离散数学 树 知识点总结.doc

第六章 树一、掌握基本概念 树的子树是互不相交的，树可以为空（空树） 非空的树中，只有一个结点是没有前趋的，那就是根。非空树只有一个树根，是一对多的关系。叶子结点、结点的度、树的度、结点的层次、树的深度、树的四种表示方法二、二叉树的定义、特点、五种基本形态二叉树是有序树，左右子树不能互相颠倒二叉树中结点的最大度为2，但不一定都是2。三、二叉树的性质要掌握性质1：二叉树的第i层上至多有2 i-1（i 1）个结点。性质2：深度为k的二叉树中至多2k-1个结点。性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0n21。 证明：1)结点总数 n=n0+n1+n2 (n1是度为1的结点数) 2)进入分支总数m(每个结点唯一分支进入) n=m+1 3)m个分支是由非叶子结点射出 m=n1+2n2性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2n+1四、满二叉树和完全二叉树的区别是什么？ 满二叉树一定是完全二叉树，但是完全二叉树不一定是满二叉树。深度为k的二叉树，最少有k个结点，最多有2k-1深度为k的完全二叉树，最少有2k-1-1+1个结点,最多有2k-1五、二叉树的存储结构（可以通过下标找结点的左右孩子） 1.顺序存储结构适用于满二叉树和完全二叉树。（其缺点是必须把其他二叉树补成完全二叉树，从上到下，从左到右依次存储在顺序存储空间里，会造成空间浪费）2.二叉链表存储结构（其优点是找左孩子和右孩子方便，但缺点是找父节点麻烦）lchild Datarchild （重点） 3. 三叉链表存储结构 不仅找其左、右孩子很方便，而且找其双亲也方便六、遍历的概念是什么？七、二叉树的遍历有三种：前序（先序、先根）遍历、中序（中序、中根）遍历、后序（后序、后根）遍历 1.给出一棵二叉树，要会二叉树的三种遍历2.给出两种遍历（必须有中序遍历），要求会画该二叉树。八、了解引入线索（中序、先序、后序）二叉树的原因是什么？九、会在二叉树上画先序线索化、中序线索化、后序线索化。在线索二叉树的格式中，可以找到任意结点的直接后继。（错）在线索二叉树中，如果某结点的右孩子为空，那么可以找到该结点的直接后继。（对）在线索二叉树中，如果某结点的左孩子为空，那么可以找到该结点的直接前趋。（对）十、树.森林和二叉树的相互转换 树转换成二叉树后，转换后的二叉树根的右子树为空。十一、森林的遍历（只有先序遍历和后序遍历）先序遍历一棵树，相当于先序遍历该树所对应的二叉树。后序遍历一棵树，相当于中序遍历该树所对应的二叉树。十二、赫夫曼树（又称最优二叉树或哈夫曼树）、赫夫曼树编码 1. 赫夫曼树中，权越大的叶子离根越近，其形态不唯一，但是WPL带权路径长度一定是最小。2.一定要会构造哈夫曼树，在构造好的哈夫曼树上会构造哈夫曼编码。（认真看题目要求）第6章算法设计题1已知二叉树中的结点类型用BiTNode表示，被定义描述为：Typedef struct BiTNode TElemType data ; struct BiTNode * LChild , *RChild; BiTNode,*BiTree;其中data为结点值域，LChild和RChild分别为指向左、右孩子结点的指针域，编写出求一棵二叉树高度的算法。 Int BTreeHeight(BiTree BT) if (BT=NULL) return 0; else h1=BTreeHeight(BT->LChild); h2=BTreeHeight(BT->RChild); if (h1>h2) return(h1+1); else return( h2+1); 2已知二叉树中的结点类型用BiTNode表示，被定义描述为：Typedef struct BiTNode TElemType data ; struct BiTNode * LChild , *Rchild； BiTNode,*BiTree；BiTree T；其中data为结点值域，LChild和RChild分别为指向左、右孩子结点的指针域，编写算法，求出二叉树中2度结点个数。int degree2nodenum(BiTree T) if (T) if(T->lchild！=NULL &&T->child！=NULL) count+; leafnodenum(l->lchild); leafnodenum(l->rchild); return count; 3已知二叉树中的结点类型用BiTNode表示，被定义描述为：Typedef struct BiTNode TElemType data ; struct BiTNode * LChild , *RChild; BiTNode,*BiTree;BiTree T；其中data为结点值域，LChild和RChild分别为指向左、右孩子结点的指针域，写一算法，求出二叉树中的叶子结点个数。void BTreeLeaf (BiTree BT)if(BT) if(BT-> LChild=NULL && BT->RChild=NULL) count+; BTreeLeaf (BT->LChild); / 访问左子树BTreeLeaf (BT->RChild); / 访问右子树 或下面算法均可编写递归算法，计算二叉树中叶子结点的数目。int LeafCount_BiTree(Bitree T)/求二叉树中叶子结点的数目if(!T) return 0; /空树没有叶子else if(!T->lchild&&!T->rchild) return 1; /叶子结点else return Leaf_Count(T->lchild)+Leaf_Count(T->rchild);/左子树的叶子数加上右子树的叶子数/LeafCount_BiTree4PPT上的三种遍历递归算法和课本上P131先序递归创建二叉链表。5. 给定一棵二叉树，其根指针为root。试写出求二叉树结点数目的算法（递归算法或非递归算法）。【提示】采用递归算法实现。int count(BiTree t)if (t=NULL)return 0;elsereturn count(t->lchild)+count(t->rchild)+1;6. 以二叉链表为存储结构，写一算法交换各结点的左右子树。【分析】依题意，设t 为一棵用二叉链表存储的二叉树，则交换各结点的左右子树的运算基于后序遍历实现：交换左子树上各结点的左右子树；交换右子树上各结点的左右子树；再交换根结点的左右子树。【算法】void Exchg(BiTree *t) BinNode *p; if (t) P=(*t)->lchild; (*t)->lchild=(*t)->rchild; (*t)->rchild=p; Exchg(&(*t)->lchild); Exchg(&(*t)->rchild); 7. 已知一棵二叉树采用二叉链表结构存储，每个结点的值为整数类型。要求：给出相应的语言描述，在此基础上设计计算二叉树中所有结点值之和的算法。typedef struct linkint data; struct link * lchild;struct link * rchild; bitnode , *bitree ; void sum(bitree *bt,int &s) if(bt!=0) s=s+bt->data; sum(bt->lchild,s); sum(bt->rchild,s);