中考数学复习指导：找共性,学会多题归一.pdf
找共性找共性， ，学会多题归一 在初中数学教学中，我们应教会学生做一题、懂一类、会一片，也就是帮助学生对于不 同问题背景下的数学问题，能找出、归纳其本质.为此，本文以一道试题为例，谈谈如何 挖掘考题的“根”. 一、试题及基本解题思路 试题问题背景 :如图 1，在四边形ABCD中，,120 ,ABADBAD=° 90 ,BADCE F = =°分别是,BC CD上的点，且60EAF=°，试探究图中线段 ,BE EF FD之 间 的 数量 关 系 .小 王 同学 探 究 此问 题 的方 法 是 :延 长FD到 点G， 使 DGBE=，连结AG，先证明ABE?ADG?，再证明AEF?AGF?,可得出结论， 他的结论应是. 图 1 探索延伸 :如图2，若在四边形ABCD中，,180 ,ABADBDE F= +=°分别是 ,BC CD上的点，且 1 2 EAFBAD=，上述结论是否仍然成立，并说明理由. 图 2 实际应用 :如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处， 舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令 后，舰艇甲向正东方向以60 海里 /小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80 海里 / 小时的速度前进1. 5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇 之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离. 图 3 解题思路(1)图中线段,BE EF FD之间满足EFBEFD=+. (2)利用第 (1)问的解题经验，进行知识迁移，很快可以发现结论EFBEFD=+仍然成 立.理由如下 : 如图 4，延长CD至点G，使得DGBE=，连接AG.可以证明ABE?ADG?，再 证AEF?AGF?，可得EFFGBEFD=+. 图 4 (3)利用第 (2)问的一般结论，在四边形ABCD中，满足 : ABAD=，即一组边相等; 180BD + =°或者一组对角互补; 在条件中两条线段夹角的内部作 1 2 EAFBAD=，与其它两边相交于E、F, 则满足EFBEFD=+. 于是，先将四边形补完整.如图 5，延长AE、BF交于点G，在四边形AOBG中，根 据题意，可得 满足AOBO=; 7050120 ,60BA =° +° =° =°，满足180BA + =° 70 ,309020140EOFAOB=° =° +° +° =°，满足 1 2 EOFAOB=. 因此，两舰艇之间的距离为(6080) 1.5210EFAEBF=+=+×=(海里 ). 图 5 二、联想并追根溯源 如前所述，在四边形ABCD中，满足三个条件后有EFBEFD=+，那么，该四边形 结论产生的“根源”在哪里? 根据折纸实验可知，如图6,G是AEF?的边BC边上任意一点，连结AG，则AG将 AEF?分成AEG?和AFG两个部分 .作AEG?关于AE对称的对称AEB?，作AFG?关 于AF对称的对称AFD?，形成图7;延长BE、DF交于点 C，形成四边形ABCD，如图 8. 在图 8 中的四边形 ABCD 中，满足ABAD=; 180BDAGEAGF + = + =° 在BAD内部的 1 2 EAFEAGFAGBAD= + =.根据四边形的形成过程，不 难看出EFBEFD=+. 反过来，将图8 中的四边形ABCD进行折纸操作:将AEB?沿AE翻折到AEG?位置， 然后将AD和 AG重合得折痕AF .由于 180AGEAGFBD+ = + =°， 因此E、G、 F三点在一条直线上，故EFEGGFBEFD=+=+，结论仍然成立. 特 别 地 ， 当AGEF时 ， 四 边 形ABCD仅 仅 将 180BD + =°改 为 90BD= =°，具备的结论不变. 进一步可以得出这样一个结论:CEF?的周长 =CBCD+，即当满足等于 1 2 BAD的 EAF在BAD的内部旋转时，只要与角的两边CB、CD相交， 则CEF?的周长不会改 变. 三、搜集相关问题并逐一验证 题 1 如图 9 ,ABC?是正三角形，BDC?是等腰三角形，,120BDCDBDC=°， 以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交 AB、AC边于点M 、N，连结 MN. (1)探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由; (2)若ABC?的边长为2，求AMN?的周长 . 分 析在 四 边 形ABDC中 ， 满 足 BDDC=; 90ABDACD= =° 1 60 2 MDNBDC=°，故有 : (1)MNBMNC=+; (2)AMN?的周长 =ABAC+=4. 图 9 题 2 已知 :正方形ABCD中，45MAN=°, MAN绕点A顺时针旋转，它的两边 分别交,CB DC(或它们的延长线)于点,M N.当MAN绕点A旋转到BMDN=时，易证 BMDNMN+=.当MAN绕点A旋转到BMDN时(如图 10)，线段,BM DN和MN 之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明. 图 10 分 析在 正 方 形ABCD中 ， 满 足 ABAD=; 90BD= =° 1 45 2 MANBAD=°，故有MNBMDN=+. 题3 如图10 ，正方形ABCD中 有一个内接AMN?，若 45 ,3,2.5MANABMN=°=，求MNC?. 分 析在 正 方 形ABCD中 ， 满 足 ABAD=;90BD= =° 1 45 2 MANBAD=°.因此MNBNDN=+. 设BMx=，则2.5DNx=-,3,0.5CMx CNx=-=+. 在CMN?中， 222 90 ,CCMCNMN=° +=, 即 22 (3)(0.5)6.25xx-+=, 解方程可以得出CM、CN的长，从而可以得出MNC?的面积 . 总之，我们要在众多的数学题中找到共性，学会多题归一，善于挖掘出数学题的“根”， 这样才能找到解决问题的一般方法，提高我们的解题水平.
