中考数学复习指导：巧用面积守恒法求内切圆半径.pdf

1 巧用面积守恒法求内切圆半径 如图 1，在 RtABC 中， C90°， AB 、BC、CA 的长分别为5、3、4求 ABC 的内切圆半径r 分析连结 OA、OB、OC，将 ABC 分成三个小三角形ABO 、BCO 和 ACO( 如 图 2)这三个三角形都具有下列特征：即分别以ABC 的三边 AB、BC、AC 为底，其边 上的高都为内切圆的半径r，则可用面积守恒来解决问题 变式一如图 3，已知 ABC 的周长和面积都为16，求这个三角形的内切圆半径 分析连结 AO、BO、 CO， 将 ABC 分成三个小三角形ABO 、 BCO 和 ACO 他 们分别以三边AB、 BC、AC 为底，内切圆半径r 为高 变式一可以帮我们总结出已知三角形的周长c 和面积s，得出这个三角形的内切圆半 径 2s r c = 2 变式二如图 4，已知 RtABC 中，C90°，AB 、 BC、CA 的长分别为5、 4、3 O 分别与 AB 及 CA、 CB 的延长线相切，求O 的半径， 分析本题虽不是求内切圆半径，但是依然可以用面积守恒的方法来解决与课本题 类似，只要连结OA、OB、 OC，再连接圆心与各边的切点，就容易得到 变式三如图 5，已知 RtABC 中，C90°，AB 、 BC、CA 的长分别为5、 3、4 其 中有两个互相外切的等圆都与斜边相切，且分别与两直角边相切，求两个等圆的半径的长 分析因为本题当中没有特殊角度，只有直角三角形的三条边长，乍一看很难找到方 法但如果能利用面积守恒法解决本题，就比较容易了 拓展延伸 如图 6，已知 RtABC 中， C90°， BC3，AC4其中 O1， O2， On为 n(n2)个相等的圆，且相邻两圆都外切，他们都与边AB 相切其中O1与 AC 边 相切， On与 BC 边相切求这些等圆的半径 r（用 n 表示） 分析和变式三类似，将三角形分割成四部分，利用四部分的面积和等于三角形 ABC 的面积易解本题 3 反思本文列举的求三角形内切圆半径问题的相似之处在于，圆都与直角三角形斜边 相切，一个圆 （或几个等圆）分别与两条直角边相切，几个圆之间相外切，这就提示我们， 连结圆心和切点的半径必垂直于切线，这条半径就是连结顶点与圆心所成的三角形的高， 进而可以用内切圆半径r 表示三角形（或梯形）面积 当然，解决变式三及其拓展，面积守恒并不是唯一的方法，以变式三为例，还可以将 O2连同 BC 边向左平移，使 O2与 O1重合，利用相似三角形来解答