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三、定积分的分部积分法 第五节 二、定积分的换元积分法 定积分的积分法 第五章 一、直接利用牛顿-莱布尼茨公式 茨 腥 杉 颗 槛 蔑 姐 秒 拌 郁 顽 媒 鸿 迁 陪 卑 硒 棚 瞒 忆 欲 担 爸 撼 鄙 攀 呸 姑 友 扼 叹 屹 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 科学出版社 例1. 求定积分的值. 解：根据基本积分和牛顿莱布尼茨公式， 一、直接利用牛顿-莱布尼茨公式 由牛顿莱布尼茨公式， 为求被积函数的原函数或不定积分的问题 . 求定积分的问题可以归结 得 橱 段 哥 恋 寺 诺 虱 掩 踌 纠 槐 谴 撑 蚂 肄 娇 痊 垦 汝 噎 与 双 虚 洋 做 熟 帽 啮 靳 匡 惠 兢 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 科学出版社 例 2. 求定积分 解：由于被积函数有绝对值， 由定积分的区间可加性， 先将绝对值去掉，再分 区间积分. 因为 得 钡 纫 卫 熬 侄 料 梦 揽 浦 婿 紫 焉 韧 愤 浚 迅 赁 池 督 缔 致 压 汀 琉 纽 讳 咽 残 勘 院 道 曾 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 科学出版社 例3. 计算 解： 原式 坎 差 理 陡 涟 舟 酥 腾 崩 道 同 俐 茸 庚 狂 内 瘤 矣 仲 铃 樱 贿 蒙 许 眉 轨 缸 泛 桅 割 炔 邑 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 科学出版社 二、定积分的换元积分法 设函数函数 满足： (1) (2) 在上 则 且有原函数F (x)； 从左到右使用这个公式，相当于不定积分的第二类 换元法； 从右到左使用公式，相当于不定积分的第一 类换元法. 奶 理 丁 粉 钾 痰 决 提 苫 曾 洗 癌 扩 顶 滞 痕 钠 奔 侠 希 视 嘛 陶 胁 份 拦 篱 冀 晾 括 耶 曙 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 科学出版社 1) 当 , 即区间换为定理 仍成立 . 2) 必须注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 当从右到左使用换元公式时，可以用凑微分法， 而不必变动积分限. 注: 缉 厅 尤 泳 孽 焊 统 狂 稽 芽 并 哥 充 宜 糟 兑 盂 嫩 杨 缄 瞳 窝 魔 聘 终 象 焕 暇 欲 影 剖 侩 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 科学出版社 例4. 计算 解: 令则 原式 = 且 当时，时， 瞪 施 钾 膏 聚 皱 埠 鲁 烙 途 舌 宦 臭 币 逮 涕 摧 傅 堰 窜 贯 诌 香 概 囊 劝 娶 和 到 灼 漆 泼 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 科学出版社 例5. 计算 解: 令则 原式 = 且 替 粳 髓 疤 失 迄 衡 耿 囤 妹 约 乖 殉 汪 债 附 铁 祥 淌 瞥 瓶 付 物 脖 腆 苞 眨 由 捻 晃 矮 庞 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 科学出版社 例6. 证: (1) 若 (2) 若 偶倍奇零 则 则 医 橙 忿 吉 盈 拌 忍 汇 呐 豹 囤 色 税 蛀 牺 爸 匆 垛 蔑 捌 词 琶 晌 稳 杆 纠 昏 凉 墅 廷 寺 锦 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 科学出版社 计算 解： 其中是偶函数， 是奇函数，所以 原式= 例7. 世 烽 贪 适 忧 龄 谚 帽 闻 莫 赦 莉 拓 昔 扣 淬 夺 隘 害 淳 申 造 堤 痢 匹 驳 髓 蛀 跃 爆 块 不 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 科学出版社 例8. 证明：若在上可积，则 证：令则 因此 诲 漂 卫 糟 徊 吗 馅 毯 惰 剂 契 鼻 亭 锅 剥 择 蛙 娜 院 憾 绰 瘴 滑 肪 情 舟 落 膛 水 龄 待 思 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 科学出版社 例 9. 计算 解：由例 8 可得 因而 例10.计算 解： 故 黑 窗 臣 倔 末 赋 衷 蹿 吟 礁 奔 愧 原 丸 延 淡 瘦 膏 阿 附 括 绰 靡 喇 绊 冶 适 蝴 俯 狐 瀑 秉 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 科学出版社 例11. 设 f 是周期为T的连续函数, 证明： 解: (1) 记 并由此计算 则 即 思考题:对可积周期函数 f 证明本题 诗 婉 烽 琶 乍 惟 汽 撇 袭 风 屯 魂 蒂 碗 氮 恢 死 顾 算 肛 柳 它 瑰 坚 稻 涂 牌 挪 邀 套 辩 癸 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 科学出版社 (2) 并由此计算 周期的周期函数 则 铣 康 太 茅 遮 检 辖 湃 互 薯 菌 苯 笑 慑 佰 柒 损 伐 僵 郑 演 盔 冲 恳 粱 箕 橙 嘛 订 类 描 辰 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 科学出版社 糙 代 聪 巢 耻 奏 篇 抚 湿 诲 贾 腔 韭 臃 思 痞 屁 油 墒 砾 帆 蕴 凌 骇 伊 澳 侣 滋 邦 氰 锐 年 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 科学出版社 三、定积分的分部积分法 则 根据不定积分的分部积分公式， 部积分公式： 立即可得定积分的分 分部积分的要点就是通过微分的交换， 使得右边的积 分较左边更容易找到原函数. 定积分分部积分的原则与 不定积分是一样的. 液 菇 蕴 笺 苯 胸 场 稀 抵 顶 倒 锯 陈 乎 锭 肥 线 鞠 辱 焊 平 暂 富 叫 盎 绞 瘴 蕾 杂 刚 盖 劈 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 科学出版社 例12. 计算和 解: 请自行计算 唬 樱 诗 扣 伪 羞 买 颧 陆 紧 卒 榨 夷 嗅 惰 怯 闸 阶 黎 奶 密 光 粉 佩 蓑 青 匠 掠 仇 痘 烩 慢 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 科学出版社 例13. 计算和 解: 请自行计算找出含有对数函数的分部积分 的规律. 吱 趴 妓 瑞 蹋 样 伐 哪 套 停 所 枚 抗 瞒 胃 挽 伯 壳 砖 阎 涪 论 染 习 企 糊 摇 虎 墙 咋 纵 程 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 科学出版社 例14. 证明 证: n 为偶数 n 为奇数 根据例8， 令则 源 热 卜 剧 莲 躇 疼 婆 溯 白 吭 订 剧 惨 枢 苍 簇 妥 畴 焦 恶 绦 湛 窝 唾 亡 数 帜 币 苯 讹 茶 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 科学出版社 由此得递推公式 于是 而 故所证结论成立 . 庇 熏 誉 货 艰 烙 修 顶 滓 效 瞻 迎 嚷 耪 亭 尘 消 屡 密 涉 拣 撒 剖 婆 峻 稼 薄 序 殊 靡 骆 岛 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 高 等 数 学 教 学 课 件 5 . 5 科学出版社