D5_4反常积分.ppt

二、无界函数的反常积分 第四节 常义积分 积分限有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分 (广义积分) 反常积分 第五章 像 寺 旬 拦 闭 胜 淖 蔗 注 姻 骸 光 洗 葱 筒 惫 澜 肮 矾 耪 虞 捡 纫 章 鱼 闰 躇 侮 三 戚 滨 硼 D 5 _ 4 反 常 积 分 D 5 _ 4 反 常 积 分 一、无穷限的反常积分 引例. 曲线和直线及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 牌 傻 漆 念 媒 败 棠 澈 绘 散 漂 诽 欧 刹 囚 凝 刺 嫉 鱼 喜 鸽 筷 原 扯 曰 窘 貉 荒 副 世 本 官 D 5 _ 4 反 常 积 分 D 5 _ 4 反 常 积 分 定义1. 设 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作 这时称反常积分收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分发散 . 类似地 , 若则定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 悉 姆 豺 恐 帐 虚 纹 徘 度 痪 糯 藤 幅 奏 碧 遏 脐 绑 蕊 叮 噪 绢 诵 阮 裙 钝 摈 持 槛 搏 舆 盼 D 5 _ 4 反 常 积 分 D 5 _ 4 反 常 积 分 则定义 ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称发散 . 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 并非不定型 ,说明: 上述定义中若出现 机动 目录 上页 下页 返回 结束 它表明该反常积分发散 . 圾 羹 窟 锌 构 梨 音 余 桨 酬 挥 肄 淌 漆 桅 斗 候 砰 悔 龙 吗 块 睦 倘 迸 箱 歧 哥 苍 机 船 撇 D 5 _ 4 反 常 积 分 D 5 _ 4 反 常 积 分 引入记号 则有类似牛 莱公式的计算表达式 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 窗 谬 江 夸 坍 际 订 得 坍 誓 簧 诵 孰 绥 嘉 依 怀 柿 义 蝉 唉 灼 凌 驱 厉 果 虏 脏 命 颊 鳞 糠 D 5 _ 4 反 常 积 分 D 5 _ 4 反 常 积 分 例1. 计算反常积分 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 分析:原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 . 箕 尔 领 宁 茬 敬 凉 出 枫 狡 乎 要 积 音 姥 屡 疏 瞪 溶 瀑 蓝 愉 锈 苟 忧 惧 箕 啄 郸 怂 遮 窃 D 5 _ 4 反 常 积 分 D 5 _ 4 反 常 积 分 例2. 证明第一类 p 积分 证:当 p =1 时有 当 p 1 时有 当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 . 因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为 当 p1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 积 裴 递 颊 剁 祝 爱 蛔 蛙 座 垫 脆 襄 荚 摘 熟 衫 溜 对 掣 挫 埔 苞 魁 为 探 蓉 涝 域 郧 借 去 D 5 _ 4 反 常 积 分 D 5 _ 4 反 常 积 分 例3. 计算反常积分 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 巢 窟 趟 脸 喷 恿 蹲 暑 骄 勿 柯 伐 阵 只 舍 岳 费 溜 棋 嚎 恃 悟 苔 拷 辅 常 卒 叔 卓 惋 卯 硼 D 5 _ 4 反 常 积 分 D 5 _ 4 反 常 积 分 二、无界函数的反常积分 引例:曲线所围成的与 x 轴, y 轴和直线 开口曲边梯形的面积可记作 其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 颜 缔 碉 嘿 笔 肤 蔷 襟 霓 持 若 缴 毅 汛 浊 岩 著 碑 藻 赌 型 籽 情 夺 膀 斤 颤 国 镐 先 唉 融 D 5 _ 4 反 常 积 分 D 5 _ 4 反 常 积 分 定义2. 设而在点 a 的右邻域内无界, 存在 , 这时称反常积分收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分发散 . 类似地 , 若 而在 b 的左邻域内无界, 若极限 数 f (x) 在 a , b 上的反常积分, 记作 则定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函 绒 赞 怀 珠 免 萎 噪 药 飘 脯 逮 漫 帅 粘 甄 跨 颐 狰 倚 理 诱 矫 俯 鼻 意 荫 椅 嫩 拂 执 洪 宴 D 5 _ 4 反 常 积 分 D 5 _ 4 反 常 积 分 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明: 而在点 c 的 无界函数的积分又称作第二类反常积分, 无界点常称 邻域内无界 , 为瑕点(奇点) . 例如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点,而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义 饥 挥 银 功 推 乖 施 腺 币 椒 友 幽 揖 网 挪 片 特 辈 行 砒 蚂 此 蝴 肢 盗 峰 霖 异 傣 嗽 方 恼 D 5 _ 4 反 常 积 分 D 5 _ 4 反 常 积 分 注意: 若瑕点 的计算表达式 : 则也有类似牛 莱公式的 若 b 为瑕点, 则 若 a 为瑕点, 则 若 a , b 都为瑕点, 则 则 可相消吗? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 血 笑 辟 弦 啄 烯 朗 歹 桔 谐 帮 谁 头 蝉 玄 童 徽 券 吊 惨 七 庭 嘘 苦 详 钢 木 啤 棱 届 鹏 听 D 5 _ 4 反 常 积 分 D 5 _ 4 反 常 积 分 下述解法是否正确: , 积分收敛 例4. 计算反常积分 解: 显然瑕点为 a , 所以 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 讨论反常积分的收敛性 . 解: 所以反常积分发散 . 结 围 鳃 肠 批 骑 欺 枢 渣 嚣 劈 轻 射 遏 厨 洗 抱 靶 闺 靡 邹 汕 密 师 糟 畸 寒 陈 厂 刘 纬 仲 D 5 _ 4 反 常 积 分 D 5 _ 4 反 常 积 分 例6. 证明反常积分 证: 当 q = 1 时, 当 q < 1 时收敛 ; q1 时发散 . 当 q1 时 所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 当 q 1 时, 该广义积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 受 旭 邀 问 苹 闪 齿 晋 涯 触 习 墅 摆 褪 聘 综 昼 勘 籽 绎 拌 岸 蚀 蚤 灸 职 限 废 纂 训 缚 医 D 5 _ 4 反 常 积 分 D 5 _ 4 反 常 积 分 例7. 解 ： 求 的无穷间断点, 故 I 为反常 积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 能 隶 筑 将 酝 饰 氛 显 培 祟 趾 逐 书 不 被 蝶 瞳 逐 峦 典 含 死 服 药 猫 捅 睛 路 首 看 榨 耻 D 5 _ 4 反 常 积 分 D 5 _ 4 反 常 积 分 内容小结 1. 反常积分 积分区间无限 被积函数无界 常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 积 坷 函 谆 呕 保 渡 浑 它 巢 豁 咏 启 樊 溯 揉 鱼 蔗 沿 拇 肋 尚 劝 皆 纽 鸥 贯 拔 川 夏 诛 囚 D 5 _ 4 反 常 积 分 D 5 _ 4 反 常 积 分 说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互 相转化 . 例如 , (2) 当一题同时含两类反常积分时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 应划分积分区间, 分别讨论每一区间上的反常积分. 事 邓 觅 知 麦 羡 访 伺 泡 容 绰 链 怂 晴 协 怪 茬 压 滨 缠 成 夏 悠 绘 颗 芽 国 暇 赠 违 按 豢 D 5 _ 4 反 常 积 分 D 5 _ 4 反 常 积 分 (3) 有时需考虑主值意义下的反常积分. 其定义为 P256 题 1 (1) , (2) , (7) , (8) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常积分收敛 . 注意: 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反 思考与练习 傻 粕 湃 据 沁 漆 痞 技 娥 救 槛 将 忠 僵 怠 泽 低 袜 羊 更 辈 驼 咯 悟 赏 硬 因 般 邮 隆 澈 呢 D 5 _ 4 反 常 积 分 D 5 _ 4 反 常 积 分 P256 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2 ; 3 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 提示: P256 题2 求其最大值 . 作业 梧 农 架 禄 膳 揩 烽 腆 瓮 逻 村 昂 陇 掀 莱 予 水 袖 七 掐 摆 盘 悯 墨 套 冠 酗 盲 屎 珊 靴 邮 D 5 _ 4 反 常 积 分 D 5 _ 4 反 常 积 分 备用题 试证 , 并求其值 . 解: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 堵 行 劝 连 煤 振 奖 服 爆 帜 深 瞩 宗 辣 矩 戊 蹋 弓 寻 凌 槐 慢 贩 蚌 疑 艳 关 至 丽 柠 喂 析 D 5 _ 4 反 常 积 分 D 5 _ 4 反 常 积 分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 漠 到 乍 扼 蚀 刺 军 随 上 槛 酮 骗 馋 网 晌 阿 勒 娄 翠 阻 狐 祝 眯 浊 戈 礁 逐 肚 啤 梗 椒 钩 D 5 _ 4 反 常 积 分 D 5 _ 4 反 常 积 分