中考数学复习指导：一道中考填空题的解法、变式与推广.pdf

1 一道中考填空题的解法、变式与推广 题目如图 1，线段 AB 的长为 2，C 为 AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边，在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形ACD 和 BCE，那么 DE 长的最小值是_ 填空题的魅力在于命题者只提供答案而无解题过程， 解题者经合情推理，不难得到DE 长的最小值是1，但 作为教师，只知结果是无法向学生交代的，探究解法义 不容辞怎样经演绎推理求出这个结果呢？ 思路 1 代数法建立函数关系式求解 解法 1 设 AC x，则 BC2x 当 x1 时， DE 2取得最小值， DE 也取得最小值，最小值为1 评注注意到 DCE90°，此解法利用勾股定理，通过设未知数，把几何问题转化 为代数问题与DE 2相关的二次函数，配方后求得结果 思路 2 几何法利用“垂线段最短”求解 解法 2 如图 2，延长 AD 、BE 交于点 G，连结 CG， 则 ACB 为等腰直角三角形，四边形GDCE 为矩形， DEGC 而当 GCAB 时， GC 最小，且GC 1 2 AB 1， 故 DE 的最小值为1 2 评注此解法通过添加适当的辅助线，将DE 转化为CC，利用“垂线段最短”直接 求解，避免了复杂的代数运算，较为简洁 解法 3 如图 3，作 DFAC 于 F，EGBC 于 G， DH EG 于 H，则 DH FG 1 2 AB 1 又显然 DEDH ，故 DE 的最小值为1 评注此解法通过添加适当的辅助线，利用“垂线段最短”直接求解，十分简洁 变式 1 如图 4，将原题中的两个等腰直角三角形ACD 和 BCE 换成等边三角形， DE 的长还存在最小值吗？如果存在，怎样求DE 长的最小值呢？ 仿解法 1，可得： 设 AC x，则 CDxCEBC2x 作 DH CE 于 H，则 当 x1 时， DE2 取得最小值，DE 也取得最小值，最小值为1 评注结果与原题一致！但仿解法2 无法求解 仿解法 3，还是能简洁求解： 如图 5，作 DFAC 于 F，EGBC 于 G， DH EG 于 H，则 DH FG 1 2 AB 1 又显然 DEDH ，故 DE 的最小值为1 3 变式 2 如图 6，将原题中的两个等腰直角三角形ACD 和 BCE 换成分别以AC、BC 为 底的等腰三角形，DE 的长还有最小值吗？怎样求DE 长的最小值呢？ 本题仿解法1、解法 2 均难以求解，但仿解法3，依然能简洁求解： 作 DFAC 于 F，EGBC 于 G，DH EG 于 H，则 DH FC 1 2 AB 1 又显然 DEDH ，s 故 DE 的最小值为1 可见解法3 具有一般性，仿解法3 不难得到下列两个命题： 推广 1 设线段 AB 的长为 a，C 为 AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为底边，在AB 的同侧作两个等腰三角形ACD 和 BCE ，那么 DE 长的最小值是 1 2 a 推广 2 设线段 A2B1的长为a，C 为 A1B1上一个动点，分别以A1C、B1C 为边，在 A1B1的同侧作两个正 (2n1)边形 A1A2,A2nC 和 B1B2,B2nC，那么 An1Bn1长的最小值 是 1 2 a