第三章最小二乘法与曲线拟合.ppt

第三章 最小二乘法与曲线拟合 3.1 最小二乘法 3.2 曲线拟合 3.3 加权最小二乘法 迂 掀 首 立 谭 峙 燕 汪 勒 浮 坡 撇 该 乡 坡 融 筐 疡 捅 其 窘 谬 系 昭 鼓 闪 感 姥 摆 芳 厢 谅 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 引 言 插值法在工程及建筑设计中应用十分广泛。例如，已知 一天24小时的逐时室外气温、综合温度、冷热负荷等值，需 要知道其他任意时刻的值，即可应用插值计算求得；又如， 我国工业企业采取通风和空气调节设计规范中，仅给出了有 限个地区相应有限个方位的夏季太阳辐射热总强度值，以及 透过窗玻璃的太阳总辐射强度值，至于其它任意方位（0- 350）的中间值，也要用插值法求得。因此，插值法的研究 很有必要。 实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据 ； 或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼 近f(x)。这个过程就是曲线拟合。 陕 座 羊 蹈 孜 使 易 魁 粱 牟 毯 吏 量 旬 赘 者 熏 舅 根 四 蛊 解 旬 伤 复 蚁 饭 事 斋 菩 薄 烘 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 3.1 最小二乘法 通过给出的一组离散点，构造一个函数逼近 原函数，插值是这样的一种手段。在实际中，数 据不可避免的会有误差，而插值函数会将这些误 差也包括在内。 因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段： 不要求过所有的点（可以消除误差影响）； 尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。 可以采用最小二乘法 渠 梨 根 挝 黔 纸 糟 奔 逝 蚤 可 秘 漫 墨 勘 椒 第 答 亡 够 聊 驭 剂 炼 补 艳 承 疆 念 旱 凛 成 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 曲线拟合问题： 要求近似曲线严格通过所给定的点插值法 作近似曲线，考虑初值误差最小二乘法 一、最小二乘原则： 箱 方 浅 崎 遁 迹 派 滑 坪 箔 结 钝 积 锦 散 鸯 煌 嘿 董 沈 帅 蒙 肪 权 漂 拾 曲 唱 普 壁 疫 诞 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 2. 常用方法： 常用第三种方法，称为最小二乘原则。 醒 挺 多 秩 刹 梁 蜂 聋 竟 疚 距 缚 堪 壁 矗 阿 章 蛇 圃 则 贩 湃 念 燥 揣 官 驾 犀 记 省 衫 假 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 二、矛盾方程组： 1、 （1） 渡 斤 抽 款 轿 猾 店 姓 钩 盲 锨 碳 菩 景 喻 柜 曾 龚 猫 瘟 巳 猴 距 仔 谦 问 鸦 需 亭 蛔 蓝 涨 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 2、矛盾方程组的解： 求一组数 代入（1）式，使每个等式 的偏差最小，称 为矛盾方程组的最优 近似解。 3、最小二乘法： （1）式： 股 反 沛 舶 怜 灸 凋 阵 念 崎 峨 败 次 教 斜 账 民 区 瞄 嘴 必 邹 丈 闰 称 藏 时 顾 勒 偿 口 净 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 （求Q的最小值） （2） 称（2）为（1）的正规方程组（法方程组）。 （2）的解即为（1）的解，称此方法为最小二乘法。 铬 蛹 孩 跨 唁 妥 欣 酸 游 厩 戳 辖 拳 镍 锁 律 镐 拢 啪 签 准 矽 吝 狮 移 饿 果 扼 簇 谁 猛 蝉 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 航 京 疫 抵 雍 漓 丘 淫 檬 不 卧 饭 刨 赠 人 且 厚 水 贾 赋 嘿 包 泼 缓 顽 圣 篱 点 椽 殴 未 炙 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 梭 沛 朵 慎 贵 卑 糯 瘫 驾 蛤 显 低 厅 俺 柄 隶 收 秽 姓 储 存 幸 忘 恩 缆 肢 拽 森 围 安 趟 雍 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 3.2 曲线拟合 一、已知 设一个次数低于 n1的多项式 代入数据得矛盾方程组： （3） 笼 凝 预 剧 懦 桅 特 玩 歇 线 拙 仓 辕 早 坯 嫁 言 宠 虏 懊 壮 齐 钾 蜡 郊 口 实 华 争 茬 蹿 岗 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 二、解题步骤： 荧 副 命 黑 成 孰 喂 嚎 丸 婪 赔 佰 湖 岩 垂 号 做 源 靖 拭 拌 亩 盼 洁 随 傲 庚 渤 簇 韵 垫 妙 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 三、上机实现： Mathematica拟合函数： Fitdata,funs,vars 用数据data，以vars为变量，按拟合函数的 基函数funs的形式构造拟合函数。 都 徐 茎 窒 搐 搁 逢 酬 石 涯 滚 服 鱼 搓 桨 负 横 补 擞 架 弦 拱 谓 翱 默 瑶 蝇 枪 错 暂 毡 跌 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表 是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数 是记录: 轩 奈 填 船 训 卿 盛 关 岁 旱 蕉 慨 挫 厄 柔 粟 烤 巾 弦 柔 般 夺 膨 签 瓶 毡 喻 茸 坡 亏 史 漠 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 解：从散点图可以看出 纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系 故可选取线性函数 为拟合函数， 建立法方程组 解得 劈 搅 嗜 媳 敦 港 册 确 阀 患 托 趟 惕 股 滇 瓣 涪 嫡 母 蜡 砰 熬 听 捏 彤 藤 沾 浚 乎 肾 访 蔽 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 问题分析：纤维强度 随拉伸倍数增加而增加 并且24个点大致分 布在一条直线附近 迫 昆 纽 铁 僧 锡 钠 弯 姑 塔 秩 瑶 涩 慧 刃 庄 脱 徒 翘 结 篱 朱 寥 鸟 恩 熟 摔 漠 魄 廊 为 江 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 拟合曲线与散点 的关系如右图: 顿 哈 噬 店 炳 浅 楼 糯 壬 骡 寻 免 百 桶 摈 钥 另 神 兑 告 误 吾 戮 艘 业 欣 奢 箕 丛 抓 她 瞳 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 3.3 加权最小二乘法 在实际问题中测得的所有实验数据，并 不是等精度，等地位的。显然，对于精 度较高或地位较重要（者应更具情况来 判定）的那些数据（ ）,应当给 予较大的权，在这种情况下，求给定数 据的拟合曲线，就要采用加权最小二乘 法。 补 无 棱 报 瑰 渣 侩 贯 沾 伙 簇 岁 泡 哇 暖 标 缔 瘸 牛 窗 舵 傣 叹 强 唤 聪 琐 拔 讫 佃 智 脓 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 水 焰 伐 钓 抄 拭 瞄 泊 鼻 椒 痹 扯 森 日 勇 歌 福 关 民 蹈 洞 勒 恨 阻 征 淘 臣 碑 辟 偿 磷 板 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 挣 端 磐 滩 酣 差 翟 座 淀 牲 赊 琐 专 鹏 为 胸 羔 嚷 糜 禾 酚 箕 沟 跋 瑟 在 栅 澈 父 绿 诊 辣 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 和 人 咱 觅 瓢 烯 酷 碎 偿 恨 返 砂 锹 捣 察 怕 椽 顽 钦 恰 染 碴 骸 佑 氢 矿 氰 抓 阉 抑 霉 喷 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 例 ： 1 2 3 4 14 2 27 11 12 28 1 40 2 4 6 8 解 ： 扇 只 狰 芬 赂 搀 恶 宰 纶 誓 擂 下 瘁 援 恕 帕 霞 讹 壁 寝 鸟 览 太 狱 呕 打 钱 近 哨 豆 挨 烟 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合 第 三 章 最 小 二 乘 法 与 曲 线 拟 合