第四章：正态分布.ppt

喻 菊 孟 废 漠 孟 萎 肠 阻 之 滩 撰 笆 捡 颇 沤 奎 胡 肖 赚 腐 少 阑 盟 蜀 二 乖 光 崭 皮 房 窄 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 PLAY 第一节 正态分布的密度函数 第四章 正态分 布 第二节 正态分布的数字特征 第三节 正态分布的线性性质 第四节 二维正态分布 第五节 中心极限定理 恕 仔 喧 涯 赣 晒 印 猿 辈 料 眺 捣 昨 迢 格 陪 逃 论 罩 姿 篡 矢 贷 清 宵 界 芯 崎 诣 砌 郭 读 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究 最多的分布之一,它在概率统计中占有特别重要的地 位.比如,考察一群人的身高,个体的身高作为一个随 机变量,其取值特点是:在平均身高附近的人较多,特 别高和特别矮的人较少.一个班的一次考试成绩、测 量误差等均有类似的特征.高斯在研究误差理论时曾 用它来刻画误差,因此很多文献中亦称之为高斯分布. 进一步的理论研究表明,一个变量如果受到大量 独立的因素的影响(无主导因素),则它一般服从正态 分布,这是中心极限定理探讨的问题. 第一节 正态分布的密度函数 镑 爬 苹 和 氟 京 呼 储 箭 捣 年 忧 纵 尾 癌 共 戮 钩 粮 断 婉 乞 仗 凝 捎 枪 绪 讯 爆 掘 纽 芦 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 式中 为实数, 0 .则称X服从参数为 ,2的正态分 布,亦称高斯分布.记为N(, 2).可表为XN(, 2). 图象见右上角 若随机变量X的密度函数为 一. 一般正态分布 1. 定义 滩 声 慎 千 熊 倪 袱 卵 堕 磐 狞 坑 芒 督 咏 诌 克 佃 炎 藉 中 卤 腊 剥 曙 绥 宁 如 歇 淋 秃 沸 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 (1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称 f()maxf(x) 正态分布有两个特性： (2) 的大小直接影响概率的分布 越大,曲线越平坦; 越小，曲线越陡峻. 正态分布也称为 高斯(Gauss)分布 蜀 洪 逾 速 令 宁 某 悼 氨 搔 鹊 登 哑 皱 点 纵 禁 恼 臃 袋 氮 坚 泌 冠 脂 芍 涩 邮 恬 障 忘 洛 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 二. 标准正态分布 参数0，21的正态分布称为标准正态 分布，记作XN(0, 1)。 其密度函数为 杨 试 手 凌 侧 孕 犹 盏 堵 巍 城 泊 波 窑 稼 贡 韶 演 轴 掌 蓑 名 概 欧 浙 侥 柑 墒 纤 秘 唐 绿 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 分布函数为 (1) (0)=0.5 (2) (+)1； (3) (x)1 (x). x 一般的概率统计教科书均附有 标准正态分布表供读者查阅 (x)的值.(P328附表1)如,若 XN（0,1),(0.5)=0.6915, P1.32<X0,则有 三. 一般正态分布概率的计算 一般地,有 盛 向 埔 都 咨 蹬 萤 把 也 才 恢 罢 样 祟 优 贯 若 番 蛇 带 疏 达 天 酸 损 径 挑 汐 胺 避 牙 蕾 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 掐 会 娶 昭 凯 撵 手 便 松 氯 凌 畸 心 池 糯 肢 荔 气 籽 帧 壁 蛹 伪 轰 肯 江 掳 岭 丝 佣 樟 妆 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 例2. 设 XN(,2),求P-3<X3的值.如在质量控制中, 常用标准指标值3作两条线,当生产过程的指标观察 值落在两线之外时发出警报,表明生产出现异常. 固 稀 郁 映 超 萄 帘 绚 埂 丹 薄 揍 敞 磁 赏 忱 窖 雀 搬 想 职 底 痘 署 傀 匡 纺 堑 莽 皂 衔 瀑 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 随机变量 标准化 劣 负 灰 揣 棍 拇 栈 澳 志 陷 瓜 硬 耻 剪 阁 蛰 碾 砒 蠕 霸 醉 滇 辖 珊 婪 挤 居 批 胜 份 阜 伊 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 肚 筷 蔼 彤 锰 卷 印 奋 疵 筏 绎 煞 凌 罐 叔 测 赦 得 贤 思 尾 盛 馅 葬 捣 粗 碟 祭 萎 礁 舀 络 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 例5 一种电子元件的使用寿命(小时)服从正态分 布(100,152),某仪器上装有3个这种元件,三个元件 损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无 一元件损坏的概率. 解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数, 故 则YB(3,p) 其中 迸 而 瀑 罢 噶 柴 移 旗 篮 踪 彻 蝶 张 晰 吸 拔 窃 砰 存 弘 组 瑞 间 京 墨 垦 螟 拈 捍 妆 学 隙 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 雪 醉 繁 毅 采 古 杀 棱 往 录 苗 入 惰 诺 潞 脊 膊 俐 钦 星 挞 企 什 翅 戏 迂 亡 抱 鲁 巳 奢 弘 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 一. 一般正态分布N(, 2) 第二节 正态分布的数字特征 阶 壕 殃 酸 撞 驶 杉 啥 班 吝 窍 总 标 碰 桐 嘱 迸 溺 楼 瑰 冷 募 憾 蝶 畦 栋 森 署 琴 骇 弘 睁 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 二. 标准正态分布N(0, 1) 答 孵 乞 寸 秸 喷 抨 孰 涟 盔 痪 冤 哪 寺 狂 必 抵 拱 掀 恨 葬 零 饺 演 摄 寻 炊 天 斋 勘 惰 疚 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 苦 繁 宇 演 述 横 奋 溜 言 纳 认 培 侩 禽 邓 菱 迢 痊 梨 芯 刻 苑 僳 董 绦 谰 匹 掉 笛 熄 勾 牡 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 例2 设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3) 贵 基 迸 秽 照 状 颧 替 难 煎 侣 窜 靡 荧 巍 粤 纤 犊 腰 他 胞 肺 烁 比 茁 清 盎 紧 无 滦 谋 赠 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 貉 松 笆 搐 榨 瘁 侯 胸 马 急 省 益 究 贯 疽 媚 梨 理 铀 疼 氢 询 珍 钝 锯 乍 拉 补 墅 侧 干 似 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 盟 啃 休 巨 敬 陶 渗 上 削 滴 汪 坟 龙 矢 级 劳 哄 肾 伪 誊 种 红 佐 盐 甲 逊 雀 特 弘 柴 转 江 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 为什么? 棋 谎 馈 挞 炽 曲 垛 熊 囤 睫 巧 趾 石 恩 骏 喇 八 却 凛 噶 昨 奏 努 代 渡 呢 矗 协 微 夜 殃 嗓 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 凰 浙 池 芬 例 枢 练 驮 钡 晰 蓬 炳 赏 辽 销 拇 基 哩 菲 艺 过 帆 井 艘 唤 港 搬 猛 砾 槽 堕 退 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 喻 漓 仓 霓 涩 毋 社 僵 摇 撮 弟 漏 寅 堑 寝 恰 洁 堂 唬 咋 作 路 酶 坯 仆 妒 抬 怨 吕 斋 谆 楚 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 盆 钧 秉 巷 拨 媳 洞 融 类 湿 茂 缓 翁 渣 愁 册 游 体 幼 迂 肆 具 绘 彻 涂 叹 牲 哪 茅 缸 差 胃 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 转 秽 捏 惋 惜 拉 馅 注 据 圭 磋 摈 掷 闺 拷 鸟 乾 瞬 氯 务 球 闹 拍 球 巢 干 恰 档 猜 贪 声 孪 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 浦 胚 枕 迄 优 斗 雇 矩 湍 顺 畅 鹤 资 椽 特 罐 溃 包 养 占 然 懦 音 肿 撰 粮 构 捞 畸 侍 颂 菇 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 习作题 1.设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且 X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学 期望 2 设随机变量相互独立,且均服从 分布,求随机变量的数学期望 答 : 答: 兽 怜 耘 栽 崖 托 汾 辗 锰 茨 帘 夹 垂 挪 牟 骂 备 靴 恤 馁 拢 舆 起 摊 檀 挨 惨 耐 谨 厕 唁 陛 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 1. 设随机变量XB（12,0.5),Y N(0,1), COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y 的方差与协方差. 2. 某单位招聘2500人,按考试成绩从高分到低分依 次录用,共有10000人报名.假定报名者的考试成绩X 服从正态分布 现已知90分以上有359人, 60分以下的有1151人,求被录用者中的最低分数. 作业题 吁 馒 萧 镭 盅 云 晦 展 婆 戮 度 窝 吐 条 疡 午 肮 无 筷 款 仙 秤 全 粪 诅 乘 广 挛 爹 啡 费 惟 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 解： Y=ax+b关于x严单,反函数为 例1 设随机变量X服从标准正态分布,求随机变量 Y=aX+b的密度函数,且有 第三节 正态分布的线性性质 一. 线性性质 圭 焊 硝 锡 零 候 奏 宽 芍 烬 躁 货 娃 恶 伟 论 馅 毖 罪 掇 装 枉 雨 因 柑 玲 六 咨 昧 沫 枉 腹 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 直接由Y的密度函数,可观察到Y的数学期望与方差 定理1 设随机变量X 服从正态分布N(, 2),则X的线性 函数 也服从正态分布,且有 批 塞 盼 挨 藻 辟 哟 惟 钮 提 膀 脉 沂 惯 癌 茂 贱 纺 序 疮 遂 浩 帆 凿 交 涩 贬 罗 免 椽 沽 绊 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 例2 已知XN(,2),求 解 的概率密度 关于x严格单调,反函数为 故 你能用正态分布的线性性质求解吗? 错 禹 腐 傍 战 搬 已 咳 用 两 友 和 氟 邱 桶 椅 仑 跪 活 敌 厢 讫 骂 坠 唱 彰 燃 馁 魄 裙 飘 逢 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 二. 正态分布的可加性 定理3 设随机变量X1, X2，., Xn独立且Xi 服从正态分布N(i ,i2),i=1,.,n, 则 定理2 设随机变量X1,X2 相互独立且Xi 服从正态分布N(i ,i2),i=1,2, 则 围 莆 坍 饿 睬 瘸 孙 碎 劈 学 敖 耀 浇 剔 背 迂 示 档 啡 恫 蕉 宿 秽 哪 萌 灰 耿 乃 杆 肚 裂 玉 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 例1. 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态 分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布. 委 浚 蛹 谊 稗 逆 蕉 盂 钉 预 谓 募 匣 乃 曲 珊 漱 贤 瘫 厢 站 临 峰 饿 弊 寒 蠕 剿 瑟 官 先 阀 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 例2. 设随机变量X与Y独立,且X N(1,2),YN(0,1). 求证:(1)Z=2X-Y+3的密度函数;(2)P2<Z0、20 、| |<1，则称(X, Y) 服从参数为 1, 2, 1, 2, 的 二维正态分布，可记为 一. 密度函数 若随机变量(X,Y)的密度函数为 第四节 二维正态分布 案 怖 氯 札 狗 词 姻 处 蒂 俊 讼 墅 士 掩 粘 孕 疵 蛆 暑 萝 驶 悦 求 擎 装 卤 俺 恳 谦 虱 腔 饱 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 二、边缘密度函数 为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。 设(X, Y)f(x,y),(x,y)R2,则称 为(X,Y)关于X的边缘密度函数； 同理,称 易知N(1,2,12,22,)的边缘密度函数fX(x)是 N(1, 12)的密度函数,而fX(x)是N(2, 22)的密度函 数, 即 二维正态分布的边缘分布也是正态分布. 可见,若（X,，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立 的充分必要条件是X与Y不相关。 节 叫 及 谰 甸 狡 墙 娟 桐 辱 体 螟 爪 驹 犊 迸 柜 炳 屁 里 席 备 引 栈 昔 啃 屎 劫 雌 墓 旭 俄 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 例 设(X,Y)服从N(1, 0, 32, 42, -0.5)分布， Z=X/3+Y/2 1)求E(Z) , D(Z) ;2)求X与Z的相关系数 3)问X与Z是否相互独立？为什么？ 往 朵 好 罐 赎 子 朔 病 川 虾 找 厅 派 野 漂 摈 壮 镊 训 芭 舒 阳 昏 贼 叫 靛 掺 哟 副 奉 魔 逞 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 猩 徒 蹦 辩 姥 寡 墩 漫 伤 赦 奶 先 绸 号 档 沂 打 惫 役 否 诺 田 寇 庇 粉 汗 火 亮 煽 繁 崔 瘸 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 迭 绞 吻 幢 处 翘 锋 谍 笋 恋 夸 寞 读 拍 移 惜 舞 歪 逸 漳 淬 箩 街 愉 测 烷 袱 狼 卤 磺 渔 煎 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 设Xn为随机变量序列，X为随机变量，其 对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的 连续点，有 则称Xn依分布收敛于X. 可记为 一. 依分布收敛 第五节 中心极限定理 管 趁 鼠 谚 酷 足 猜 苞 辖 示 完 凤 蓉 臂 兢 乍 滞 朔 滔 咐 冗 荤 辗 垃 秸 缴 乎 乃 赂 通 训 柯 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 二.几个常用的中心极限定理 1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg) 设Xn为独立同分布随机变量序列，若 EXk=<，DXk= 2 <，k=1, 2, , 则Xn满 足中心极限定理。 根据上述定理，当n充分大时 或者 硒 献 赎 杭 晨 栓 萌 优 拂 混 讼 笑 辗 纤 维 那 壶 注 骂 猎 讥 靳 甘 证 久 遇 载 屎 翠 墒 阻 劈 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于 500的概率是多少？ 解:设 Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,100,则 X1,X100独立同分布. 由中心极限定理 谢 兄 硫 月 络 幂 厄 研 荤 撑 关 绵 哄 渔 贰 判 拿 带 膳 认 猎 涟 尝 垂 噎 陡 坍 投 檄 汇 直 短 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 被 檀 翁 酣 痰 班 绒 萍 雏 衡 士 老 函 榨 页 盔 绥 缕 僚 宇 潞 烁 持 俐 亲 誊 剪 倾 掖 折 拇 感 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 设随机变量n(n=1, 2, .)服从参数为n, p(0<p<1) 的二项分布，则 2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace) 证明:设第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则 由中心极限定理,结论得证 庚 惦 枉 阴 地 蔗 犊 枪 溶 姚 医 厦 若 迪 初 墓 奎 肢 泳 您 汗 抄 乏 惩 皮 忱 极 撒 疯 佛 厦 细 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 例3 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险,每 人每年付12元保险费.在一年内一个人死亡的概率为 0.6%,死亡时其家属可向保险公司领得1000元,问: (1)保险公司亏本的概率有多大? (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于 60000元,赔偿金至多可设为多少? 解 设X表示一年内死亡的人数，则XB(n, p), 其中n= 10000,p=0.6%,设Y表示保险公司一年的利 润, Y=1000012-1000X 于是由中心极限定理 (1)PY<0=P1000012-1000X<0 =1PX1201 (7.75)=0; 册 疾 咎 窘 戴 县 皋 墩 羞 咋 胁 趾 茎 袁 掂 遏 吗 残 昔 穿 赎 概 迹 逃 勤 爆 伶 留 停 芽 鸥 妒 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布 例4.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从 N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最 多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05. 解: 设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则 令 查表 得 烛 贪 艇 畏 级 拭 境 狸 抓 命 沏 畸 关 鹤 怕 芥 半 迢 任 爬 莽 债 冶 忍 绕 拾 昔 虾 擎 辕 喜 塌 第 四 章 ： 正 态 分 布 第 四 章 ： 正 态 分 布