《经济数学》第1章函数极限与连续.doc.pdf

第1章函数、极限与连续 1? 1函数 在自然现象、经济活动和工程技术屮，往往同时遇到儿个变量，这些变量通常不是孤立的，而是 遵循一定规律相互依赖的，这个规律反映在数学上就是变量与变量Z间的函数关系。关于函数的有关 知识，已在屮学数学小作了介绍，本节仅就其中的一部分作简要的叙述, 并作必要的补充。 1.1.1函数的概念 1.函数的定义 定义1-1设某一变化过程屮有两个变量/ 和y,如果当变量 / 在其变化范闱内任意取定一个值时，变 量y按照一定的对应法则有确定的值与它对应，则称x的函数，记作y= f（力。其屮 / 叫做自变量，y 叫做因变量。 如果自变暈 / 取某一数值y时，函数y有确定的值和它对应，就称函数在点心有定义。在一般情 况下， 使函数有定义的自变量取值的集合， 称为函数的定义域 , 它一般是数轴上的一些点的集合（区间）， 在实际问题屮，还应结合实际意义来确定函数的定义域。自变量取定义域内某一值时，因变暈的对应 值，叫做函数值。函数值的集合叫函数的值域，它是由定义域和对应的法则决定的。 如果对于定义域内任一个自变量的值，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫 做单值函数 , 否则，就叫做多值函数。木书所讨论的函数，如果没有特别指出，均指单值函数。 例1-1求函彎 = _2x 的定义域，并与函数f 2（x） = x-2 比较它们是否表X 示同一个函数？ 解 久 （兀）的定义域是XHO的一切实数，BP （-00,0 ）U （0,+oo ） ；而厶（兀）的定义域是（-00,4-00 ） 0 由于齐（兀）与 /2（尢）的定义域不同，故（兀）与Z（X）不表示同一个函数。 说明决定函数的两要素是定义域和对应法则，因此，两个函数只有在它们的定义域和对应法则都 相同时，才认为是相同的。 2.分段函数 表示函数的方法通常有公式法、列表法和图示法三种。 用公式表示函数时，一般用一个式子表示一个函数。有时需要用儿个式子分段表示一个函数，即对于 口变量不同的取值范圉，函数采用不同的表达式，这种函数叫做分段函数。 例如： 1 (0VxW5), 及y = v 0 (x=0), -1 (5f（A2） 成立，则称函数y= f （力 在区间（曰，b）内是单週増加（或单週减少）一的，而称区间（日， b）为单调增加（或单调减少）区间。 例1-3判别函数/ （x） = l-x 2. 的单调性，并写岀其增减区间： 解：对于 （2）/ （劝=*（/+ 厂）； （3） / （x） = - + l. 解（1）因为f （-x） = （-x ） 3 = -x3 = -/ （x）,所以/ （x） = x 3 是奇函数。 （2）因为/ （-X）= -a x + 1 = 4- 6Z- r ） = / （x）,所以（兀） =+ （/+ 盯）是偶 函数。 （3）因为= 既不等于一 / （兀），也不等于/ （X）,所以/ （X）= 1 +1 是非奇非偶函数。 % 3.函数的周期性 定义1-4对于函数y=f （Q,如果存在一个常数T（7H0 ）,使得对于在其定义域内 的所有尢都有 / （+） = / （兀） 成立，则称y二f （Q是周期函数，而称7'为函数的周期。通常，我们把周期函数的最小正周期简称 为周期。 例如，函数y = sinjr和y二cos”都是以2兀为周期的周期函数，函数y二七前 / 和卩= cox都是 以Ji为周期的周期函数。 4.函数有界性 定义1-5对于定义在（日，b）内的函数y二f （x）,如果存在一个正数使得对于 （曰，b）内的所有尢都有 |/ （兀） | 成立，则称y- f（）在（已，方）内是有界的。如果这种必不存在，则称y= f（）在（曰，b） 内是无界的。 例1-5因为对于任意孔（°° , +8 ）,都有sinx W1,所以，y- sinr在（一 8, +8 ） 内是有界的。而函数，=丄 在区间（0, 1 ）内是无界的，因为不存在这样的正数甌使丄W 兀 x 对于（0, 1 ）内的所有“都成立；而y二一在（1, 2 ）内是有界的，因为存在着这样的必 1 兀 （例如必=1）使 W財对于（1, 2 ）内的所有 / 都成立。 1. 1.3复合函数与初等函数 1.反函数 定义1-6设函数y = f（）的定义域是（a,力），值域是（c, 若对于（c, cD 中的任一个y值， 都有唯一的（日, b）,使得 f 3 = y 成立，这时也是y的函数，称它为厂f 3 的反函数 , 记作x=f'y ）o这时，称厂f （力为直接函数。 由定义可知， 反函数x=fy ）的定义域是直接函数的值域， 而反函数的值域是直接函数的定义域。 习惯上，常用/ 表示自变量， 而把y表示因变量。 因此，经常把反函数x = /-* （￥）仍 记作y = fx ） 0 例1-6求下列函数的反函数： 小兀_1 （1） y = ; 兀+ 1 （2） = 10 r+2 ? 解（1）等式两边同乘以 / +1,得 xy+y = x-l, x（l - y） = 1 + y, 则“乂 i-y 故， = 的反函数为兀 =土，习惯上写成 ,=1±兰。 兀+1 l-y -x （2）等式两边同取io为底的对数，得 lgy = x +2, x =lgy 2,记作y =lgx 2, 即y = 10X+2的反函数为y = lgx-2o 反函数是相对的，例1-6 （2）屮y = gx-2是y = 10用的反函数，而）， =10也 也是y = lgx-2的反函数 . 此外， 互为反函数的两个函数的图形对称于直线y =又 2.基本初等函数 下面六类函数统称为基木初等函数: (1) 常函数 y 二 二 C（C为常数）； (2) 幕函数 y 二 1 二 X （日为实数）； (3) 指数函数 y 二 二日 丫 ( 日0,且aHl); (4) 对数函数 y= log. x ( 臼0,且aHl); （5）三角函数y = sinx,y = cosx,y = tanx,y = cotx,y = secx,j = cscx； （6）反三角函数y = arcsin x, y = arccosx, y = arctan x, y = arc cot x . 上述这些函数已在屮学数学屮作过较详细的讨论，下面就其图象和性质作简要的复习。 （1）常函数：y = c（c为常数） 它的图形是一条平行于 / 轴且截距为c的直线，见图1一3。 其定义域是（8, +8 ）。 （2）幕函数：y = x（曰 w斤） 它的图形和性质随曰的不同值而不同，但不论曰取何值， 它在（0, +8）内总有定义，而且其图形都过点（1, l）o 图1 - 3 当曰0时，它在第一象限是增函数，其第一象限的图形如图14所示；当已0时, 它的定义域 是/H0,且在第一象限是减函数，其第一象限的图形如图1一5所示。 图1一4 图1一5 图1一6 （3）指数函数 y - a（曰0,且曰H1）, 特别当a - e =2. 718 28时为y = e x. 它的图形如图16所示。其定义域是xw （8, +8 ）,值域是yw （0, +8 ）,当已1时，函数单 调增加；当0曰1时，函数单调减少。无论臼1或0 c? 1,函数的 图形都过点（0, 1 ）,且以 廿轴为渐近线。 （4）对数函数 y= loga x（c?0,且日Hl）,特别当a =10时，y = IgA ：称为常用对数，当a =e时，y = In兀 称为口然对数。 它的图形如图17所示。其定义域是孔（0, +8）, 值域是胆（一8, +8）。当曰1时，函数单 调增加；当0曰1时，函数单调减少。无论臼1或0 c? 1,函数的 图形都过点（1, 0 ）,且以y 轴为渐近线。 对数函数与指数函数互为反函数。 图1一7 图1一8 图1一9 (5)三角函数 三角函数有正弦函数y = sinx、余弦函数y = cosx.正切函数y = tanx、余切函数 y = cot兀、正割函数y = sec兀和余割函数y = esc兀。 正弦函数y = sinx的图形如图18所示。其定义域是 ( 8, +8),值域是唱 1, 1。它是奇函数，即sin(-x) = -sin ；是周期函数，周期7'=2 n ；是有界函数，|sinx 当八z 仃 时(kwZ ,下同) 是单调增加的；当2 + -,(2 + 1) + - 时是单调减少的。 余弦函数y = COSX的图形如图19所示。其定义域是JLW (8, +8), 值域是yw 1,1。它是偶函数，B|Jcos(-x) = cosx；也是周期函数，周期7' =2 “ ；是有界函数，|cosx| W1 ；当 兀) 时是单调增加的，而当兀0(23,(2比+ 1)龙)时是单调减少 的。 正切函数y = tan兀的图形如图1 10所示，其定义域是xH(2k + l)兰的实数； 它是奇函 2 ( 兀 数，即tan(-) = -tan ；也是周期函数，周期T = TT；当xw (2 -1)二，(2 + 1)亍 时 是单调增加的。 余切函数y = cot无的图形如图1 11所示。其定义域是x$k 兀的实数；它是奇 函数，B|J cot(-) = -cot ；也是周期函数，周期T = TT；当兀G伙込伙 + 1)龙) 时是单 调减少的。 (6)反三角函数 反三角函数是三角函数的反函数，有反正弦函数j = arcsine 反余弦函数y = arccosx 反正切 函数y = arctanjc和反余切函数y = arc cot x o 反正弦函数y = arcsin x的图形如图1 12所示。其定义域是沱 1, 1,主值区间 ( 值域) 是一彳冷，它是单调增加的，是奇函数，即arcsin(-x) = -arcsinx1且无限趋近于1时，函数的值无限地接近常数2,即函数f ( 力的右极限存在，且有 lim /(x) = lim 2 = 2. XT广XT广 从本例的解题过程中可以看出，由于fg的左、右极限不相等，即在兀T1的过程 中f (0不 趋近于某一个常数，因此，当兀T1时，函数fix)的极限不存在。 实际上有下面的结论： lim f(x)=A lim f(x)=A且lim f(x)=A. XTX。X-X0- XTX()+ 由定义可得lim x = x( XT% f(x)= 2x-l,xl 1.2.2无穷小量与无穷大量 1.无穷小量 定义1-11如果当XTX。( 或XToo)时，函数 / (%)的极限为零，则称f5当 兀TX。( 或兀Too) 时是无変小量 , 简称无穷小。 例如，当兀TO时，由于2儿x sin/都趋于零，所以当XT0时，2x、#、sin都 是无穷小 量。 可以验证，无穷小量有以下性质： 性质1有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量； 性质2有界函数与无穷小量之积为无穷小量。 例如，对于/(x) = x 2 cosx , 当兀一0时，F是无穷小量，且rtl于cosx Wl, BJ cosx 为有 界函数，rtl性质2知/(x) = x 2 cos 无是无穷小量。 2.无穷大量 定义1-12如果当XT%。( 或兀Too)时，函数的绝对值无限增大，则称f (%)当x xQ ( 或x °° )时是无宠太量 ' 简称无穷大，记作lim f(x) = °° ° XTXO 例如，对于/(x) = ,其图形如图120所示。 x-1 从图中可以看出，当才从心=1的左边或右边无限趋于1时， f ( 力 向下或向上无限地远离 / 轴，因此，当XT1吋=7 X-1 是无穷大量。 从这个例子还可以看出，当XT1时，X1是无穷小量，而X -1 的倒数是无穷大量。一般地，无穷小量与无穷大量有如下关系：图1 20 无穷大量的倒数是无穷小量；非零的无穷小量的倒数是无穷大量。 3.无穷小量的比较 无穷小量都以零为极限，但是不同的无穷小量趋于零的快慢速度不一定相同。为了说明它 们趋于零的快慢程度，我们给岀无穷小的阶的概念。 设当XT*。( 或无Too )时，a、3都是无穷小量，如果lim? = 0,则称a是比B较高阶的无 穷小量 ; 卩 CY 如果lim-= oo,则称a是比B较低阶的无穷小量 ; P (X (3)如果lim二c ( 常数cHO),则称a和B是同阶无穷小量； (1) 特别地，当0=1时，称a与B是等价无穷小量 , 记作厂 3。 片3 lim = limx 2 = 0 JTTO % XT ° 例如，当X T 0时，八3x、/ 等都是无穷小量。由于 时，“是比x较高阶的无穷小量；由于lim = 3 ?所以当 XT 0时，与x是同阶的无XTO % 穷小量。 1.2.3极限的运算 设当兀TA ：o ( 或兀Too)时，lim W() = A,limv(%) = B,则有下列极限的运算法则成立： 法则1 法则2 limw(x) ± v(x) = lim w(x) ± lim v() = A±B; limw(x) ? v(x) = limw(x) - lim v(x) = AB; 法则3 恤心)=lim心)/ v(x) limv(x) B 注上述法则对于有限个函数的情况同样成立。 由法则2可得到如下推论： 推论1 hmKu(x) = Khmu(x) = KA (K为常数 ); 推论2 limu(x)“ = A n ( 刀为正整数 ) ； 推论3 lim 班兀)% = limu(x)% = ( 刀为正整数，A0)o 利用极限的运算法则，可以进行极限的运算。 2r 2 -1 例1-27 求lim -. ?22 3x4 -2 解 因为lim(3x + 2) = 31im+ lim2 = 3x2 + 2 = 8 0，所以 XT2 XT2 XT2 Hm 2x 2 - 1 _ 四(2/ -1)_ 2(1 慫x)2 1 一2x21 _ 7 段3兀 + 2 - lim(3x + 2) - 8 - 8“8* XT2 x 2 9 例1-28求i円一? XT3 X-3 分析 由于lim(x-3) = limx-3 = O,故不能直接用法则3求解。因为分子(x 2-9) XT3 XT3 含有因式 ( 兀-3),注意到XT3及XH3,故可以先约分后再求得原极限值为6。 本题的解答请读者自己完成。 2r 2 - 5 IX 丫 厶人J 求lim- - -3X 分析 当兀Too时，分子 . 分母都是无穷大量，其值不能确定。但若用#同除分子 . 5 3 5 3 分母后，可分别得到2-一及5- 二 当兀Too时，=及都是无穷小量，故可求得原 X x X 极限值。 木题的解答也请读者自己完成。 ，所以当兀TO 例1-29 lim(x 2 -5x + 4) = 0, XTl lim(2x-3) = 一1, XT1 根据无穷小暈与无穷大量的关系，得 例HI 求 Hmsinx XT8 X 分析当兀TOO时，分母和分子的极根都不存在，故不能利用商的法则进行计算，若把sin 兀 兀1 1 .、 看作是一与sinx的乘积，因为当Too时一是无穷小量，而sinx是有界函数，故利用无 穷小量的性质2,即可得出结果。 解 当JCTOO时，丄O'即 丄是无穷小量。又|sin兀|W1, BP sin x是有界函数。根 X X 据无穷小量的性质，得 sinx 1 . 八 lim - - = lim -sinx = 0. 入 T8 兀XT?兀 注意上式不能写成 sinx v 1 v ? 八 lim - = lim ? lim sin x = 0, X XT8 兀 XT8 因为lim sinx不存在。 XT8 1.2.4两个重要极限 1 ?极限存在的准则 在讨论极限问题时，有时只需判定极限是否存在，即判别敛散性。下而给出判别极限存在 的两个准则。 准则1 （夹值進则）对于函数 / （劝、俠朗、巩兀），如果当兀仏（或兀00）时, 总有 / （兀）W0 （兀）W g（x）成立，且lim/ （x） = limg（x） = A, 则 lim （x） = A. 准则2 （单调有界准则）如果数列儿单调有界，贝叮腔儿必存在。 例1-30 2x-3 2x-3 lim - = 8. XTI 兀_ _5兀 + 4 X00 (2) 说明 XT8 1 - cos 2x lim - XTO X 2 2sirr 兀 lim - - - XTO JT =2 lim ? 2 sinx XTOX丿 2xl 2 =2. limll + 丄 兀丿 (1-2) 公式（1-2）屮, 如果令z二一, 则当X OO时,Z0, % 因此, 公式(1-2) 可以改写成如下形式 : lim(l + z) 3 = e ZT() (1-3) 例1-33求下列各极限 : lim| 1+-; nJ “T8 I (2)lim(l-3x) ; . XTO fi+r n 2变换成 / 1 % 丿 分析（1）比较题目与公式（1-2）可知， 则可利用公式（1 2 ）求得原极限值为。 （2）比较题目与公式（13）可知，如果把（13Q改写成1+ （3无） , 同时又 1 1 / 八 把函数的指数一换成r - ?（ -3）,即 x -3x 则可利用公式（1-3）求得原极限值为 2.两个重量的极限 利用极限存在的两个准则，可以得到在经济管理活动和工程技术中经济用到的两个重要极 限。 例1-32求下列各极限 : “、 r sin3x (l)- l im ； XT° X （1）可以把3 / 看作一个新变量，且当 XTO时，3XT0,故 sin3x 3sin3x sin3x lim - - = lim - = 3 lim - = 3 ? XT ° X XT0 3 兀 （2）利用三角公式先变换后再求极限，得 (1) sinx lim XTO x (1-1) XT0 3% =1. 1+- n 如果把题屮数列 习题1.2 1.作出下列各数列的图形， 限值是多少？ 观察其变化趋势，说明数列的极限是否存在？若存在，极 儿=2 +丄；n 儿=（-1 ）“缶 2x（OWxV 1 ）, 2.设函数 = （ipv2 ）试作出其图形，求岀当兀T1时，/ （兀） 的 左、右极限，并说明当XT 1时，/ （X）的极限是否存在？ 3.指出下列各函数在所示的变化过程中是无穷小量还是无穷大量? (1)100兀2(兀TO); 兀2 +1 (2) (% 3); % -9 4.计算下列极限： (1) lim(3x 2 -5x4-2); XT_2 兀2 _3 (3) lim; XT2 X-2 /_ (5) lim； 兀-8 2兀? -% 1. 1 + 2 + 3 + + ( 一1) (7) lim 9； cos 2 兀 x 2 -3 (2) lim ; 仝X+1 / 八. 牙 2牙+1 (4) lim； XT1 JT 1 兀2 +兀 (6) lim 4 ; x _ 3兀一一1 (8) lim (X + ，Z)2 “ x2 D h (lO)limxsi n 丄. XT() 兀 5-求下列各极限 : 2 (5)lim(l-x) 7; XTO lim XTO sin 3x 2x (3) lim XTO 1 一cos 2x xsinx tan 4x (2) lim - ; XTO %sin2x XTO sin 5x 1.3函数的连续性 自然界的许多现彖的变化过程，例如气温的变化、时间的流逝、动植物的生长等 等，是连续不断的过程。这种变化反映在数学上，就是函数的连续性。本节主要学习连续函数的概念 和性质。 1.3. 1连续函数的概念 1.函数的增量 定义1设变量从它的初值改变到终值“2,则终值与初值之差一口称为变量的增量( 或改变 量) 记作 Au = u 2 - w,. 从而 u2 = u x 4-Aw. u可正可负，当比0时，表示变量 “从弘增加到血当“O x- ?xo XTXO 于零时，相应的两数增量Ay也趋于零 , lim Ay = lim /(x 0 + Ax) - f(xQ) = 0 ， AXTO AXTO 则称 因而，函数在点心处连续的定义可用另一种方法叙述。 定义3设函数y = /(兀) 在必处及其附近有定义，如果当兀时，/( 兀) 的极限存 在，且等于函 数值/( 兀° ), 即 lim/(x) = /(x 0), 则称函数y =广( 兀) 在必处连续。 由定义3可知，函数y = /( 劝在必处连续，必须同时满足下面三个条件： (1)函数y = f(x)在必处及其附近有定义； (2)当XTA ：。时, 极限lim /(x)存在； (3)lim /(x) = /(x 0) 如果上而三个条件屮有一个不成立，则函数y = /(x)在必处不连续，这时称禺为函数 /( 劝的 间断点。其中，凡是左、右极限都存在的间断点叫做第一类间断点，其余的间断点叫做第二类间 断点。 例1-35讨论函数 (% 0) 在/ 二0处的连续性。 解 因/(0) = 1,即/(x)在点*= 0处及其附近有定义，rtim/(x)= lim(2 + %) = 2 和!im/(x)=lim(3-cosx) = 2,得lim/(x)在且等于2,但/(x) /(0),所以 /( 兀) 在点/ 二0处不连续，即 / 二0是/( 兀) 的间断点。 从定义3还可以看岀，如果函数 /( 兀) 在点从处连续，求lim.f ( 沏值时，只需将 / 兀一0 中的自变量 / 用心代替，即 /( 兀0)就是所求的极限值。因此，对于连续函数，极限符号与 函数符号可以交换，即 lim f(x) = /(lim x) = /(x 0). .r .r 0 -r A0 定义4如果函数y = /(x)在点从处的左极限等于 /( 劝在该点的函数值 /( 兀o),即1型/(%) = /( “) ，则称函数y = /(兀) 在点y处左尊；如果y = /( 劝在点必处的右极限.VA0 等于/( 兀0)，即lim /(x) = /(x 0) 则称函数 /( 兀) 在点必处石遜。 定义5如果函数/(x)在开区间 ( 已，b)内的每一点都连续，且在点/ 二曰处右连续 , 在点 / 二b 处左连续，则称函数/(x)在闭区间曰，如上连续，这时称2,切为函数的连续区间。 1.3.2初等函数的连续性 由极限的运算法则和连续函数的定义，可以得到以下关于连续函数的运算法则。 2 +兀 3-cosx 法则1有限个连续函数的和、差、积、商（分母不为零）也是连续函数。 法则2有限个连续函数的复合函数也是连续函数。 法则3单调增（减）的连续函数的反函数也是单调增（减）的连续函数。 应用连续函数的运算法则可以得到： 所有基本初等函数在各自定义域内都是连续函数。 rh极限的运算可知，多项式在（,4-00 ）内是连续的；有理函数在分母不为零时也是连续函 数。 因此，我们得到一个非常有用的结论： 一切初等函数在其定义区间内是连续的。 例1-36 求lim sin x 2 解因sinx是初等函数，故 71 lim sin x = sin（lim x ） = sin = 1. XT 兰X-2 2 2 1.3.3闭区间上连续函数的性质 为了今后的应用，我们介绍在闭区间上连续函数的三个基本性质，并从儿何上加以说明。 性质1 （有界性定理） 上必有界。 如果函数y = / （兀）在闭区间 , 切上连续，则 / （兀）在该区间 性质2 （最大、最小值定理）如果函数y = / （x）在闭区间日，切上连续，则/ （兀）在 该 区间上必有最大值和最小值。 如图1 22所示，若 /（兀）在曰，方上连续，则在曰，力上至少有一点%i,使得在%i 处/ （兀）取最小值 / ：同样，至少有一点曲，使得在尿处取最大值必 性质3 （介值定理）如果函数y = f （x）在闭区间日，力上连续，/ 、於分别是 / （兀）在 曰， 方 上的最小值和最大值， 则对于介于人於之间的任一实数C 50,那么曲线与x轴必 有交点§ ?(%), 这时有 /() = 0. 习题1.3 1.设函数y = /(兀)=/+1, (1)当x从%, =1改变到吃 =一1.5时，求自变量的增量 ; (2)当“从兀=0改变到兀2 =2时，求函数的增量； (3)当/ 从已改变到d +山时，求函数的增量 . 2.试求函数y = ln兀在心处的增量 . 3.讨论函数 在/ 二0处的连续性 . 4.利用函数的连续性求下列极限: 丄 (l)limr' XT8 (3) limarcsinx; JVTl 本章教学要求：理解函数的概念；了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性; 理解反函数和 复合函数的概念； 熟练掌握基本初等函数的性质及图形；能建立简 单实际问题中函数关系 ( 包括： 基木经济函数简介 ) 。掌握极限的描述性定义，在整个学习过程中逐步加深对极限思想的理解； 掌握极限的四则运算法则；会用两个重要极限求极限，掌握无穷小、无穷大的概念及无穷小的 比较；理解函数在一点连续的概念，会判断间断点及间断类型；了解初等函数的连续性，理解 在闭区 间上连续函数的性质。 limln巴兰; 兀TO x (4)limcosx ?YT() /(X)= X1 2x *0), (x0)