2) : （2）如图，连结 OA,过点B作直线lOA,分别交x轴、y轴于点D、点E,若点Q在直线I上, 在平面直 角坐标系中求点 P,使以0、D、P、Q为顶点的四边形是菱形 . 反思： （1）坐标平面内的平行四边形各顶点横坐标之和相等，纵坐标之和相等；（2）寻找菱形，转化 为寻找等腰三角形，把复杂问题简单化. 校内练习 1.（葫芦岛中考）如图，在五边形ABCDE中，ZA+ZB+ZE=300 ° , DP、CP分别平分ZEDC、Z BCD,则ZP的度数是（） 2. 用反证法证明“已知a|a|,求证：a必为负数”时第一步应假设 _ . 3. 如图，桩口 ABCD4 4, AB=6, BC=10, 对角线AC丄AB,点E、F 在BC、AD 上，且BE=DF. (1) 求证：四边形AECF是平行四边形； (2) 当四边形AECF是菱形时 , 求BE的长； 当四边形AECF是矩形时，求BE的长. 4.如图，P是AABC的边AB上一点，连结CP, BE丄CP于点E, AD丄CP,交CP的延长线于点D, 试解答下 列问题： (1)如图 1所示，当P为AB的中点时，连结AE, BD.求证：四边形ADBE是平行四边形； (2)如图2所示，当P不为AB的屮点时，取AB屮点Q,连结QD, QE.求证： QDE是等腰三角 形. 参考答案 期末复习四平行四边形 【必备知识与防范点】 1.360 °360°(n-2) X180°360° “ 一 3) 2 2. 对称点 ( ?x,?y) 3. 平行线段两条平行线 4. 平行且相等相等对角线 5. 平行且相等平行( 或相等 ) 互相平分 6. 平行于一半 7. 反证法已知条件定义基木事实定理 【例题精析】 例1 (1) 9 (2) 130 ° 例2 D 例3 (1)连结AC交BD于点0, I?四边形ABCD为平行四边形， ?.OA二OC, OB=OD. OE=OF.?四边形AECF为平行四边形 . VBE=DF, (2)、： CJ AECF,?AE = CF. 丄AC. (2) V DEI AC, G 为CD 中点,/. EG=O.5DC,又TE 为OA 中点,F 为OB 中点，AEF=O.5AB,又LJ ABCD,? ?.AB = CD,? EG = EF. 例6 探究：AFAEAABC,理由：AF=AB, AE=AD = BC, ZFAE = 360° 2X90°一ZBAD = 180° -ZBAD=ZABC, A AFAEAABC (SAS)? 应用：12. 例7变式1：证明与原题类似，可用两种方法证明. 方法一：连结CE,证DEA9ZSDEC (SSS),利 用三线合 一得 DE丄AC,又AC丄BC,?DEBC；方法二：延长AD交BC延长线于点G,通过证DE 是AAGB的 中位线得平行 . 变式 2：连结FE, TAF = BF,点E 为AB 中点，.IFE丄AB,又AD ±AB, ?.FEAD, VZFAB=ZCBA, ? AFBC,由变式1得：DEBC, ?.AFDE, 四边形ADEF为平行四边形，ADE = AF. 例8 (1) C (1, 3)或C (3, 1)或C (-3, -1)； (2)寻找0、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，先寻找厶。?为等腰三角形，再确定点P.当DO 为月 要，Qi (0, 4), Pi (4, 4) ； Q2(4-2 V2 , 22 ), P 2 (-22 , 22 )； Q3(4+22 , 一2 迈), P3(2V2 , -2V2 ).当DO为底吋， Q)(2, 2), P4 (2, 一2)?故这样的点P有4个，它们是Pi (4, 4), P2 (-2V2 , 2V2 ), P3 (2V2 , -2V2 ), P4(2, -2). 【校内练习】 1. A 2. aO 3. (1)证CE = AF, CEAF得四边形AECF是平行四边形； (2)BE = CE = 5时，四边形AECF是菱形；BE = 3.6. 4. (1) TP 为AB 中点， ?AP二BP, TBE丄CP, AD丄CP, A ZADP=ZBEP=90° , VZAPD=ZBPE, ?在AADP 和ZSBEP 中：ZAPD=ZBPE, ZADP=ZBEP, AP=BP, AAADPABEP (AAS),.DP二EP, ?四边形ADBE是平行四边形； (2)如图，延长DQ 交BE 于F,?.?ADBE, A ZADQ=ZBFQ,在AADQ 和ZBFQ 中， ZADQ二ZBFQ, ZAQD二ZBQF, AQ二BQ,? ， .AADQABFQ (AAS),? DQ=QF, VBE ±DC,?'.QE 是直角三角形 DEF斜边上的中线， ?QE=QF=QD,即DQ=QE, .?.QDE是等腰三角形 . 第 4 题图