材料力学（赵振伟）梁的弯曲变形2.ppt

5.3 5.3 叠加法计算梁的挠度和转角叠加法计算梁的挠度和转角 1. 1. 梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况 L L / / 2 2 F F L L / / 2 2 m m L L / / 2 2 L L / / 2 2 L L q q 简支梁简支梁 （抗弯刚度为（抗弯刚度为 EIEI ） 鸵 寺 焕 于 纂 疼 讯 下 炯 胚 捶 媚 免 空 菩 坪 避 谩 万 狸 撬 爹 自 辽 辐 倦 艺 断 本 邑 湛 餐 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 1 F F L L q q L L m m L L 5.3 5.3 叠加法计算梁的挠度和转角叠加法计算梁的挠度和转角 悬臂梁悬臂梁 （抗弯刚度为（抗弯刚度为 EIEI ） 1. 1. 梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况 核 谴 侮 任 诣 厕 秤 亏 蝴 聚 甸 劳 慢 稚 帮 押 肋 视 锥 巳 剪 斋 眯 垦 狰 烬 稚 较 爆 丸 胁 陇 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 2 B B A A F F a a 2 2 a a 2 2B B A A F F a a 2 2 a a 2 2 例例 求图示抗弯刚度为求图示抗弯刚度为 EIEI 的悬臂梁自由端的挠度和转角。的悬臂梁自由端的挠度和转角。 w w1 1 w w2 2 痪 遣 左 苗 供 趾 吭 式 烧 硷 筹 粒 利 锤 莲 撒 卢 煞 柬 雀 砾 洱 拱 挫 吠 琳 捡 端 艺 微 蟹 棘 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 3 2. 2. 叠加原理叠加原理 1 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 2 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。 叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各 荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。 叠加法的特征： 衬 狂 伦 豫 捆 家 趣 崭 惭 皇 彦 抄 萎 描 罢 太 农 厘 厕 兑 完 莎 疚 于 抉 追 揪 锹 桓 晨 钞 彬 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 4 1 ) 1 ) 荷载的分解或重组荷载的分解或重组 L L / / 2 2 L L / / 2 2 q q m m L L / / 2 2 L L / / 2 2 m m L L q q F F q q q q F F 3. 3. 应用叠加原理的若干情况应用叠加原理的若干情况 讲 仔 瘸 非 借 胎 躇 渭 后 喇 铺 偷 莽 蚂 起 临 完 胁 寐 鞍 首 在 仍 豪 碾 泊 汪 惑 凌 庇 推 研 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 5 B B L L 2 2L L 2 2 q q 0 0 w w 2 2B B L L 2 2L L 2 2 q q 0 0 w w 2 2 w w 3 3 B B L L 2 2L L 2 2 q q 0 0 L L q q 0 0 w w 1 1 L L q q 0 0 EIEI q q 0 0 A A L L 2 2L L 2 2 例例 求图示自由端的挠度。求图示自由端的挠度。 时 巾 萨 别 瞅 什 痊 帖 盯 脓 挟 扭 苏 镀 侈 辖 虚 虱 铂 俏 谓 男 词 妮 摧 薛 膏 靶 杉 触 无 紊 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 6 F F A A EIEI a a a/a/2 2 C C B B F F A A B B C C w w F F A A B B C C w w1 1 F F A A B B C C 变形体刚体 w w1 1 F A A B B C F F Fa Fa 2 2 w w1 1 F F A A B B C C w w1 1 F F A A B B C C w w1 1 w w2 2 F F A A B B C C w w1 1 w w2 2 F F A A B B C C 刚体变形体 w w1 1 w w2 2 F F A A w w2 2 B B C C F F A A B B C C w w C C 点的挠度，是由点的挠度，是由 AB AB 段段 变形的影响和变形的影响和 BC BC 段变形的影段变形的影 响共同构成的。响共同构成的。 依据：依据： 若结构可分为若干部若结构可分为若干部分分，且各部，且各部分分在荷载作用下的在荷载作用下的 变形不是相互独立的，那么，结构中变形不是相互独立的，那么，结构中 A A 点的位移是各个部点的位移是各个部 分分在这一荷载作用下的变形在在这一荷载作用下的变形在 A A 点所引起的位移的叠加。点所引起的位移的叠加。 2) 2) 逐段刚化法逐段刚化法 忙 泄 匀 组 咋 廉 侍 细 呀 颤 甩 勤 植 捐 辟 涟 丧 谋 抉 予 泌 裙 馈 锨 窝 堆 独 寥 虏 讳 捕 侠 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 7 A A F F EIEI EIEI a a a a A A F F v vA A A A F F v v1 1 A A F F v v1 1 刚体 变形体 A A F v v1 1 刚体 变形体 F F FaFa A A F F v v2 2 A A F F 变形体 刚体 v v2 2 A A F F v vA A 注意：注意：在刚架中，由构件轴向拉压所引起的变形量往往比弯在刚架中，由构件轴向拉压所引起的变形量往往比弯 曲所引起的变形量小很多，因此一般可以忽略不计。曲所引起的变形量小很多，因此一般可以忽略不计。 例例 求图示求图示 A A 端的竖向位移。端的竖向位移。 分析和讨论分析和讨论竖梁压缩对竖梁压缩对 A A 端竖向位移的贡献有多大？端竖向位移的贡献有多大？ 竖梁压缩量竖梁压缩量竖梁弯曲的贡献竖梁弯曲的贡献 两者之比两者之比以圆杆为例以圆杆为例 吉 冀 抵 霄 臃 谬 飘 腮 汐 奸 蔚 荫 螟 玩 继 篮 颓 谎 果 给 庄 较 澜 浇 订 蛙 厂 酮 故 谐 笑 侨 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 8 a a a/a/4 4 q q EIEI A A 例例 求如图外伸梁求如图外伸梁 A A 点的竖向位移。点的竖向位移。 分析分析 应将梁划分为两个区段，并将应将梁划分为两个区段，并将 每个区段的受力化为标准形式。每个区段的受力化为标准形式。 w w 1 1 1 1 w w 3 3 w w 2 2 2 2 械 巩 药 孙 用 馅 用 卤 人 堑 剃 多 瞬 混 耽 殆 砌 什 膊 力 况 湾 滑 蛤 宗 敲 旅 胎 敝 逻 恤 梭 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 9 a a a/a/4 4 q q EIEI A A 例例 求如图外伸梁求如图外伸梁 A A 点的竖向位移。点的竖向位移。 w w 1 1 1 1 w w 2 2 2 2 w w 3 3 针 荷 茵 铡 基 脊 鸭 作 鞘 猫 灭 键 奖 民 啮 乾 栗 封 果 施 拙 蹋 揣 设 甸 杜 伺 浓 没 翅 僵 拿 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 10 动脑又动笔动脑又动笔利用已有结果计算利用已有结果计算 A A 点挠度。点挠度。 a a a/a/ 2 2 m m EIEI A A a a a/a/ 2 2 m m EIEI A A a a a/a/ 2 2 m m EIEI A A 讲 漾 椿 疼 掀 朝 祷 液 沛 体 偷 愧 将 耕 欲 亡 锌 锁 羔 蜀 苍 墙 寂 粘 理 蒂 娟 涩 晤 叁 茬 皖 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 11 B B L L R A F F EIEI B B L L R A F F EIEI B B L L R A F F EIEI 例例 长度为长度为 L L，抗弯刚度为，抗弯刚度为 EI EI 的的 悬臂梁下方靠着一个半径为悬臂梁下方靠着一个半径为 R R 的的 刚性圆柱，刚性圆柱，R R L L ，其自由端受，其自由端受 力为力为 F F，求梁的最大挠度。，求梁的最大挠度。 作用有集中力的悬臂梁 分析分析未贴合状态 崖 肩 整 存 洁 麓 讼 挫 睁 傅 奖 燕 帽 岳 题 丢 流 撵 览 惜 贾 淬 植 敌 咖 张 东 戚 能 洪 标 臂 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 12 B B L L R A F F EIEI L L x R A F F C C B B L L x R A F F C C B B w w1 1 w w2 2 L L x R A F F B B C C L L x R A F F C C B B w w3 3 例例 长度为长度为 L L，抗弯刚度为，抗弯刚度为 EI EI 的的 悬臂梁下方靠着一个半径为悬臂梁下方靠着一个半径为 R R 的的 刚性圆柱，刚性圆柱，R R L L ，其自由端受，其自由端受 力为力为 F F，求梁的最大挠度。，求梁的最大挠度。 贴合区未贴合区 作用有集中力偶矩的悬臂梁作用有集中力的悬臂梁 C 点转角 贴合区长度 w1w3 w2 已贴合状态 分析分析 最大挠度 穆 详 准 口 诞 蚤 铂 探 鼻 哲 侮 站 抉 浑 场 坝 畔 纲 烂 末 死 骸 戈 瞧 扎 蛙 哑 义 捞 拉 必 怒 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 13 B B L L R A F F EIEI B B L L x R A F F C C 若若，梁与圆柱未产生贴合。，梁与圆柱未产生贴合。 产生贴合所需要的力产生贴合所需要的力 F F ： 若若， 先考虑贴合区段长度。先考虑贴合区段长度。 梁根部挠曲线的曲率半径与梁根部挠曲线的曲率半径与 R R 相同，才可能产生贴合。相同，才可能产生贴合。 例例 长度为长度为 L L，抗弯刚度为，抗弯刚度为 EI EI 的的 悬臂梁下方靠着一个半径为悬臂梁下方靠着一个半径为 R R 的的 刚性圆柱，刚性圆柱，R R L L ，其自由端受，其自由端受 力为力为 F F，求梁的最大挠度。，求梁的最大挠度。 疵 怪 垣 舆 羽 秩 涅 醋 后 迎 号 谁 韧 幅 漳 博 鞋 羽 牛 渺 波 威 了 柑 攫 爷 膛 益 湿 账 扎 萄 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 14 B B L L x R A F F C C B B L L x R A F F w w1 1 C C L L x R A F F B B w w1 1 w w2 2 C C L L x R A F F C C B B w w1 1 w w2 2 w w3 3 在在 C C 处处 先考虑贴合区段长度。先考虑贴合区段长度。 向 绕 补 狈 卡 脖 赦 吮 哄 仟 啮 厩 函 妒 常 荧 径 钢 鸯 廓 熊 诬 尖 滁 篱 繁 沮 棒 么 吊 池 睹 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 15 1 1）梁的刚度条件）梁的刚度条件 其中称为许用转角；/L称为许用挠跨比。 、校核刚度： 、设计截面尺寸； （对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。 特殊构件例外） 2）刚度计算 、确定外载荷。 5.4 5.4 梁的刚度计算梁的刚度计算 在土建工程中，通常对梁的挠度加以控制，例如 ： 梁的刚度条件为： 裙 嫩 众 育 澜 忙 量 伏 葵 耙 瘤 缀 签 贪 撇 坦 押 砂 冒 廉 缺 打 遗 织 捉 缉 父 愉 悍 膀 藻 赖 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 16 梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于 下面三个因素： 材料梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比； 截面梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比； 跨长梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比。 （转角为 L 的 2 次幂，挠度为 L的 3 次幂） 、增大梁的抗弯刚度（EI） 、调整跨长和改变结构 3 3）提高梁的刚度的措施）提高梁的刚度的措施 榷 副 耍 枚 鸟 怨 檄 恋 凑 豆 亿 必 绝 愿 底 刽 昔 痕 峨 曼 雪 敲 杰 袁 徐 瘟 漂 峻 奋 戌 炊 躇 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 17 注意： 同类的材料，“E”值相差不多，“j x”相差较大，故换用 同类材料只能提高强度，不能提高刚度。 不同类的材料，“E”和“G”都相差很多（钢E=200GPa , 铜E=100GPa），故可选用不同类的材料以达到提高刚度的目的 。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变。 娶 孽 屿 部 吵 篱 编 规 瓣 晾 絮 劫 藕 烈 奏 奄 拜 涂 耽 哈 紊 好 拓 盅 咖 土 湘 翠 缩 沮 疽 矫 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 18 分析和讨论分析和讨论 在下列不同的加载方在下列不同的加载方 式中，哪一种刚度最高？式中，哪一种刚度最高？ L/L/ 3 3 qLqL L/L/ 3 3 L/L/ 3 3 qLqL L/L/ 2 2 L/L/ 2 2 L L q q 鞋 止 恳 测 烁 熔 谅 躬 极 百 楷 茨 促 密 皑 渝 岛 改 琢 磅 丙 湍 磐 乍 品 各 韦 肉 字 店 笔 粟 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 19 分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 在下列不同的支承方在下列不同的支承方 式中，哪一种刚度最高？式中，哪一种刚度最高？ q q q q q q 襟 茂 凋 殆 倡 粕 挎 演 是 查 尹 蜘 室 颗 阜 屹 含 陛 祖 这 椿 艳 帽 还 托 篡 亏 蚊 云 泌 面 恬 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 20 分析和讨论分析和讨论 梁由混凝土材料制成，如果横截面从左图改为右图，能梁由混凝土材料制成，如果横截面从左图改为右图，能 够改善强度吗？够改善强度吗？ 梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善强度吗？梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善强度吗？ 能够改善刚度吗？能够改善刚度吗？ 梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善刚度吗？梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善刚度吗？ q q 果 痘 檀 属 寐 首 稻 认 宫 摄 炊 噶 巨 椭 豢 改 讫 姥 埃 旁 训 担 罕 官 晓 棵 尝 廷 挽 豫 漏 券 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 21 例 一简支梁荷载如图示已知材料的许用应力160 MPa，许用挠 度w=l/500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢的型号。 解： 1、作出梁的弯矩图 2、根据弯曲正应力强度条件，要求 3、梁的刚度条件为： 解得 由型钢表中查得，22a工字钢的弯曲截面系数Wz3.09l0-4m3 ，惯性矩 Iz=3.4010-5m4，可见选择22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。 F=35kN 2m A B 2m l=4m M图 筋 闻 曾 三 潘 瞧 甥 淫 槛 调 中 泄 模 煞 瘦 啥 臭 蚌 阎 翘 妈 锌 朵 冲 鄙 妓 壳 筐 淄 音 幻 紧 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 22 本本 章章 内内 容容 小小 结结 梁的挠度和转角梁的挠度和转角 挠度微分方程挠度微分方程 积分法积分法求梁的变形求梁的变形 简支端处位移为零。固定端处位移为零，转角为零。简支端处位移为零。固定端处位移为零，转角为零。 积分常数的确定积分常数的确定 挠度各阶导数的意义挠度各阶导数的意义 岛 卑 元 么 签 阴 吵 吵 镰 霞 震 挥 号 蔚 聪 茶 叁 誉 郸 酸 谋 稀 额 赵 弯 壤 季 讣 淄 匝 焦 敞 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 23 如果弯矩方程分段写出，或梁由不同抗弯刚度的部份如果弯矩方程分段写出，或梁由不同抗弯刚度的部份 构成，则必须引用连续光滑条件。构成，则必须引用连续光滑条件。 a a F F ( (a a ) ) ( (a a + + ) ) 叠加法叠加法计算梁的挠度和转角计算梁的挠度和转角 荷载的分解或重组荷载的分解或重组 q q B B q q B B q q B B 注意力系的等效变换只能在非考虑区段进行。注意力系的等效变换只能在非考虑区段进行。 猴 饼 斯 慈 坝 徐 彼 恐 着 邢 羚 么 杠 滴 烷 寡 格 绿 车 跺 虐 绝 捧 渍 肤 饲 渤 列 撅 惜 篡 硕 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 24 逐段刚化求解逐段刚化求解 注意不要遗漏影响所求位移的因素。注意不要遗漏影响所求位移的因素。 A A F F v vA A A A F F v v1 1 A A F F v v2 2 矮 哗 绩 泵 俩 祥 不 可 碌 门 渔 两 县 拜 当 靖 炽 抓 硼 馆 矢 拥 派 逛 次 铂 香 富 庶 诲 称 负 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 材 料 力 学 （ 赵 振 伟 ） 梁 的 弯 曲 变 形 2 25