八年级数学勾股定理的实际应用专题练习.pdf

八年级数学 勾股定理的实际应用 专题练习 一选择题（共5 小题） 1如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽 8m 的矩形空地，他在以长边BC 为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊 平时拴 A 处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（） A3m B5m C7m D9m 2如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是 12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐 内部分 a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（） A12a13B12a15C5a12D5a13 3一船向东航行，上午 8 时到达 B 处，看到有一灯塔在它的南偏东60° ，距离为 72 海里的 A 处，上午 10 时到达 C 处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（） A18 海里 /小时B海里 /小时C36 海里 /小时D海里 /小时 4在直径为10m 的圆柱形油槽内装入一些油后，截图如图所示， 如果油面宽AB=8m ，那么油的最大深度是（） A1m B2m C3m D4m 5如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、 3cm、12cm，现有一长为16cm 的吸管插入到盒的底部， 则吸管露在盒外的部分h 的取值范围为（） A3h4 B3h4C2h4Dh=4 二解答题（共22 小题） 6如图所示，甲、乙两船同时由港口A 出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B 航行，其速度为15 海里 /小时； 乙船速度为20 海里 /小时，先沿正东方向航行1 小时后，到达C 港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30° 方向 开往 B 岛，其速度仍为20 海里 /小时 （1）求港口A 到海岛 B 的距离； （2）B 岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5 海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？ 7有一艘渔轮在海上C 处作业时，发生故障，立即向搜救中心发出救援信号，此时搜救中心的两艘救助轮救助一 号和救助二号分别位于海上A 处和 B 处， B 在 A 的正东方向，且相距100 里，测得地点C 在 A 的南偏东60° ，在 B 的南偏东30° 方向上，如图所示，若救助一号和救助二号的速度分别为40 里/小时和 30 里/小时，问搜救中心应派 那艘救助轮才能尽早赶到C 处救援？（1.7 ） 8如图，要在高AC 为 2 米，斜坡AB 长 8米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？ 9如图，一块三角形铁皮，其中B=30° ， C=45° ， AC=12cm求 ABC 的面积 10如图，一架长2.5 米的梯子 AB 斜靠在竖直的墙AC 上，这时 B 到墙 AC 的距离为0.7 米 （1）若梯子的顶端A 沿墙 AC 下滑 0.9 米至 A1处，求点 B 向外移动的距离BB1的长； （2）若梯子从顶端A 处沿墙 AC 下滑的距离是点B 向外移动的距离的一半，试求梯 子沿墙 AC 下滑的距离是多少米？ 11如图， AB 为一棵大树，在树上距地面10 米的 D 处有两只猴子，他们同时发现C 处有一筐水果，一只猴子从 D 处往上爬到树顶A 处，又沿滑绳AC 滑到 C 处，另一只猴子从D 滑到 B，再由 B 跑到 C 处，已知两只猴子所经 路程都为15 米，求树高AB 12如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长 13m，宽 2m 的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18 元，请你 帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？ 13如图， A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的 B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60° 的 BF 方 向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域 （1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若 A 城受到这次台风影响，那么A 城遭受这次台风影响有多长时间？ 14如图， 某城市接到台风警报，在该市正南方向260km 的 B 处有一台风中心，沿 BC 方向以 15km/h 的速度移动， 已知城市 A 到 BC 的距离 AD=100km （1）台风中心经过多长时间从B 移动到 D 点？ （2）已知在距台风中心30km 的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D 的工作人员早上6：00 接到台风 警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？ 15 “ 中华人民共和国道路交通管理条例” 规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70 千米 /时一辆 “ 小汽车 ” 在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“ 车速检测仪A” 正前方 50 米 C 处，过了 6 秒后，测得 “ 小 汽车 ” 位置 B 与“ 车速检测仪A”之间的距离为130 米，这辆 “ 小汽车 ” 超速了吗？请说明理由 16某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3 米、宽为2 米的矩形，上方是半径为1 米的半圆形货车司机小 王开着一辆高为3.0 米，宽为1.6 米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由 17勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票所谓勾股 图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：ABC 中， BAC=90 ° ） 请解答： （1）如图 2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是 _ （2） 如图 3， 若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积S1、 S2、 S3之间的数量关系是 _， 请说明理由 （3）如图 4，在梯形ABCD 中， AD BC， ABC+ BCD=90 ° ， BC=2AD ，分别以AB、 CD、AD 为边向梯形外 作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则 S1、 S2、S3之间的数量关系式为 _，请说明理由 18如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高 8m 的一棵小树树梢上发出 友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？ 19李老师在与同学进行“ 蚂蚁怎样爬最近” 的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别 求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长 （1）如图 1，正方体的棱长为5cm 一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A 沿着正方体表面爬到点C1处； （2）如图 2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿着棱柱表面爬到 C1处； （3）如图 3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4 所示，且 AOA1=120° ，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上 的点 A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A 20请阅读下列材料： 问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC 是底面直径，圆柱高AB 为 5dm，求一只蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面 爬行到点 C 的最短路线，小明设计了两条路线： 路线 1：高线 AB+ 底面直径 BC，如图 1 所示路线2：侧面展开图中的线段AC，如图 2 所示 （结果保留 ） （1）设路线1 的长度为L1，则 =_设路线2 的长度为L2，则=_所以选择路 线_（填 1 或 2）较短 （2）小明把条件改成：“ 圆柱的底面半径为5dm，高 AB 为 1dm ”继续按前面的路线进行计算此时， 路线 1：= _路线 2：=_所以选择路线_（填 1或 2）较短 （3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为 hdm 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到点C 的路线最短 21如图，正方体边长为30cm，B 点距离 C 点 10cm，有一只蚂蚁沿着正方体表面从A 点爬到 B 点，其爬行速度 为每秒 2cm，则这只蚂蚁最快多长时间可爬到B 点？ 22如图，长方体的底面边长分别为1cm 和 3cm，高为 6cm，如果用一根细线从点A 开始经过4 个侧面缠绕一圈 到达 B（B 为棱的中点），那么所用细线最短需要多长？如果从点A 开始经过4 个侧面缠绕n 圈到达点B，那么所 用细线最短需要多长？ 23如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬 到柜角 C1处若 AB=4 ，BC=4 ，CC1=5， （1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； （2）求蚂蚁爬过的最短路径的长 24如图，长方体的长为15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C 的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是多少？ 25如图所示，圆柱形的玻璃容器，高18cm，底面周长为24cm，在外侧距下底1cm 的点 S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相 对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点 F 处有一只苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径 26如图，一正方形的棱长为2，一只蚂蚁在顶点A 处，在顶点G 处有一米粒 （1）问蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是多少？ （2）在蚂蚁刚要出发时，突然一阵大风将米粒吹到了GF 的中点 M 处，问蚂蚁要吃到这粒米的最短距离又是多少？ 27如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点 P处有一只老鼠正 在偷吃粮食此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少米？（结 果不取近似值） 参考答案与试题解析 一选择题（共5 小题） 1图，王大伯家屋后有一块长12m，宽 8m 的矩形空地，他在以长边BC 为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平 时拴 A 处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（） A3m B5m C7m D9m 考点：勾股定理的应用 专题：应用题；压轴题 分析：为了不让羊吃到菜，必须等于点A 到圆的最小距离要确定最小距离，连接OA 交半圆于点E，即 AE 是最短距离在直角三角形AOB 中，因为OB=6，AB=8 ，所以根据勾股定理得OA=10 那么 AE 的长即 可解答 解答：解：连接OA ，交半圆O 于 E 点， 在 RtOAB 中， OB=6 ，AB=8 ， 所以 OA=10； 又 OE=OB=6 ， 所以 AE=OA OE=4 因此选用的绳子应该不大于4m， 故选 A 点评：此题确定点到半圆的最短距离是难点熟练运用勾股定理 2如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是 12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐 内部分 a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（） A12a13 B12a15 C5a12 D5a13 考点：勾股定理的应用 专题：压轴题 分析：最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答 解答： 解： a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：=13 即 a 的取值范围是12a13 故选 A 点评：主要是运用勾股定理求得a 的最大值，此题比较常见，有一定的难度 3一船向东航行，上午 8 时到达 B 处，看到有一灯塔在它的南偏东60° ，距离为 72 海里的 A 处，上午 10 时到达 C 处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（） A18 海里 /小时B海里 /小时C36 海里 /小时D海里 /小时 考点：勾股定理的应用；方向角 专题：应用题 分析：首先画图，构造直角三角形，利用勾股定理求出船8 时到 10 时航行的距离，再求速度即可解答 解答：解：如图在RtABC 中， ABC=90 ° 60° =30° ，AB=72 海里， 故 AC=36 海里， BC=36海里， 艘船航行的速度为36÷ 2=18海里 /时 故选 B 点评：本题考查方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三 角形的问题，解决的方法就是作高线 4在直径为10m 的圆柱形油槽内装入一些油后，截图如图所示， 如果油面宽AB=8m ，那么油的最大深度是（） A1m B2m C3m D4m 考点：勾股定理的应用；垂径定理的应用 分析：本题是已知圆的直径，弦长求油的最大深度其实就是弧AB 的中点到弦AB 的距离， 可以转化为求弦心距的 问题，利用垂径定理来解决 解答：解：过点O 作 OM AB 交 AB 与 M，交弧 AB 于点 E连接 OA 在 RtOAM 中： OA=5m ，AM=AB=4m 根据勾股定理可得OM=3m ，则油的最大深度ME 为 53=2m 故选 B 点评：考查了勾股定理的应用和垂径定理的应用，圆中的有关半径，弦长，弦心距之间的计算一般是通过垂径定 理转化为解直角三角形的问题 5如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、 3cm、12cm，现有一长为16cm 的吸管插入到盒的底部， 则吸管露在盒外的部分h 的取值范围为（） A3h4 B3h4C2h4Dh=4 考点：勾股定理的应用 分析：根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长为1612=4cm；最短时 与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答进而求出露在杯口外的长度最短 解答：解：当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为1612=4（cm） ； 露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线直径为5cm，高为 12cm， 由勾股定理可得杯里面管长为=13cm，则露在杯口外的长度最长为1613=3cm； 则可得露在杯口外的长度在3cm 和 4cm 范围变化 故选 B 点评：本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出管最长和最短时在杯中所处的位置，然后计 算求解 二解答题（共22 小题） 6如图所示，甲、乙两船同时由港口A 出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B 航行，其速度为15 海里 /小时； 乙船速度为20 海里 /小时，先沿正东方向航行1 小时后，到达C 港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30° 方向 开往 B 岛，其速度仍为20 海里 /小时 （1）求港口A 到海岛 B 的距离； （2）B 岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5 海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？ 考点：勾股定理的应用 专题：应用题 分析：（ 1）作 BDAE 于 D，构造两个直角三角形并用解直角三角形用BD 表示出 CD 和 AD ，利用 DA 和 DC 之间的关系列出方程求解 （ 2）分别求得两船看见灯塔的时间，然后比较即可 解答：解： （1）过点 B 作 BD AE 于 D 在 RtBCD 中， BCD=60 ° ，设 CD=x ，则 BD=，BC=2x 在 RtABD 中， BAD=45 ° 则 AD=BD=，AB=BD= 由 AC+CD=AD得 20+x=x 解得： x=10+10 故 AB=30+10 答：港口A 到海岛 B 的距离为海里 （ 2）甲船看见灯塔所用时间：小时 乙船看见灯塔所用时间：小时 所以乙船先看见灯塔 点评：此题考查的知识点是勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，利用解直角三角形的相 关知识解答 7有一艘渔轮在海上C 处作业时，发生故障，立即向搜救中心发出救援信号，此时搜救中心的两艘救助轮救助一 号和救助二号分别位于海上A 处和 B 处， B 在 A 的正东方向，且相距100 里，测得地点C 在 A 的南偏东60° ，在 B 的南偏东30° 方向上，如图所示，若救助一号和救助二号的速度分别为40 里/小时和 30 里/小时，问搜救中心应派 那艘救助轮才能尽早赶到C 处救援？（1.7 ） 考点：勾股定理的应用 分析：作 CD AB 交 AB 延长线于D，根据勾股定理分别计算出AB 和 BC 的长度，利用速度、时间、路程之间 的关系求出各自的时间比较大小即可 解答：解：作 CDAB 交 AB 延长线于D， 由已知得：EAC=60 ° ， FBC=30 ° ， 1=30° ， 2=90° 60° =30° ， 1+3=2， 3=30° ， 1=3， AB=BC=100 ， 在 RtBDC 中， BD=BC=50， DC=50， AD=AB+BD=150， 在 RtACD 中， AC=100， t1号= = 4.25 ， t2号=， 4.25， 搜救中心应派2 号艘救助轮才能尽早赶到C 处救援 点评：本题考查了勾股定理的运用、等腰三角形的判定和性质以及速度、时间、路程之间的关系 8如图，要在高AC 为 2 米，斜坡AB 长 8米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？ 考点：勾股定理的应用 分析：根据题意，知还需要求出BC 的长，根据勾股定理即可 解答：解：由勾股定理AB 2=BC2 +AC 2， 得 BC=2， AC+BC=2+2（米） 答：所需地毯的长度为（2+2）米 点评：能够运用数学知识解决生活中的实际问题熟练运用勾股定理 9如图，一块三角形铁皮，其中B=30° ， C=45° ， AC=12cm求 ABC 的面积 考点：勾股定理的应用；三角形的面积；含30 度角的直角三角形；等腰直角三角形 分析：首先过 A 作 AD CB，根据 C=45 ° ，可以求出AD=DC ，再利用勾股定理求出AD 的长，再根据直角三角 形的性质求出AB 的长，利用勾股定理求出BD 的长，最后根据三角形的面积公式可求出ABC 的面积 解答：解：过 A 作 AD CB， C=45 ° ， DAC=45 ° ， AD=DC ， 设 AD=DC=x ， 则 x2+x 2=（12 ）2， 解得： x=12， B=30 ° ， AB=2AD=24 ， BD=12， CB=12+12， ABC 的面积 =CB?AD=72+72 点评：此题主要考查了勾股定理的应用，以及直角三角形的性质，关键是熟练利用直角三角形的性质求出BD 、 AD 的长 10如图，一架长2.5 米的梯子 AB 斜靠在竖直的墙AC 上，这时 B 到墙 AC 的距离为0.7 米 （1）若梯子的顶端A 沿墙 AC 下滑 0.9 米至 A1处，求点 B 向外移动的距离BB1的长； （2）若梯子从顶端A 处沿墙 AC 下滑的距离是点B 向外移动的距离的一半，试求梯 子沿墙 AC 下滑的距离是多少米？ 考点：勾股定理的应用 分析：（ 1）根据题意可知C=90 ° ，AB=2.5m ，BC=0.7m ，根据勾股定理可求出AC 的长度，根据梯子顶端B 沿 墙下滑 0.9m，可求出A1C 的长度，梯子的长度不变，根据勾股定理可求出 B1C 的长度，进而求出BB1的 长度 （ 2）可设点 B 向外移动的距离的一半为2x，则梯子从顶端A 处沿墙 AC 下滑的距离是x，根据勾股定理建 立方程，解方程即可 解答：解： （1） AB=2.5m ，BC=O.7m ， AC=2.4m A1C=AC AA1=2.40.9=1.5m， B1C= =2m， BB1=B1CBC=0.5m ； （ 2）梯子从顶端A 处沿墙 AC 下滑的距离是x，则点 B 向外移动的距离的一半为2x， 由勾股定理得： （2.4 x） 2+（ 0.7+2x）2=2.52， 解得： x=， 答：梯子沿墙AC 下滑的距离是米 点评：本题考查勾股定理的应用，在直角三角形里根据勾股定理，知道其中两边就可求出第三边，从而可求解 11如图， AB 为一棵大树，在树上距地面10 米的 D 处有两只猴子，他们同时发现C 处有一筐水果，一只猴子从 D 处往上爬到树顶A 处，又沿滑绳AC 滑到 C 处，另一只猴子从D 滑到 B，再由 B 跑到 C 处，已知两只猴子所经 路程都为15 米，求树高AB 考点：勾股定理的应用 分析：在 RtABC 中， B=90 ° ，则满足AB 2+BC2=AC2，BC=a（米），AC=b （米） ，AD=x （米），根据两只猴子 经过的路程一样可得10+a=x+b=15 解方程组可以求x 的值，即可计算树高=10+x 解答：解： RtABC 中， B=90 ° ， 设 BC=a（米） ，AC=b （米） ，AD=x （米） 则 10+a=x+b=15 （米） a=5（米） ，b=15x（米） 又在 RtABC 中，由勾股定理得： （ 10+x）2+a2=b2， （ 10+x）2+52=（15x） 2， 解得， x=2，即 AD=2 （米） AB=AD+DB=2+10=12（米） 答：树高AB 为 12 米 点评：本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到两只猴子行走路程相等的等量关系，并且正确地运 用勾股定理求AD 的值是解题的关键 12如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长 13m，宽 2m 的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18 元，请你 帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？ 考点：勾股定理的应用 分析：地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC 与 BC 的和，在直角 ABC 中，根据勾股定理即可求 得 BC 的长，地毯的长与宽的积就是面积 解答： 解：由勾股定理，AC=12（m） 则地毯总长为12+5=17（m） ， 则地毯的总面积为17× 2=34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34× 18=612 元 点评：正确理解地毯的长度的计算是解题的关键 13如图， A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的 B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60° 的 BF 方 向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域 （1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若 A 城受到这次台风影响，那么A 城遭受这次台风影响有多长时间？ 考点：勾股定理的应用 专题：应用题 分析：（ 1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A 点向 BF 作垂线，垂足为C，若 AC 200 则 A 城不受影响， 否则受影响； （ 2）点 A 到直线 BF 的长为 200 千米的点有两点，分别设为D、G，则 ADG 是等腰三角形，由于AC BF，则 C 是 DG 的中点， 在 RtADC 中，解出 CD 的长，则可求DG 长，在 DG 长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的 关系则可求时间 解答：解： （1）由 A 点向 BF 作垂线，垂足为C， 在 RtABC 中， ABC=30 ° ，AB=320km ，则 AC=160km ， 因为 160200，所以 A 城要受台风影响； （ 2）设 BF 上点 D，DA=200 千米，则还有一点G，有 AG=200 千米 因为 DA=AG ，所以 ADG 是等腰三角形， 因为 AC BF，所以 AC 是 BF 的垂直平分线，CD=GC ， 在 RtADC 中， DA=200 千米， AC=160 千米， 由勾股定理得，CD=120 千米， 则 DG=2DC=240 千米， 遭受台风影响的时间是：t=240÷ 40=6（小时） 点评：此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂 14如图， 某城市接到台风警报，在该市正南方向260km 的 B 处有一台风中心，沿 BC 方向以 15km/h 的速度移动， 已知城市 A 到 BC 的距离 AD=100km （1）台风中心经过多长时间从B 移动到 D 点？ （2）已知在距台风中心30km 的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D 的工作人员早上6：00 接到台风 警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？ 考点：勾股定理的应用 分析：（ 1）首先根据勾股定理计算BD 的长，再根据时间=路程 ÷ 速度进行计算； （ 2）根据在 30 千米范围内都要受到影响，先求出从点B 到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间 = 路程 ÷ 速度计算，然后求出时间段即可 解答： 解： （1）在 RtABD 中，根据勾股定理，得BD=240km ， 所以，台风中心经过240÷ 15=16 小时从 B 移动到 D 点， 答：台风中心经过16 小时时间从B 移动到 D 点； （ 2）如图，距台风中心30km 的圆形区域内都会受到不同程度的影响， BE=BD DE=240 30=210km， BC=BD+CD=240+30=270km， 台风速度为15km/h， 210÷ 15=14 时， 270÷ 15=18， 早上 6：00 接到台风警报， 6+14=20 时， 6+18=24 时， 他们要在20 时到 24 时时间段内做预防工作 点评：本题考查了勾股定理的运用，此题的难点在于第二问，需要正确理解题意，根据各自的速度计算时间，然 后进行正确分析 15 “ 中华人民共和国道路交通管理条例” 规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70 千米 /时一辆 “ 小汽车 ” 在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“ 车速检测仪A” 正前方 50 米 C 处，过了 6 秒后，测得 “ 小 汽车 ” 位置 B 与“ 车速检测仪A”之间的距离为130 米，这辆 “ 小汽车 ” 超速了吗？请说明理由 考点：勾股定理的应用 专题：计算题 分析：由题意知， ABC 为直角三角形，且AB 是斜边，已知AB ，AC 根据勾股定理可以求BC ，根据 BC 的长度 和时间可以求小汽车在BC 路程中的速度， 若速度大于70 千米 /时，则小汽车超速； 若速度小于70 千米 /时， 则小汽车没有超速 解答：解：由题意知，AB=130 米， AC=50 米， 且在 RtABC 中， AB 是斜边， 根据勾股定理AB 2=BC2+AC2， 可以求得： BC=120 米 =0.12 千米， 且 6 秒=时， 所以速度为=72 千米 /时， 故该小汽车超速 答：该小汽车超速了，平均速度大于70 千米 /时 点评：本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中准确的求出BC 的长度， 并计算小汽车的行驶速度是解题 的关键 16某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3 米、宽为2 米的矩形，上方是半径为1 米的半圆形货车司机小 王开着一辆高为3.0 米，宽为1.6 米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由 考点：勾股定理的应用 专题：应用题 分析：根据题中的已知条件可将BB 的长求出，和卡车的高进行比较， 若门高低于卡车的高则不能通过否则能通过 解答：解：设 BB 与矩形的宽的交点为C， AB=1 米， AC=0.8 米， ACB=90 ° ， BC=0.6 米， BB =BC+CB =2.3+0.6=2.93.0， 不能通过 点评：考查了勾股定理的应用，本题的关键是建立数学模型，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键 17勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票所谓勾股 图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：ABC 中， BAC=90 ° ） 请解答： （1）如图 2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是 S1+S2=S3 （2）如图 3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是 S1+S2=S3， 请说明理由 （3）如图 4，在梯形ABCD 中， AD BC， ABC+ BCD=90 ° ， BC=2AD ，分别以AB、 CD、AD 为边向梯形外 作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则 S1、 S2、S3之间的数量关系式为 S1+S2=S3，请说明理由 考点：勾股定理的应用 专题：探究型 分析：（ 1）利用直角 ABC 的边长就可以表示出等边三角形S1、S2、S3的大小，满足勾股定理 （ 2）利用直角 ABC 的边长就可以表示出半圆S1、 S2、S3的大小，满足勾股定理 解答：解：设直角三角形ABC 的三边 AB 、CA、BC 的长分别为a、b、c，则 c2=a2+b2 （ 1）S1+S2=S3，证明如下： S3= ， S1=，S2= S1+S2= =S3； （ 2）S1+S2=S3证明如下： S3= ，S1=， S2= S1+S2= +=S3； （ 3）过 D 点作 DEAB ，交 BC 于 E，设梯形的边AB 、DC、AD 的长 分别为 a、b、c，可证 EC=AD=c ，DE=AB=a ， EDC=180 ° （ DEC+BCD ）=180° （ ABC+ BCD ）=90° ， 则 c2=a2+b 2 S1=a2、S2=b 2、S3=c2，表示，则 S1+S2=S3 故答案为： S1+S2=S3；S1+S2=S3；S1+S2=S3 点评：考查了三角形、正方形、圆的面积的计算以及勾股定理的应用 18如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高 8m 的一棵小树树梢上发出 友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？ 考点：勾股定理的应用 专题：计算题 分析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m，也就是两树树梢之间的距离是13m，两 再利用时间关系式求解 解答：解：如图所示： 根据题意，得 AC=AD BE=13 8=5m，BC=12m 根据勾股定理，得 AB=13m 则小鸟所用的时间是13÷ 2=6.5（ s） 答：这只小鸟至少6.5 秒才可能到达小树和伙伴在一起 点评：此题主要考查勾股定理的运用关键是构造直角三角形，同时注意：时间=路程 ÷ 速度 19李老师在与同学进行“ 蚂蚁怎样爬最近” 的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别 求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长 （1）如图 1，正方体的棱长为5cm 一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A 沿着正方体表面爬到点C1处； （2）如图 2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿着棱柱表面爬到 C1处； （3）如图 3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4 所示，且 AOA 1=120° ，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上 的点 A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A 考点：平面展开 -最短路径问题 专题：压轴题 分析：将各图展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理解答 解答：解： （ 1）； （ 2）画图分两种情况： 当横向剪开时：， 当竖向剪开时：， ，最短路程为cm （ 3）如图所示： 连接 AA1，过点 O 作 ODAA1于点 D， 在 RtADO 和 RtA1DO 中， OA=OA 1， AD=A1D， AOD= AOA1=60° ， AD=OAsin60 ° =4×=2， AA1=2AD=4 ， 所求的最短的路程为AA1= 点评：此题考查了同学们的空间想象能力，同时要求同学们能将立体图形侧面展开，有一定难度 20请阅读下列材料： 问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC 是底面直径，圆柱高AB 为 5dm，求一只蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面 爬行到点 C 的最短路线，小明设计了两条路线： 路线 1：高线 AB+ 底面直径 BC，如图 1 所示路线2：侧面展开图中的线段AC，如图 2 所示 （结果保留 ） （1）设路线1 的长度为L1，则 =49设路线2 的长度为L2，则=25+ 2 所以选择路线2（填 1 或 2）较短 （2）小明把条件改成：“ 圆柱的底面半径为5dm，高 AB 为 1dm ”继续按前面的路线进行计算此时， 路线 1：= 121路线 2：=1+25 2 所以选择路线1（填 1 或 2）较短 （3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为 hdm 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到点C 的路线最短 考点：平面展开 -最短路径问题 分析：（ 1）根据勾股定理易得路线l22=AC 2=高2+底面周长一半2；路线 1：l12=（高 +底面直径）2；让两个平方比 较，平方大的，底数就大 （ 2）根据勾股定理易得路线l22=AC 2=高2+底面周长一半2；路线 1：l12=（高 +底面直径）2；让两个平方比 较，平方大的，底数就大 （ 3）根据（ 1）得到的结论让两个代数式分三种情况进行比较即可 解答：解： （1） l12=72=49， =AC 2=AB2+BC2=52+（5 ）2=25+25 2， 4925+25 2， 所以选择路线2 较短； （ 2） L12=（AB+BC ）2=（1+10）2=121， =1+25 2 l12l220， l12l22， l1l2，所以要选择路线 1 较短 （ 3）当圆柱的底面半径为2dm，高为 hdm 时， l22=AC 2=AB2+2=h2+42， l12=（AB+BC ） 2=（ h+4）2， l12l22=（h+4） 2h2+（2 ）2=428h16=4 （2 4） 2h； 当（ 24） 2h=0 时，即 h= 时， l12=l22； 当 h时， l12 l22； 当 h时， l12 l22 故答案为： 49，25+ 2，2；121，1+252，1 点评：此题主要考查了平面展开最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个 数的平方，通常让这两个数的平方相减注意运用类比的方法做类型题 21如图，正方体边长为30cm，B 点距离 C 点 10cm，有一只蚂蚁沿着正方体表面从A 点爬到 B 点，其爬行速度 为每秒 2cm，则这只蚂蚁最快多长时间可爬到B 点？ 考点：平面展开 -最短路径问题 分析：将正方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可 解答：解： ED=CB=10 ， AD=AE+ED=40 ， BD=10 ， AB=50， 所需时间为50÷ 2=25s 答：这只蚂蚁最快25s可爬到 B 点 点评：立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决 22如图，长方体的底面边长分别为1cm 和 3cm，高为 6cm，如果用一根细线从点A 开始经过4 个侧面缠绕一圈 到达 B（B 为棱的中点），那么所用细线最短需要多长？如果从点A 开始经过4 个侧面缠绕n 圈到达点B，那么所 用细线最短需要多长？ 考点：平面展开 -最短路径问题 专题：计算题 分析：要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“ 两点之间线段最短” 得出结果 解答：解：将长方体展开，连接A、B， 根据两点之间线段最短，AB=cm； 如果从点A 开始经过4 个侧面缠绕n 圈到达点B， 相当于直角三角形的两条直角边分别是8n