数学建模习题——线性规划.pdf

. 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证 券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示按照规定，市政证 券的收益可以免税，其他证券的收益需按50% 的税率纳税此外还有 以下限制： 1)政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元； 2)所购证券的平均信用等级不超过1.4( 信用等级数字越小，信用 程度越高 )； 3)所购证券的平均到期年限不超过5 年 证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益 (%) A 市政2 9 4.3 B 代办机构2 15 5.4 C 政府1 4 5.0 D 政府1 3 4.4 E 市政5 2 4.5 表四 问： （1）若该经理有 1000万元资金，应如何投资？ （2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100 万元资金，该经 理应如何操作？ （3） 在 1000万元资金情况下，若证券 A的税前收益增加为4.5%， 投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？ 解：设利润函数为M(x), 投资 A、B、C、D、E五种类型的证券资 金分别为 12345 ,x xx xx 万元，则由题设条件可知 . 12345 12345 234 1234512345 1234512345 12345 ( )0.0430.0270.0250.0220.045 1000 400 2251.4() 9154325() ,0 M xxxxxx xxxxx xxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx x xxxx 利用 MATLAB 求解最优解，代码如下： c=-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045; A=1 1 1 1 1;0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2 -3; b=1000;-400;0;0; Aeq=; beq=; vlb=0;0;0;0;0; vub=; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下： . 即 12345 218.1818,0,736.3636,0,45.4545xxxxx 因此， 应投资 A证券 218.1818 万元， B证券 0万元， C证券 736.3636 万元， D证券 45.4545 万元，最大利润为29.8364 万元。 （2）设借到资金 y 万元，则由题设条件可知： 12345 12345 234 1234512345 1234512345 12345 ( )0.0430.0270.0250.0220.0450.0275 1000 400 2251.4() 9154325() ,0 0100 M xxxxxxy xxxxxy xxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx x xxxx y 利用 MATLAB 求最优解，代码如下 c=-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045 0.0275; A=1 1 1 1 1 -1;0 -1 -1 -1 0 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6 0;4 10 -1 -2 -3 0;0 0 0 0 0 1; b=1000;-400;0;0;100; Aeq=; beq=; vlb=0;0;0;0;0;0; vub=; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下： . 即 12345 240,0,810,0,50,100xxxxxy 所以经理应借出100 万元用于投资，应投资A证券 240 万元， B 证券 0 万元，C证券 810 万元，D证券 50万元，最大利润为 30.07 万 元。 （3）在 1000 万元资金的条件下： （）若证券 A的税前收益增加为4.5%，根据 MATLAB 运行结果 (运行结果与第（ 1）问的运行结果相同 )可知所投资的各种证券值不 变，所以投资不用改变。 （）若证券 C的税前收益减少为4.8%，MATLAB 运行结果如下： 即 12345 336,0,0,648,16xxxxx 所以投资应该改变。 .