小升初奥数几何(蝴蝶模型).pdf
蝴蝶模型 一、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： 蝴蝶模型 一、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： S4 S3 S2 S1 O D CB A 1243 :SSSS或者或者 1324 SSSS 1243 :AO OCSSSS 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面 可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面 积对应的对角线的比例关系 二、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面 可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面 积对应的对角线的比例关系 二、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： A BC D O b a S3 S2 S1 S4 24 SS 22 13 :SSab 22 1324 :SSSSabab ab S的对应份数为的对应份数为 2 ab 基础篇： 基础篇： 【一】 如图，某公园的外轮廓是四边形如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线，被对角线 AC、BD 分成四个部分，分成四个部分，AOB 面积为面积为 1 平方千米，平方千米， BOC 面积为面积为 2 平方千米平方千米， COD 的面积为的面积为 3 平方千米， 公园由陆地面积是平方千米， 公园由陆地面积是 6.92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 【分析】 【分析】 根据蝴蝶定理求得3 1 21.5 AOD S 平方千米，公园四边形ABCD的面积是 1 23 1.57.5 平方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58平方千米 成都学而思五年级教研组 【二】 如图， 四边形被两条对角线分成如图， 四边形被两条对角线分成 4 个三角形， 其中三个三角形的面积已知， 求： 三角形个三角形， 其中三个三角形的面积已知， 求： 三角形BGC 的面积；的面积；:AG GC ？ ？ A B C D G 32 1 【分析】 【分析】 根据蝴蝶定理，12 3 BGC S ，那么6 BGC S； 根据蝴蝶定理， :12 : 361:3AG GC 【三】 图中的四边形土地的总面积是 【三】 图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小 三角形的面积分别是 公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小 三角形的面积分别是 6 公顷和公顷和 7 公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。 7 6 【分析】 【分析】 设另两块面积分别为 x，y，如图： y x 7 6 76 526739 xy xy 设 x=6k，y=7k，则 x+y=13k=39k=3 18 21 x y 四个三角形中最大的一个的面积是21 【四】 如图，如图， 2 2S ， 3 4S ，求梯形的面积 ，求梯形的面积 S4 S3 S2 S1 【分析】 【分析】 设 1 S为 2 a份， 3 S为 2 b份，根据梯形蝴蝶定理， 2 3 4Sb，所以2b ；又因为 2 2Sab，所以1a ；那么 2 1 1Sa， 4 2Sab，所以梯形面 积 1234 12429SSSSS ， 或 者 根 据 梯 形 蝴 蝶 定 理 ， 22 129Sab 提高篇： 【五】 在下图的正方形在下图的正方形ABCD中，中，E是是BC边的中点，边的中点，AE与与BD相交于相交于F点，三角形点，三角形BEF的面积 为 的面积 为 1 平方厘米，那么正方形平方厘米，那么正方形ABCD面积是 面积是 平方厘米平方厘米 A BC D E F 【分析】 【分析】 连接DE,根据题意可知:1:2BE AD，根据蝴蝶定理得 2 1 29S 梯形 （）(平方厘 米)，3 ECD S (平方厘米),那么12 ABCD S(平方厘米) 【六】 如图面积为如图面积为12平方厘米的正方形平方厘米的正方形ABCD中,中,E F是是DC边上的三等分点，求阴影部分的面 积. 边上的三等分点，求阴影部分的面 积. O FE DC B A 【分析】 【分析】 因为,E F是DC边上的三等分点，所以:1:3EF AB,设1 OEF S 份，根据梯形蝴 蝶定理可以知道3 AOEOFB SS 份,9 AOB S 份,(1 3) ADEBCF SS 份,因此正 方形的面积为 2 44(1 3)24份，6S 阴影 份，所以:6:241:4SS 阴影正方形 ,所 以3S 阴影 平方厘米. 【七】 如图，长方形 【七】 如图，长方形ABCD被被CE、DF分成四块，已知其中分成四块，已知其中 3 块的面积分别为块的面积分别为 2、5、8 平方厘米， 那么余下的四边形 平方厘米， 那么余下的四边形OFBC的面积为_平方厘米 的面积为_平方厘米 ? 8 5 2 O AB CD EF ? 8 5 2 O AB CD EF 【分析】 【分析】 连接DE、CF四边形EDCF为梯形，所以 EODFOC SS ，又根据蝴蝶定理， EODFOCEOFCOD SSSS ，所以2 816 EODFOC SS ，所以4 EOD S(平方厘 米)，4812 ECD S(平方厘米)那么长方形ABCD的面积为12 224平方厘 米，四边形OFBC的面积为245289 (平方厘米) 【八】 如图，正方形如图，正方形ABCD面积为面积为3平方厘米，平方厘米，M是是AD边上的中点求图中阴影部分的面积 边上的中点求图中阴影部分的面积 G M D C B A 【分析】 【分析】 因为M是AD边上的中点，所以:1:2AM BC ，根据梯形蝴蝶定理可以知道 22 :1 : 1 2 : 1 2 :21:2:2:4 AMGABGMCGBCG SSSS （） （），设1 AGM S 份，则 123 M C D S 份，所以正方形的面积为1 2243 12 份，224S 阴影 份，所以:1:3SS 阴影正方形 ,所以1S 阴影 平方厘米 【九】 如图，长方形如图，长方形ABCD中，中，AOB是直角三角形且面积为是直角三角形且面积为 54，OD的长是的长是 16，OB的长是的长是 9那 么四边形 那 么四边形OECD的面积是 的面积是 A BC D E O A BC D E O 【分析】 【分析】 解法一：连接DE，依题意 11 954 22 AOB SBOAOAO ，所以12AO ， 则 11 16 1296 22 AOD SDOAO 又因为 1 5416 2 AOBDOE SSOE，所以 3 6 4 OE ， 得 1133 9630 2248 BOE SBOEO ， 所以 35 549630119 88 OECDBDCBOEABDBOE SSSSS 解 法 二 ： 由 于:16:9 AODAOB SSOD OB， 所 以 16 5496 9 AOD S， 而 54 DOEAOB SS， 根 据 蝴 蝶 定 理 ， BOEAODAOBDOE SSSS， 所 以 3 54 549630 8 BOE S， 所以 35 549630119 88 OECDBDCBOEABDBOE SSSSS 【十】 如 下 图 ， 四 边 形 【十】 如 下 图 ， 四 边 形ABCD中 ， 对 角 线中 ， 对 角 线AC和和BD交 于交 于O点 ， 已 知点 ， 已 知1AO ， 并 且， 并 且 3 5 ABD CBD 三角形的面积 三角形的面积 ，那么，那么OC的长是多少？ 的长是多少？ A B C D O 【分析】 【分析】 根据蝴蝶定理， ABDAO CBDCO 三角形的面积 三角形的面积 ， 所以 3 5 AO CO ， 又1AO ， 所以 5 3 CO 挑战篇： 【一】 如下图， 正方形如下图， 正方形ABCD的面积是的面积是a， 正三角形， 正三角形BPC的面积是的面积是b， 求阴影， 求阴影BPD的面积 的面积 P D CB A O A BC D P 【分析】 【分析】 连接AC交BD于O点，并连接PO如图所示， 可得/ /PODC，所以DPO与CPO面积相等(同底等高)，所以有: BPOCPOBPOPDOBPD SSSSS, 因为 11 44 BOCABCD SSa ,所以 1 4 BPD Sba
