平方根知识点总结讲义.doc
平方根 知识点总结【学习目标】1了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根2了解开方与乘方互为逆运算,会用开方运算求某些非负数的平方根,会用计算器求平方根【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于,即,那么这个正数x叫做的算术平方根(规定0的算术平方根还是0);的算术平方根记作,读作“的算术平方根”,叫做被开方数. 要点诠释:当式子有意义时,一定表示一个非负数,即0,0.2.平方根的定义 如果,那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算,叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (0)的平方根的符号表达为,其中是的算术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1区别:(1)定义不同;(2)结果不同:和2联系:(1)平方根包含算术平方根;(2)被开方数都是非负数; (3)0的平方根和算术平方根均为0要点诠释:(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方根;负数没有平方根(2)正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此,我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如:,.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若24与31是同一个正数的两个平方根,求的值【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数,由此可以得到24(31),解方程即可求解【答案与解析】解:依题意得 24(31),解得1;的值为1【总结升华】此题主要考查了平方根的性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数举一反三:【变式】已知21与2是的平方根,求的值.【答案】21与2是的平方根,所以21与2相等或互为相反数.解:当212时,1,所以当21(2)0时,1,所以2、为何值时,下列各式有意义?(1); (2); (3); (4)【答案与解析】解:(1)因为,所以当取任何值时,都有意义(2)由题意可知:,所以时,有意义(3)由题意可知:解得:所以时有意义(4)由题意可知:,解得且所以当且时,有意义【总结升华】(1)当被开方数不是数字,而是一个含字母的代数式时,一定要讨论,只有当被开方数是非负数时,式子才有意义(2)当分母中含有字母时,只有当分母不为0时,式子才有意义举一反三:【变式】已知,求的算术平方根【答案】解:根据题意,得则,所以2,的算术平方根为类型二、平方根的运算3、求下列各式的值(1);(2)【思路点拨】(1)首先要弄清楚每个符号表示的意义.(2)注意运算顺序.【答案与解析】解:(1);(2)【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方,再乘除,后加减,同一级运算按先后顺序进行(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解,熟练后直接根据来解类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的.(1) (2);(3)【答案与解析】解:(1) (2) 117 16或18. (3) 【总结升华】本题的实质是一元二次方程,开平方法是解一元二次方程的最基本方法.(2)(3)小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三:【变式】求下列等式中的:(1)若,则_; (2),则_;(3)若则_; (4)若,则_【答案】(1)1.1;(2)13;(3);(4)2.类型四、平方根的综合应用5、已知、是实数,且,解关于的方程【答案与解析】解:、是实数,3,把3,代入,得24,6【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题,应先求出、的值,再解方程此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性,只需令每项分别等于零即可举一反三:【变式】若,求的值【答案】解:由,得,即,当1,1时,当1,1时,6、小丽想用一块面积为400的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片,使它长宽之比为,请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解:设长方形纸片的长为3 (0) ,则宽为2,依题意得 . . . 0, . 长方形纸片的长为. 5049, . , 即长方形纸片的长大于20. 由正方形纸片的面积为400 , 可知其边长为20, 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽,再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片.