数学思维与智慧开发 第十八章归纳与演绎.ppt

第十八章 归纳与演绎,第一节 归纳与演绎方法概述,在人类认识客观世界的发展历程中，归纳和演绎作为两科t重要的思维方法，曾经起着还必将继续发挥巨大的功能和作用。 一般说来，人们认识现实世界中事物的方式，有时候是由认识个别的和特殊的事物，进而认识一般的事物，这种认识方法称为归纳；有时候又由认识一般的事物，过渡到认识特殊的和个别的事物，这种认识方法称为演绎。 这是人类认识运动的两种方向相反的思维过程。,【例】在对许多个别的三角形的三个角进行度量和计算后，发现三个角的和总是于180。通过归纳就会得到一个一般性认识：“三角形的三个内角和等于180o”。 有了这个一般性认识后，当人们要认识某一特殊的三角形比如等腰直角三角形的一个锐角是多少度时，我们就可以由这个一般的认识通过演绎而得到如下特殊的和个别的认识：“等腰直角三角形的锐角等于45”。,由此我们还看到，归纳和演绎决不是互相割裂和绝对对立的。它们虽然是互相区别、彼此对立的，然而它们又相互联系、相互依存，在一定条件下互相转化。 这就是说，在人们的认识过程中，由个别、特殊到一般和由一般到特殊、个别，总是交错进行着的。是认识的上升运动，它既不是单纯的归纳，也不是单纯的演绎。,归纳帮助我们把对于许多个别事物的特殊属性的认识发展为对于一类事物的共同属性的认识。 演绎把我们从归纳得出的一般结论作为根据，继续研究那些尚未深入研究或者新出现的个别事物和其他特性，而这一研究也为进一步的归纳准备条件。 因此，归纳为演绎提供了作为前提的基础，而演绎又指导并进一步深化着归纳的进行。 归纳和演绎就是这样密切的联系着和相互依赖着，互为条件和互相渗透着。,在认识事物的过程中，应用归纳和演绎这两种思维方法进行推理，所表现出来的思维形式，我们分别称为归纳推理和演绎推理，也常称为归纳法和演绎法。 下面我们将分别阐述。,第二节 归纳方法,1、归纳推理及其分类 归纳推理是以某些个别的和特殊的判断为前提，推出一个作为结论的一般性判断的推理形式。 【例】三角形三内角和等于多少? (i)单称判断(个别的判断) 锐角三角形三内角和等于180；直角三角形三内角和等于180；钝角三角形三内角和等于180。 (ii)特称判断(特殊的判断) 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形构成三角形全体。,(iii)全称判断(一般的判断) 三角形内角和等于180。 本例说明：归纳是推理的一种特殊形式。 【例】考察由公式f(n)=n2-n+41给出的数的性质。 f(1)=12-1+41=41，是质数； f(2)=22-2+41=43，是质数； f(3)=32-3+41=47，是质数， 结论：由公式f(n)=n2-n+41给出的数是质数。 本例说明：归纳常常需要通过试验和观察来得到一些个别的和特殊的判断，以作为归纳的前提。,因此，试验与观察是归纳的基础，而归纳则成为人们探索和发现真理的主要工具。 对于归纳(以及类比)推理在从事数学创造性科学研究活动过程中的作用，我国数学家徐利治用下图作出了很好的阐述。,从具体问题具体素材出发,实验,归纳,推广,形成普通命题(猜想),证明,类比,联想,预见,1742年，德国数学家哥德巴赫根据对某些大奇数的分解式的考察，如： 15=3+5+7，21=3+7+ll，77=7+17+53，46l=5+7+449， 通过思考、分析而归纳得到一个猜想：任何大于5的奇数都可以分解为三个质数之和。 他把这个猜想告诉瑞士数学家欧拉，欧拉在肯定他的猜想的同时，进行了新的试验和观察，经过分析而归纳出一个更简明的命题：,任何大于2的大偶数都可以表示为两个质数之和。比如4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+7， 这个命题可以推出前一个命题。 然而它们还只是根据有限个个别的试验和判断所归纳得到的命题，还没有经过严格的证明，还只能称为猜想。 这个猜想被简记为：大偶数=(1+1)。 它吸引了许多数学家的注意。从哥德巴赫和欧拉开始至今，许多数学家前赴后继，努力攻克这 一世界性的数学难题，但遇到的困难仍很大。,1742年，德国数学家哥德巴赫根据对某些大奇数的分解式的考察，如： 15=3+5+7，21=3+7+ll，77=7+17+53，46l=5+7+449， 通过思考、分析而归纳得到一个猜想：任何大于5的奇数都可以分解为三个质数之和。 他把这个猜想告诉了瑞士数学家欧拉。欧拉在肯定他的猜想的同时，进行了新的试验和观察，经过分析而归纳出一个更简明的命题：,为了对归纳推理进行较深入的研究，我们根据归纳过程中的特点，即根据归纳的前提是考察了一类对象的全体，还是仅仅考察它的部分，把它分为完全归纳法和不完全归纳法。 2、不完全归纳法 不完全归纳法是以某类对象中个别的或特殊的部分对象具有(或不具有)某种属性为前提，推出该类事物具有(或不具有)该属性的一般结论的推理方法。,【例】考察相邻两个奇数(偶数)的乘积与它们中间的数的关系。 13=3=22-1 24=3 =32-1 35=15=42-1 46=24=52-1 结论：相邻两个奇数(偶数)的乘积比它们中间的数的平方少1。,【例】十七世纪法国著名数学家笛卡尔曾注意到，任意封闭凸多面体的面数、棱数、顶点数之间有着一定的关系： 四面体：顶点数4+面数4=棱数6+2 六面体：顶点数8+面数6=棱数12+2 八面体：顶点数6+面数8=棱数12+2 十二面体：顶点数20+面数12=棱数30+2 二十面体：顶点数12+面数20=棱数30+2 结论：任意封闭凸多面体的顶点数V+面数F=棱数E+2。 这个公式的严格证明是由十八世纪最著名的数学家欧拉给出的，称之为欧拉公式。,不完全归纳法由于没有(或无法)穷举考察对象的全体，因此它的结论带有猜想的性质，属于似真推理(即当前提为真时仅是可能为真)。 不完全归纳法所推出命题的正确性必须经过严格的证明。 前面各例除“f(n)=n2-n+41给出的数是质数”之外，我们都可以证明它是真的，而由于f(41)=412-41+41=412是合数，说明原来推论f(n)=n2-n+41给出的数是质数是错误的。,对不完全归纳法所得结论具有猜想性，我国著名数学家华罗庚作过如下生动的说明： 从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们会出现一种猜想，是不是这个袋里的东西全部都是红玻璃球? 但是，当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候，这个猜想失败了。 这时，我们会出现另一个猜想：是不是袋里的东西全部都是玻璃球?,但是，当有一次摸出来的是一个木球的时候，这个猜想又失败了。 那时，我们会出现第三个猜想：是不是袋里的东西都是球? 这个猜想对不对，还必须继续加以检验，直到把袋里的东西全部摸出来，才能见分晓。 虽然不完全归纳法属于“似真推理”，它的结论带有猜想性，然而它在科学研 究、数学发展以及数学教学中，却有着非凡的积极的作用。 这是因为由似真推理所得到的猜想，往往意味着发现与创新。,当然，为了提高猜想的真确性，或者说为了更合理的猜想，在运用不完全归纳法时还应当注意更多地考察被归纳的对象。 一类对象中被考察的个别对象越多，范围越广，结沦的可靠性越大；另一方面，对于不完全归纳推得的结论，还应通过逆向思维，尽量搜集能否定自己猜想的反例，这样将使我们对猜想的正确性有更深刻的认识。,3、完全归纳法 完全归纳法是根据某类事物对象中每一个别对象或每一个子类情况都具有(或都不具有)某种属性，概括出该类事物具有(或不具有)该属性的一般性结论的推理方法。 【例】证明自然数的平方的末位数不是2。 我们根据自然数末位数字的不同将自然数集分为十个子集，然后找出每一类子集里的自然数的平方的末位数字，如下表：,此表说明：自然数的平方的末位数不是2。,完全归纳法是考察了某类事物的每个对象或每一特殊(子类)情况，然后得出的一般性结论。 因此，只要前提是真的，那么结论也是真实的。所以完全归纳推理是一种必然推理。 数学归纳法就是完全归纳法的一种。,4、完全归纳法的作用 完全归纳法是认识客观世界，获取知识的方法。 完全归纳法是从特殊到一般的推理，因为它是由对个别事物的认识上升到对一类事物的认识，由对局部的认识上升到对整体的认识，因而使我们认识事物前进了一步。 【例】通过对三类三角形的逐一一考察，概括三角形的一般性质：三角形的三条高交于一点，从而使我们对三角形的认识提高了一步。 完全归纳法也是说明问题和证明问题的方法。,【例】证明一个自然数的个位数字是0或5，那么这个自然数能被5整除。 【证明】因为任何自然数可以表示为N=10A+b(其中b是个位数，A是个位以前的数字组成的数)。 当b=0时，N=10A能被5整除， 当b=5时，N=10A+5能被5整除。 由此证明,一个正整数当个位数字为0或5时，能被5整除。 本例就是运用完全归纳法来说明、证明问题的。,完全归纳法思考问题的原则是面面俱到，周详缜密，这有助于发展思维的全面性，培养缜密思考问题的习惯和能力。 运用完全归纳法应当注意以下几点： 为使完全归纳推理的结论真实，应当注意完全归纳推理的每一个个别性前提的真实可靠。 完全归纳推理的前提必须是对一类对象全体所做的无遗漏的考察。 完全归纳推理考察的对象是有限个或有限个子类，而且用已有的手段是可以逐一进行考察的。,【例】英国数学家格斯里于1852年提出了“四色定理”。 这个定理是在地图上要把所有的地区按照海洋和陆地上的不同国属，用多种颜色加以区别，使相邻的两个地区有不同的颜色。只需四种颜色就可以满足要求。 要证明这一定理，须穷举一切可能，这就要研究2000多个组合构形，进行200亿次判断。由于当时研究手段的限制，进行这种完全归纳式的证明是不可能的。,计算机发明以后，1976年，美国数学家阿沛尔和哈肯用高速计算机运算1200个小时，终于证明了这一定理。 5、在数学学习中注意培养归纳能力 现代数学教育思想对于传统数学教育的一个主要的变革，在于认为“数学教学应当是数学活动的教学，即为数学知识的教学，而不仅仅是数学活动的结果”。,因此，数学教学的主要任务在于指导进行数学思维，以形成和发展那些具有数学思维特点的智力活动结构，并促进数学发现。 完成这一核心任务的一个很重要的方面就是要培养较强的归纳能力。 由于人的认知能力和知识基础的限制，初学数学的许多公式、法则、定律大多从对特例的观察、比较、分析开始，通过归纳明确其规律，得出一般的结论，并通过应用使结论得到进一步的验证，而基本上不给予严格的证明。,因此，在学习中我们就要注意进行恰当的实验，善于进行观察、比较、分析和综合，适时地归纳，启发思维，达到能从个别和特殊的事物中发现规律，通过归纳而得出一般的结论。 归纳推理在数学中的广泛应用使我们确信，长期坚持有意识地进行科学的归纳推理思维方法训练，注重培养观察、比较、分析、综合、抽象和概括能力，就能大大地增强归纳能力，提高数学思维的敏捷性和灵活性，促进数学猜想和发现能力的发展。,第三节 演绎方法,1、演绎推理及其分类 演绎推理以是一个一般性判断(或再加上一个特殊的判断)为前提，推出一个作为结论的个别的或特殊的判断的推理形式。 【例】全称判断(一般的判断)，表示物体(有)个数的数是自然数。 【例】单称判断(个别的判断)，表示一个物体也没有的数O，不是自然数。,【例】全称判断(一般性判断)，两个数的最大公约数是1，则这两个数互质。 【例】特称判断(特殊的判断)，2和3的最大公约数是1。 【例】新的特称判断(新的特殊的判断)，2和3是互质数。,从例中不难看出，演绎推理的前提蕴涵着结论，它的前提与结论之间存在有必然性的联系。因此，当前提为真时，它的结论必然为真。这是演绎推理的根本特点。 而归纳推理的前提为真时，它的结论只能说是“似真”的，即可能为真。 这是演绎推理和归纳推理的本质区别。 演绎推理的“前提为真，结论必真”这一根本特点，决定了它是建立任何一门数学学科的主要工具。,数学科学就是一门演绎的科学，任何一门数学学科的理论，都是由一组基本概念和关系(公理)出发，不断形成新的概念，确立新的关系，并通过演绎推理，按照逻辑顺序，由上述基本概念、关系和公理推出新的判断和推论，逐步建立起学科理论体系。 即使是自然科学，如天文学，从某些理论成果出发，由对天体运行轨道的计算，预见了海王星的存在，并由以后的观测得到证实，充分说明了演绎推理也是自然科学以至一切科学研究活动的有力工具。,为了对演绎推理进行较深入的研究，我们根据演绎过程中的情况，即根据演绎的前提是简单判断，还是复合判断，把它分为简单判断推理和复合判断推理。 简单判断推理又分为直接推理和间接推理， 其中简单判断间接推理通常叫直言推理，它由三个直言判断组成，所以又叫“直言三段论”，习惯上称作“三段论”。 三段论是演绎推理的主要形式。 复合判断推理则包括联言推理、选言推理、假言推理等。 下面我们将着重介绍之。,2、三段论 三段论是以两个直言判断作前提而推出一个作为结论的直言判断的推理。 三段论的三个直言判断总共只包含有三个不同的概念作它们的主项或谓项，这三个不同的概念在三段论中分别称作小项、大项和中项。在结论中作主项的概念叫小项，作谓项的叫大项，在结论中不出现却在两个前提中都出现的那个概念叫中项。 包含有大项的叫大前提，包含有小项的叫小前提。我们看下面的推理。,【例】偶数能被2整除。 (1) a是偶数。 (2) a能被2整除。 (结论) 这是一个三段论，它包含有三个概念：被2整除、a、偶数。 结论中作谓项的“被2整除”是大项，作主项的“a”是小项，结论中不出现而在前提中出现两次的“偶数”是中项。 大项“被2整除”包含于前提(1)，(1)是大前提。小项“a”包含于前提(2)，(2)是小前提。,小项、大项、中项若分别用字母S、P、M表示，那么三段论的一般形式可表示为 M是P (大前提) S是M (小前提) 所以S是P (结论) 这一形式的另一种还未被区分出来的特征是中项的位置。本例中的中项是作大前提的主项和小前提的谓项。在三段论中，中项还可以有其他不同的位置。,三段论推理形式的有效性取决于它是否满足以下五条规则： 中项至少在一个前提里判定了全部外延。 在前提中没有判定全部外延的概念，在结论中也不能判定全部外延。 从两个否定前提不能得出结论。 前提中有一个是否定的，其结论也是否定的。 结论是否定的，其前提必须有一个是否定的。 三段论在实际应用中，人们常常把不言自明的部分略去不讲。这种在表达中把某一个众所周知的命题略去，而仅在思维中存在着的三段论叫做省略三段论。,【例】3258的各位数字之和能被3整除。所以3258能被3整除。 这是省略了大前提“各位数字之和能被3整除的数都能被3整除”的三段论。 【例】因为对顶角相等，所以A=B。 这是省略了小前提“A和B都是对顶角”的三段论。 【例】等底同高的两个三角形的面积相等，而ABC和AMN是等底同高的三角形。 这是省略了结论“ABC和AMN的面积相等”的三段论。,省略三段论不是一种特殊形式的三段论。它在思维上还是完整的三段论，只是在语言表达上把不需要重复的众所周知的真理或普遍承认的前提略去，而达到更加简练有力的修辞效果。,3、在数学学习中培养演绎推理能力 演绎作为一种从一般到特殊的思维方法，它在数学学习中有着极其广泛的应用。 数学教学中陆续引入和不断发展着的定义、法则、公式、性质、定理、推论等等，它们所形成的理论和应用体系，都是运用演绎推理得到的结果。 我们应有意识地在演绎数学理论以及运用数学理论于具体情境中注意训练和培养演绎推理能力。,一方面，根据思维发展的不同阶段，许多数学理论知识的学习常常运用归纳推理，它通过实验、操作、感知、表象，最后达到抽象的理性认识。 然而数学理论大量的发展，向纵深方向的演化，主要运用演绎推理。比如由加法发展到乘法，就是一个从一般(加法)到特殊(同数连加)的逻辑演绎过程，而乘法的运算定律也是加法运算定律的演绎发展。 在学习中，我们就要注意组织新知识赖以存在和发展的已有的知识，创造最近发展区，为学习和发展打下良好的基础。,另一方面，在运用一般原理解答具体问题时，必须弄清楚解题的依据和计算的方法。 特别是在每类问题的开始，应该多问几个“为什么”，详尽地展开思维过程，正确地认识解题和计算的每一步骤的演绎所依据的定义、定理、性质或运算定律和法则，养成“言而有据”、“行必有依”的习惯。 然后再压缩思维过程，省略中间环节，增强思维的敏捷度，提高解题和计算的速度。,【例】异分母分数加法，计算,【解】分数相加必须单位相同，因此须进行通分； 通分就要找出分母的最小公倍数，3与4的最小公倍数是12； 运用分数基本性质变化得,运用同分母分数加法法则得,对上例简化过程，得到,进一步，归纳推理得：分母互质、分子为l的分数相加，和的分母是两个加数的分母之积，和 的分子是两个加数的分母之和。 亦即，若a、b为互质整数时,