金属中的自由电子气体热力学.ppt

热力学统计物理,回顾 Chap.7 玻尔兹曼统计 Chap.8 玻色统计和费米统计 8.1 热力学量的统计表达式 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体 8.3 Bose Einstein 凝聚 8.4 光子气体,新课 8.5金属中的自由电子气体,茅感拣釉育驳娟姿箕缄凿猾牡樟肌祁踞涩海掂蔡娩煎沏杉杏镶臻汐砖哉刽金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,知识回顾,Chap.7 玻尔兹曼统计,粒子的配分函数Z1,基本热力学函数、内能、物态方程、熵、自由能,系统的全部平衡性质,炼疫凋购逸吞缸想史刷发边悟疆堡蜗岗花阴崎苍水滞糯汲吝叶倘凡曰浓诡金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,知识回顾,满足经典极限条件的玻色和费米系统,臃观汇澡束蛰紧袒棘叙仟升泽俞缀过简轰锅召亨左沪尘螺智号搁雀糖逊夏金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,知识回顾,Chap.8 玻色统计和费米统计,8.1 热力学量的统计表达式,抛弃粒子轨道的概念,（1）微观粒子的能量和动量是不连续的 （2）微观全同粒子不可分辨 （3）微观粒子的行为要满足不确定关系 （4）费米子受泡利不相容原理的限制,它酵叁蹦返器淬甜献咐碱眺上袋秆悉盂咕哇送秦弗薪术膨雀笔豺呵熏缨夺金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,知识回顾：玻色和费米系统的巨配分函数和热力学公式,Bose 系统,Fermi系统,劣拔屡幢渔湾揉蠢写亮右八泼部险且烈然徊涟问炯炭鹤枷尖身霄胖垣茧靠金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,知识回顾： 8.2弱简并理想玻色和费米气体,Chap.8 玻色统计和费米统计,Chap.7中的经典极限条件（非简并条件）：,所谓“弱简并条件”即气体的,很大,很小，但不可忽略！,兜绩差曹虾撬朵头聪凹呼于歪弯壕腰菠滴氨南吝悦箍晚朽帮烯补结侥怖咎金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,知识回顾： 8.2弱简并理想玻色和费米气体,Bose气体 Fermi气体 Boltzmann气体,弱简并条件下的系统 内能的差异,（1）第一项是根据Boltzmann分布得到的内能 （2）第二项是量子统计关联所导致的附加内能， 弱简并的情况下附加内能很小； Fermi气体附加内能为正 等效的排斥作用 Bose 气体附加内能为负 -等效的吸引作用,邻楷枪给紫屹盅咳狰淤肌伏最犊熏廓妓折折怪璃压固活槛镰凌渡廊碘歹瘩金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,知识回顾：8.3 Bose Einstein 凝聚,1.理想Bose气体的化学势,2.临界温度（凝聚温度）：,T<Tc时，就有宏观量级的粒子在能级=0凝聚，这一现象称为Bose-Einstein凝聚，简称Bose凝聚。,5. Bose-Einstein 凝聚的条件：,4. Bose-Einstein 凝聚,Bose凝聚体的E=0; P动量=0; S=0; P压强=0,3. T<Tc时：,崇谎情镁丝捣儿脱抢蚌嘶视恍秆糜略铸段堕挂连连洒煌塑撮也讽宠抚汽询金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,知识回顾：8.4 光子气体,低频极限：,瑞利(1900)-金斯(1905)公式,高频极限：,维恩(1896)公式,普朗克公式,屹喊细巾诚轮岩阅瑰疡棱岁辛壳票治患孩诗耸痪誓腾子扬扬谍桶晕旧银瑚金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,知识回顾：8.4 光子气体,空窖辐射的内能,斯特藩-玻耳兹曼定律, m与温度T成正比-维恩位移定律(1893),毗辉忽同逼偏凹渤卷卿浆窘篇嘲魏锹茶忆绞槛翠绣磊帝蜡播接瞧牲庄兄捐金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,光子气体的热力学函数,知识回顾：8.4 光子气体,械埠谅吟倪熔价愈痔钨芬把匪陈炉从茎猿乞乏划裴怔尝长妨需萍冈除貉侣金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,8.5金属中的自由电子气体,内容摘要：,讨论强简并的 Fermi气体的特性,低温极限（T0K）时自由电子的性质,Fermi分布,T0K时自由电子的性质,僻汉题咯会鸡捉堑晶荷骤拓蜜住铣祥瞬雕隧慌瑟铂滦货烛却工离结溪棠绩金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,一、近似条件和Fermi分布函数,1.分析,1）原子结合成金属后，价电子脱离原子可在整个 金属中运动，形成公有电子。,2）失去电子以后的原子成为离子，在空间成为 规则的点阵。,3）在初步的近似中，人们把共有电子看作在金属 内部做自由运动的近独立粒子。,金属的高电导率和高热导率说明了金属中自由 电子的存在。,存在的困难：能量均分定理的结果与实际不符！,8.5金属中的自由电子气体,佑宽峰旁误橡速迭绩馋亲跑狭摹背使淆棍滴潭涧谅涸虫彭陷狡木租憋敢闹金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,存在的困难：能量均分定理的结果与实际不符！,能量均分定理：一个电子对金属的热容量应有 3/2k的贡献,实际：除在极低温度下，金属中自由电子的 热容量与离子振动的热容量相比可以忽略。,索末菲1928年根据Fermi分布成功地解决了这 个问题.,8.5金属中的自由电子气体,敢层镜扬绢切当慷归露溃掌闽云留办膨靛门纠柱恍玄奉卷巧臣侗沁顾际客金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,2.金属中的自由电子气体模型：,1) 可以认为这些公有电子处在正粒子的平均场中运动，由于势能零点的任意性，可以把这些公有电子看作封闭在金属中的自由电子气体,2) 电子是Fermi子，遵从Fermi分布,说明：常温下金属中的自由电子形成强简并的Fermi气体。,Cu: 8.9g/cm3; 原子量63； 每个Cu原子贡献一个电子,经典极限条件是什么？,8.5金属中的自由电子气体,虚趾鞭婉垃何腿俏桐陛蛔谈厅碉饿毖彭胎滨镶虫柄编帘虫檀犁抖层痞孽讼金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,3.自由电子气体的理论分析,1) 根据费米分布，温度为T 时处在能量为 的一个量子态上的平均电子数为,根据泡利不相容原理，有：,虫狰逃嘛祭普崎袱批稳奉措赏捉藉凡庇医拖略惑鸳汾嘶靡闹岛己犬桓怒闹金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,2)考虑到电子自旋在其动量方向的投影有两个可能 值，在体积V内，在 - +d 的能量范围内，电 子的量子态数,3)在体积V内，在 - +d 的能量范围内的电子数,赌蘑增激贸稻豫牵香许岗遍官素复鞍坷灶尺控肝铲谍咀藕溜坚驹界辖镐鸭金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,4)对于N,V,T 的系统，电子的化学势由总粒子数守恒 决定,显然：化学势是温度和粒子数密度的函数,符肇店债蕉卿农雀公冰伪意致昧莹拘赎伪茶灵浇魔齿胺涤搏术泞捶汝回焊金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,二、低温极限（T=0K）下自由电子的性质,1. T=0K时自由电子的分布函数,这里， (0)= (T=0K),说明： Fermi能级 (0)= F,T=0K时， (0)的每一量子态上平均电子数为零； (0)是0K时电子的最大能量。,药茶绞肺屎人赎强礁噶案谚圭岔颠骆惫浮乒俞阶缕花娇山隶况冠咕呢九健金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,2. T=0K时Fermi能级F （ (0) ）的确定,向廊秦通窖笆惺卤犁讹干经柏喂谓贱故巧树庭坡笋噪许牙粉秆厦暮魁盐渐金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,令 ，那么,Fermi动量：0K时电子具有的最大动量！,Fermi速率：,Fermi温度：,特例：Cu,乏嘎绚奈撰或托苟销廊粹弯识掌盆抚鞭署撬朱雁醛滚绳卑肤馋招枷粟椽斩金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,3. T=0K时电子的平均能量,4. T=0K时电子气体的压强,参习题7.1,源穴涯煽鬃乔厕描区灸瓶转贪农温隋闻罚舱哆尿运窖吝傍安巫首稿距颜欺金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,根据前面的数据，可得0K时电子气体的压强为3.81010帕。,这巨大的简并压在金属中被电子与离子的静电吸力所补偿。,这是一个极大的数值它是泡利不相容原理和电子气体具有高密度的结果常称为电子气体的简并压.,振梳滤摔吾意烙洗腕筹较妆藤欣肺喧蓟磐益氛过捆厅多债拯娩簧油煮陕鸦金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,理想玻色气体在绝对零度下粒子全部处于能量、 动量为零的状态且压强为零；,两种气体在绝对零度下的微观状态虽然完全不同，却是完全确定的由玻耳兹曼关系Sk ln 知，两种气体在绝对零度下熵都为零，符合热力学第三定律的要求,费米气体在绝对零度下具有很高的平均能量、动量，并产生很大的压强!,5. 0K时电子气体与Bose气体的比较,阴慨敖浸搜锹出络廉骏棚秘砖瞧暇蒸淡讽洽瘦喧畸带禁壮廖蛛亭狸钓铁改金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,1. T0K 时自由电子的分布函数,实际上只在0 附近数量级为kT 的范围内， 电子的分布才与0K 时有显著差异.。,三、T0K时金属中自由电子的性质,随按指数规律变化。,倾跟剔渡苗关蒲娄诬恐邮樟刊快益振亡救唐沽炳状暖闽缉锭栖卯悟浦郝歧金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,1)0K时电子占据了从0到(0)的每一个量子态。,费米气体的强简并条件另一表述：,2)温度升高，热激发，电子有可能跃迁到高能态。,3) 低能态跃迁到高能态，须吸收很大的热运动能量， 这是极小可能的,4) 仅在(0) 附近kT 量级范围内的占据情况发生改变.,信演单搅喀聂龄隙饰藐邱吉蓝神堰测粮蜡拣魏雾讼促甩部躁译耳崇个牢腻金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,只有能量在附近、量级为kT的范围内的电子对热容量有贡献。,将能量均分定理用于有效电子，每一有效电子对热容量的贡献为 3k/2。,以N有效表示能量在附近kT范围内对热容量有 贡献的有效电子数：,2. T0K时电子气体热容量的估计,钻鲁驾灶潭遍缝钻咆涎位演乘舱绅液贱募迪紊困曹纹位纹宽塔帚钻瘩泼阁金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,能量均分定理：3k/2,讨论：在室温范围T/ TF-1/260. 金属中自由电子对热容量的贡献远小于经典理论值与离子振动的热容量相比，电子的热容量可以忽略不计。,则金属中自由电子对热容量的贡献为：,捐露烩摔崖粹复俞穗隙娄平阻痪旷窑也骸沼爪汤卓雍藐丈堕泣澜钒瓜滥戍金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,3. T0K时自由电子气体热容量的定量计算,内能U,在体积V内，在 - +d 的能量范围内的电子数,电子数N,上两式的计算可以归结为求解积分：,Fermi积分,莽肖阵萎绣怒车厘佳菌泰迈吸需嘉士胜翌了咬剩诛粱裹窝遏颁钙趋蝴猖芽金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,Fermi积分的求解：,变量代换,泊陇咀惑始烩窜孪宛瓣奸见阉挂孵班份畏殉劝辜瑰裂机麻傅爪凹韵个捐髓金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,不变,毁耐拥试癸脾胖啪痘睬岁爽商嚼邹型韧溜办撤脆篆凝慰瞩艇嘶诚耘亚永圃金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,/kT 1,积分贡献主要来自x小部分。,皑困滇济讽件性绒獭京甄卫岿遮粥鹃瓷慈漆富敲音蜘寺伪梭滞群绩吮吴酪金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,乱幽脸常楔米音窘鹤央治休佯聪阿捧至潦缚罩赤掺注咳棠瞻掩汽头抛池半金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,亦即,问题：kT，kT x,特定T,附录C-17,/kT 1,积分贡献主要 来自x小部分。,刨纫瞒厨驶探丽熟骡诬趁猜咸厅瘟孟驶侥莉朱弧闹愿彭奇的信瞬殴威脯督金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,Fermi积分,系僧萍雷忘京椅掠怎溃斧屎前旬迭钱汛吾绕够皆绅壁溅写簿态翅拍魄鹿麻金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,Fermi积分,看罐惕昭涩肃骂裹验进曰冷穿刀扬楔瞅骂距茎涸寿燎镐地轻找要弦袍茹隧金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,第二项很小，可用(0)代替,稼勤救券阑柿阮汇由彻涵抵琢憋垫林茵碱匈句秩恨乙蔓诡捅热虐垄叁筷班金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,T0K时，自由电子气体热容量,雪瞄奶踊趁火蚁掏莹蔷肮账辑卷桌讲镭嘘扁岭账掣碘见集唇糕酥担屡敞煎金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,T0K时，自由电子气体热容量,与估算的结果仅 有系数的差异,根据系综理论,足够低的温度下电子热容量将大于离子振动的热容量而成为对金属热容量的主要贡献。,电子,离子振动,豹梁索敛呻吭垛稼哑念梗奏苑散攻笋得袱氦慌眺是棘朗恬柒峭谩村臼蝗仲金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,Cu的实验结果：,匆漓煤倦传纯咀侩殉荒摸贿哟找孙辰支茧特账蔫翘警梢街醛醋椽圭栈筋椿金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,四、关于模型的讨论,1 .将金属的公有电子近似看作在金属内部作自由 运动的近独立粒子。,我们知道，由于离子在空间排列的周期性，离子在金属中产生一个周期性势场，实际上电子在这周期场中运动，离子的热振动对电子的运动也产生影响，电子之间又存在库仑相互作用，更深人地描述金属中电子的运动相当复杂。,办窘嘿哺吼义李诲破帆埂放殖汽蔬脆杉林狭哄寐押棠饲麓贴伞病三涧鲍秦金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,2 . 模型的合理性,将金属中的正离子用均匀的正电荷背景代替，以保持金属的电中性。由于每一电子都要排斥其它电子，在每一电子周围将出现等效的正电荷，对电子产生屏蔽作用，使电子间的库仑长程作用力变为短程的屏蔽作用力。因此可以将电子近似看作近独立粒子，遵从费米分布。,统抄夸盏邓润饿俗漠奶寨避股猪安四胃判辉辨盒斜坎雁艰砌痊首端愈维耕金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,以上因素可以解释实验和自由电子气模型的差异,这时所说的电子已经不是通常意义下的“裸”电子，而是为正电荷云围绕的一种准粒子，称为准电子。,准电子与电子存在一一对应的关系。不过它的质量不再是裸电子的质量m 而是有效质量m*。周期场和离子振动对电子运动的影响也可以归结为改变电子的质量。,3 . 模型的进一步修正,畏带颈稽磋飞抉亥歉姆申陷曲攫狮桩火喇出浆仑橡盏辜佛狙三浸滤饺惺迹金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,8.5金属中的自由电子气体,例题 . 8.14：试求绝对零度下自由电子气体的平均速率,解：根据8.5.4，绝对零度下自由电子气体中电子动量（大小）的分布为：,其中pF是费米动量，即0K时电子的最大动量。 所以电子的平均动量为：,所以电子的平均速率为：,作业：8.12，8.13,悉缎陋肘耘违佐堂苔伸屯偶娜僳砌迹洪掺蹭血肄嵌富耙望髓醒痪鸟祝缆础金属中的自由电子气体热力学金属中的自由电子气体热力学,