中考数学复习指导：利用辅助圆求解动点最值问题.pdf
利用辅助圆求解动点最值问题 许多几何问题虽然与圆无关，但是如果能结合条件补作辅助圆，就能利用圆的有关性质、 结论，将某些最值问题通过圆中的几何模型求解.笔者经过研究，归纳为以下情况可考虑作 辅助圆 : 一、同一端点出发的等长线段 例 1 如图 1， 在直角梯形ABCD中，90 ,3,4,6DABABCADABBC= =°= ，点E是线段AB上一动点， 将EBC?沿CE翻折到EB C?，连结,B D BA.当点E在AB 上运动时，分别求,B D B A B DB A+的最小值 . 解析如图 1，当点E在点B时， B 与B重合 ;当点E在点A时，设点 B 在点F处， 由翻折可知BCB CFC=.所以，点 B 在以C为圆心，BC为半径的圆上，运动轨迹为 弧BF. 如图 2，点D在C内，延长CD交C于点 1 B.当点B在点 1 B时B D最小，最小值 为 1 1BCDC-=. 点A在 C外，设AC交 C于点 2 B，当点 B 在点 2 B时B A最小，最小值为 2 2 136ACB C-=-. 设AD与C交点为 3 B，当点 B 在点 3 B时B DB A+最小，最小值为3AD =. 点评当条件中有同一端点出发的等长线段时，根据圆的定义， 以该端点为圆心，等长 为半径构造圆，将原问题转化为定点与圆上点的距离问题. 模型 1 如图 3，点A在O外，A到O上各点连线段中AB最短；如图4，点A在 O内，A到 O上各点连线段中AB最短 . 证明在O上任取一点C，不与点B重合，连结,CA CO，如图 3. ,OCCAOA OCOBCAAB+=,得证 . 如图 4, ,OCOACA OCOBABCA- = , 当ACB为定值时，点C形成的轨迹是弧ACB、弧ADB(不含点,A B). 1.动点时定线段所张的角为直角 例 2 如图 6， 正方形ABCD边长为 2， 点E是正方形ABCD内一动点，90AEB=°， 连结DE，求DE的最小值 . 解析90 ,AEBAB=°为定线段，由模型2 可知，点E在以AB为直径的圆上. 连OD交O于点F，由模型1，当E在点F处时DE最短，最小值是51-. 点评当动点对定线段所张的角为直角时，根据直径所对圆周角为直角，以定线段为直 径构造圆 . 2.动点时定线段所张的角为锐角 例 3 如图7, 45XOY=°，一把直角三角形尺ABC的两个顶点,A B分别在 ,OX OY上移动，10AB =，求点O到AB距离的最大值. 解析如图 8,D为ABO?的外接圆， 由模型 2 知，点O的运动轨迹是弧AOB(,A B 两点除外 ).过点D作AB的垂线，垂足为点E,交弧AOB于点F， 当点O在点F处时，O到 AB的距离最大，即为FE长. 45 ,90XOYADB=° =°. 10,5 2,5ABFDADDBDE=, 5 25FE=+. 故O到AB距离的最大值为5 25+. 点评本题AB是定长，XOY为定值，利用模型2，找到点O的运动轨迹是一段弧， 这段弧所在的圆是一个定圆，于是原问题转化为圆上一点到弦的距离问题. 模型 3 如图 9,AB是 O的一条弦， 点C是O上一动点 (不与,A B重合 )， 过点O作 DEAB，垂足为D，交O于点( ,E E D在O两侧 ).当点C在点E处时，点C到AB的 距离最大，即为DE长. 证明如图 9，作CFAB垂足为点F,CFCDOCODED+=，得证 . 3.动点对定线段所张的角为钝角 例 4 如图 10，正三角形ABC?边长为 2，射线/ADBC，点E是射线AD上一动点 (不与点A重合 )，AEC?外接圆交EB于点F，求AF的最小值 . 解析如图 10 ,60 ,120EFCEACBFC= =° =°. BC为定长，点F的运动轨迹是弧BC(不与,B C重合 ). 过点A作AGBC垂足为G，交弧BC于点H，当点F在点H时AF最小， 最小值 为 32 3 3 33 AGHG-=-=. 点评本题将动点E转化到动点F，且因为120BFC=°,BC为定长，由模型2 可 知，点 F的运动轨迹是弧，这段弧所在的圆是一个定圆 .于是， AF 的最小值问题转化为圆 外一点到圆上一点的最小值问题，由模型1 即可求解 . 三、动点对定线段所张的角的最值 例 5 如图 11，四边形ABCD中，均有/,60 ,8,ADBC CDBCABCAD=°= 12BC =.在边AD上，是否存在一点E，使得cosBEC的值最小 ?若存在，求出此时 cosBEC的值 ;若不存在，请说明理由. 解析当BEC为锐角时，cosBEC随BEC的增大而减小，求cosBEC的值 最小值，只要求 BEC 最大值 . 于是，作BC中垂线交,BC AD于点,F G.设三点,B C G确定 O，则 O切AD于 点G.此时 AD上的点 (除点G)都在 O外，BECBGC ，所以当点 E在点G处时 BEC最大 . 由题意，可知4 3,6GFBF=. 设O半径为r, 则 222 6(43)rr+-=， 解得 7 33 , 22 rOF=， 1 coscos 7 BGCBOF=, 所以cosBEC最小值为 1 7 . 点评求动点对定线段所张角的最大值时，以定线段为弦所作的圆与动点所在的直线相 切，由同弧所对的圆周角大于圆外角知，动点运动至切点处时所张角最大.
