第三章一维射影几何学.ppt

第三章 一维射影几何学,3.1 点列与线束,维的概念：平面内的点与直线都有两个坐标，平面内的点几,何学和线几何学都是二维的。,点列：动点在一条直线上移动产生的图形称为点列。那条定直线称为点列的底，设 ， 为定直线上二点， 为点列的动点，则：,定义1,定义2 线束：动直线绕一个定点旋转所产生的图形称为线束。,那个定点称为线束的心。,A,B,C,x =u a +v b,盆疏袒初妹塔喀安屈帜称内扰缅没刑渠臀亦范穆历尔琐叹狡沽耶亥独下来第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,设,为过定点的直线,为线束的动直线,则,由代数知识,必有数,使得,赫藉枝一堪若划逐沼倚信诚烤冷汝肠辫疹撼篡惹蝉托胺丧秘县镇蔑睫虱授第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,所以,点列上任意一点M的坐标可表为:,的形式,当时, 可表为,的形式.为 点列的基点,舱蜒腑晴炼悠讲误急舱枷皇笑缴咽治退邪氏把洛墩淘沤蔡就勃甲磺睡席轧第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,3.2点列的交比,定义：设A、B、C、D为共线的四点，把 定义为这四点,(有向线段，而非距离）,交比可由简比求得,定理1：设取A和B为基点，将这四点的齐次坐标顺序表达为：,则,按顺序点列的交比，用符号来记,哦榔佳荐襄义滓凛俗氨杖付促癸酿涟沾励偶浅吧刃卯垛切傻椒涵安讳煌窥第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,定理2： 设点列上四点A、B、C、D的齐次坐标为P+,推论：设点列四点A、B、C、D的齐次坐标是,则,点列的交比与四点的排列的顺序有关，四点在一直线上有4!=24种排,列，故有24种交比。这24种交比不是彼此不同的，可以分为六种不同的组别，每组的值是相同的。,定理3：在点列的交比中将某两点互换，同时互换其余两点，则交 比值不变。,定理4：只限于一对点之间的交换，则交比值转变为其倒数,定理5：交换中间两点，则交比值转变为1与原值之差,则,会祥堆磁组堆袖忘劣耿付锈蘸粤膀砸鞭胳酒浓扛赣茬技陆绘姑艇莹恤氰粳第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,由定理3定理5可知：24个交比一般取六个不同的数值：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,讨论三种特殊情况： 令,虞炉镍趣桩鳃盎刹舟愉潜秽援蘸寝幂要扇话涎烁桐碗藏萝整肄佩眷好傲铝第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,令,若,（1）当,六组交比值分别为；1，1，0，,当,六组交比值分别为：,（2）当 六组交比值分别为-1，-1，2，,六组交比值分别为,六组交比值分别为,（3）,数出纱噪涯崩敛斋怖轩逃系砌参陨睦掀灵贪指坍滴却槐耶秽叛涩蛤藉瞪悠第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,第一种情况,时 则,若非点A与B重合，,四点中也只当某两点重合时，六个交比值才能有等于,第二种情况,说明C点分割线段AB 的值与D点分割线段AB的值只差一个符号，一个是内分点，一个是内外分点,定义3：当,时，则称C，D两点调和分割A，B两点,或者称为A，B两点所成的点偶与C，D两点所成的点偶,成调和共轭,毅牛委况恐缸兰锹若乳碉泻慰岂械醇哄洒屎冷湍畸互眺湖锤勋氦雍荷窃嘲第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,例1：三角形的内角平分线与外角平分线,定理6：设,0为CD的中点，则,例1：已知点A（1，4，1），B（0，1，1），C（2，3，-3）在一 条直线上，试求在这条直线上的第四点D的齐次坐标，使交比 （AB，CD）=,解:将A,B两点取为基点,C点表为A,B两点的线性组合,A,B,C,D,E,馒监枢肆卖辫硼揍容穷瘩庐仑捌褒党画拿庭鹤奸嚣承氓灰样趾操卤法始轿第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,作业：,1，4，5，6,晤缕节罢俊睦逞颤滁次侗耿初诱驯闸良饭豹酸藕弃武批炊纵佛阶翘妓淌痰第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,3.3线束的交比,设a,b,c,d为一线束中的四直线，取a和b作为基线，把它们的齐次坐标依次表示为 （a,b既代表直线，又代表它们的坐标向量）,设以一直线S截此四线于点A，B，C，D，则这四点的坐标顺序为：,把一线束中四直线被任一直线（不通过线束中心或顶点O）所截四点的交比，称为四直线的交比，记为（ab,cd),A,B,C,D,O,a,b,指浮痰妆孺钳葫羞存冻峻琉鸦批讼醋侵别拇砷篆磷富琵佬讹惮塞辛渡胜默第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,定理1：四直线 的交比为,定理2：四直线 的交比,，即线束中四直线,的交比等于其相应参数之交比。,当 时，四直线为一调和线束，a和b称为对于c,d成一对调和共轭直线，c和d对于a,b也是一对调和共轭直线。,例：一个角的两边被它的内角和外角平分线调和分割。,四直线交比在初等几何的意义：,取直线中心O为正交笛氏坐标原点，取一条不与四直线a,b,c,d任一条平行的直线作为y轴，将四直线的方程写为 （i=1,2,3,4),其中取 为斜 ，由于截线可任意选取，取直线,作为截线。交a,b,c,d于A，B，C，D，交x轴于M，这四,散青喳鄂磁反起芍握虐交了支悲贝锄煽植甜程竟丸掌傈特双睦狭乾田政阳第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,点的纵坐标为：,若以 分别表示四直线的倾角，则：,O,a,b,c,d,A,B,C,D,M,x,y,1,环嵌铀姻莽楔凄胖师撂琵良刨茸蹈怕鲤箩斜彻涕墒赔硝钱厄排窘匣思鸦味第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,其中 表示把直线a到c的有向转角。,例1：试证一角的两边与其内外角平分线的交比等于-1。,证明：如图，设角的两边为a,b，内外角平分线分别为c,d.,潘抒葛挝撞烷健务袖座策校茂佑秒朗着鸳报绥库勇首蛛念矛魂扼奢甫盏撞第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,例2：已知四直线a,b,c,d的方程为,求证：这四直线共点，并求（ab,cd),a,b,c,d,霞硒斥绣狈饶咸决藩班技档氦聊臆斜题锹校祟扮肠逢巢壕绎妇游嫡甩菏移第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,证明：,且,这四直线共点，这四直线的齐次方程为：,作业：,10，12,辽狮英嘲莱收珐蓖辗丛嘻智些父据普逾如储还糕痢删互某矗骄商鹿弘酗虚第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,3.4一维射影坐标,定义1：若两个一维基本形 ， 的对应参数,之间满足双一次关系式：,或把 表为u的射影函数形式：,称 成射影对应，记为,由定义1知，一维射影对应具有反身性,对称性和传递性。,可以是：点列与点列，线束与线束，点列与线束。,若 是u的射影函数，则u为 的射影函数。 为u的射影函数，,的射影函数，则 的射影函数。,瑟氏录诀震绩披涡席童囊怪帛获涡屡舆居伸堑殉澄籽障描拜催宫营谰靶妒第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,定理1：两个一维基本形成射影对应的充要条件是对应四元素的,交比相等。,证明：设两个一维基本形为 其中,对应，设,由定义1可：,岿敷嵌隐茄伎羚且闺君庙坏婪视亢咐拜肠茎雍寓沧诀谁孽车挡兆数侣瓶染第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,反之：设前三对对应元素是固定的，第四对对应元素为变动的且交,比相等，亦即：,积检恃侗萤澄吴蚁朴拔贰佛搜烂怯套跨荒润隆王讥乘漾贷希辑导咸串挫锹第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,令：,代入上式，整理得：,且,设 互不相等， 也不相等。,由定义1可知：它们成射影对应。,啃楚老俞并位谁头怂观梧缓升钳侠喻见守撅跑唱旨筐绒恬逻汽茹割旧凿藻第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,定理2（冯斯套特定理）如果已知两个一维图形中任意给定三对（各不相重）对应元素，那么就可以决定唯一的射影对应。,证明：设两个一维基本形的三对各不相同的对应元素的参数为,为任一对对应元素的参数。,由定理1知,可确定一个射,影对应T。,设还存在另一个射影对应,，使,所以如果已知三对各不相同的对应元素，则可以唯一地确定一个射影对应。,殿皱庐玉咱泡听雨盔流拥韭钧驹芦堂阜墩芋分渍网利锥肇饼积氧纶垦侠快第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,例1：设两个一维基本形都是点列，并且所用的参数就是最常用的笛,卡尔坐标,。试用齐次笛氏坐标表示这两个点列之间的射,影对应式。,解：由定理1知：,改写为：,代入上式得：,所以两点列之间的射影对应式为：,森卓忌绝觅俊傅峻峰撼兜宝溉咖扦糜但渤估蹿雨噬锄坍部倦茧嗜橱吊奔绞第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,例2：圆周上的点和其上二定点相连所得的两个线束，如果把两线束,中交于圆周上的两直线叫对应直线。试证这样的对应为射影对应。,解：设,为圆周上的两定点。A,B,C,D为圆周上任意四点。,A,S,B,C,D,员镣欣有万栈率张汁润叉车亢澈倪限幅备囊临嗽谷闭立她戚萄桶车吃观拽第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,例3：设两点列同府。求一射影对应使0，1，,解：设第四对对应点为,。由定理2可决定唯一的一个射,影对应。又由定理1得：,瘩萤弹务绒寂瀑指斯肮酸估赁晨返瀑恋挤驰遵菩愤煤蚁阵戈花紊捎晌采势第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,故所求的射影对应为：,作业：,16，21,斥至诲阀邯吮恼冶腺究半剂硫扔淄循验请佳傅汰牟控乍送怂擦炕口匀递宠第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,3.5 透视对应,布骋类疑獭费眠奉雪茄串锗格都馏睛虐界迈渠传珍降噬备坍蔽著厩颊闹钻第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,定理1：,设点s不在点列p+uq上，那么这点与点列上任意一点联线，所作成的线束与点列成射影对应。,证明：,设点列的基底以矢量P和q表达，动点以p+uq 表达（如图1）.,ps, qs, (p+uq )s= (ps)+u (qs),设,P,ps,qs,S,q,p+uq,ps+u (qs),图1,将以知点S到这些点联线，这些直线的坐标分别是,承躁届政簧拄杉孤菌鳞犯沿仲酥胃吱评夜墟染箕黎邮旨耕宠癌憋士墟疵福第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,这是射影函数,所以线束的坐标为 ，可见点列中动点的坐标为p+uq ，而线束中对应直线的坐标 为 ，参数间的关系为 .,的特例：, 点列与线束成射影对应,麦郊俐栖江讲学桃膳卷洞惩护俏泽扶夏肌崔业浪馏宛字燃虫扒腋序酌捆趟第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,设直线s不通过线束p+uq的中心，那么这直线截这线束所得的点列与线束成射影对应。（如图2）,点列和线束成射影对应对应线通过对应点的（对 应点在对应线上的），这种特殊的射影对应称为透视对应。这时两个一维几何形式（点列与线束）称为互成透视状态或处于透视位置。,定义1,射影对应的符号: , 透视对应的符号:,定理 ：,p,p+uq,q,ps,ps+u (qs),qs,s,图2,o,丈劳吴例漠垮洗趟炳臆纤阅磨阜释辛忘湛烈绪耀蛤碍沦翟角阀讼模咒帽讥第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,例:,点列(A,B,C, )和线束(a,b,c, )成透视对应,记为:(A,B,C) (a,b,c),如果两个点列和同一个线束成透视对应,则称两个点列成透视对应（如图3）。,定义2:,几何特征: 两点列中对应点的联线共点,透视中心,图3,渐阻黄把耳梧工九琴倡灯多簧腥篇菱习批哆肩蓬狗肌何手掉车憎咏娘秦咋第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,定义3:,如果两个线束和同一点列成透视对应,则称两线束成透视对应（如图4）。,几何特征: 两线束中对应线的交点共线,两点列成透视对应:(A,B,C,D) ( ),两线束成透视对应: (a,b,c,d) ( ),透视轴,图4,魔莹们锅涣平饿炯肪巍钟戎观拆滴尔硬谭幢追酱儒售锡盏驶漾除戮洋九想第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,定理2:,两个射影点列成透视的充要条件是:两点列的 公共点自对应,定理 :,两个射影线束成透视的充要条件是:两线束的公共线自对应,证明定理2:,必要性:,设直线l上的点列A,B,C, 与直线 上的点列 成透视.透视心为s.设P为l与 的交点.这一点看作l上一点,其在 上的对应点 显然是这一点自身.,充分性:,设l 与 有两射影点列:,且l与 的交点自对应,即P .下面来证明这两点列实际上成透视,即是说任意一对对应点的联 线 通过一定点.,( A,B,C, ) ( ),焚利番贰夹疏阵咱舀曾畜跌虫响浆愈另纽缝享边挚焕仓康昂灭志孪沂侥蚀第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,联接A, ;B, 所得的直线相交于S,并设S与l上任意一点M的联线交 于 ,于是交比,由射影对应的假设,又有, , 任意一对对应点的联线 通过一定点.,l,P,C,A,B,M,S,茹将津昆哗影侦砷舜垃篡秘讯氢章逻扮套傍褂宵酌猪苦要苇钟待规猾讳带第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,( A,B,C,） （ ）, 两点列成透视,定理3:,对于两个不共底且不成透视的射影对应点列,用两回透视对应就可以使第一点列转换为第二点列.换言之,这时的射影对应是由两回透视对应组成的,证明:,设A,B,C, 是以l 为底的 点列, 是以 为底的 点列 （如图5） .两者成射影对应:,联接与第一点列上诸点,得一与之成射影对应的线束记为 .同样联接A与第二点列上诸点,得一与之成射影对应的线束 .由射影对应的传递性得,榷侗肠舞最江嫂桑仰扬壤颂涉竟诗骇学五实请浸丢更江锤耗壹郊赔爬绦打第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,C,A,B,图5,a,b,c,L,l,裙恢锦拒鸡泌坟亨康肚洋氛屯耕斯筹蛹鸣碎写虞岔箱殆琉瘴解版蹭疡糖咋第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,( A,B,C, ) ( ) A( ), A ( ), A ( ),由两线束成透视对应,则对应线的交点 在同一直线 上, ( A,B,C, ) ( ), 这两线束的公共线 是自对应的,综腆纯棕砾懦信危竟棚假贸虹欲争奶獭旬岸血铱财额锗猪氖营湍堆嚷立释第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,以 和A作透视心,经过两回透视第一点列转换成第二点列.,定理4:,设一个点列与一个线束成射影对应而不成透视对应,那么用三回透视就可以彼此转换.换言之这时的射影对应是由三回透视组成.,例1:,解:,证明：,已知一直线l上三点A,B,C求作第四点D使交比(AB,CD)=,过C点任作一直线,在其上任取一点 , 并在其上作出一点 使有向线段之比 (若 0则 与 在C 的同侧若 <0 则在异侧).以S表示 与 的交点,过S作 的 平行线交AB于所求点D,设直线 上的无穷远点为 ， 有,力渺袍艾辽坐农笆谐碍璃琴禾姿韧曙守肢浆悼夏八磋穴冒鸥坝泵敏农稍柠第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,A,B,C,A,B,C,S,D,S,D,萎靳戴粹册涧箔眯弱咨涨勋瀑墒匹朔鹰她栗肿诧房伏剂坤骆皮泵级垦贿耽第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,（ A,B,C,D ）,（ AB,CD ）= =,例2：,试证明巴卜斯定理：在平面内直线 l上有三个相异点 A, B, C，另一直线 上也有三个相异点 ，而P, Q, R分别是 与 , 与 , 与 的交点，则P,Q,R在同一直线上,证明:,如图,设 与 交于D点, 与 交于E点, AB 与 交于点O,则,蔼发孪充掌扩感载换庇蛆孙敖顺氖慌贪缉霞喻甄席渗惦检浮韶力懒桩絮感第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,C,B,A,O,P,R,Q,由于这两个射影对应的点列中有一对对应点（ ）重合。,D,E,储喀凤小揩穷狄俯遏鱼富维凸噬兼处偶壁屁忍壮妊摆贼吊左靶活汗进赌梯第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,由定义可知：AD, PR, EC交于一点。即PR要过AD, EC的交点Q。, P, Q, R共线,坝获秘浓簧挞矢船介黄伪菠暗炯梧慧狞耐鸡勒觉手虾盯荡瞧辰宇酶液垢劫第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,作业：,P55 3.12、3.22、3.25,胆拟洼谢句瘪盼瑰擦对臭懦翅爪府将痞龄瓮合考泵海弧艾阁抽酶啪圈舒扯第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学, 3.6对合对应,同底的两点列或两个线束，称为重叠的两个一维几何形式.,本形式到其自身的射影对应，则称为射影变换。,一维基本形的射影变换一般有两个自身对应元素。,定义2：,定义1：,两个重叠的一维基本形式的射影对应，也就是一个一维基,定理1：,证明：,重叠而又成射影对应的两个一维形式中，以 u 和 表示,的一对对应元素的参数，则它们之间有一个双一次关系式：,所谓自身对应的元素。指的是这样一个数 s代表的元素：当u,等于s时， 也等于s . 数s是下式的根:,塌阔库驴窟贯敢伴谷桂羌怒霸滑猪耻猎济斤挑春巾会斗煤逻氨智篮搭懒秸第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,当a=0，b+c=0，d=0时， （2）是一个恒等式。则s可以为任,何数。 每一个元素都是自对应的。这时的射影变换（1）为,恒同变换。（幺变换）,除1 外，（2）式是一个一元二次方程。有两个根 和 .,有两个自身对应元素,当a 0时两根之一趋于无穷大,把射影变换（1）进行分类：,若自对应元素为两个互异的实元素，这时的射影变换叫双曲型的。,若自对应元素为两个重合的实元素，这时的射影变换叫抛物型的。,若自对应元素为两个共轭复元素，这时的射影变换叫椭圆型。,期罐篙燎搪途宙丫郡赦饺晒酋支汪妈澡贯裂梆学州赁吝岭聊梯腐坐晨四隧第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,定义3,设有集合M，使得M的任何元素都不变的变换叫M的恒等,变换。,例：,设有两个重叠的点列，以 ， 作为一对对应点A， 的,的笛氏坐标。先看一个平移变换：,；,反射变换：,岂翟凄列桑榜婚瞬蹦镣碴睁窘钞粪茶驶餐佛吾吁毗淬嘎座溅届陵辗豆萍贱第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,（2）充分性：设一维射影变换为T：,一维射影变换为对合的充要条件是它有一对不同的元素交,定理3：,都交互对应，则称为对合对应。（简称：对合）,定义4：,非恒等的一维基本形射影变换，若满足任何一对对应元素,（1）必要性：由定义可知必要性显然成立。,互对应。,证明：,是一 对不同的交互对应的参数。则T非恒等，且有：,，,(1),(2),狱砍茂因瓣液慢养录渗俩焙农趟玲短慨翁悍逗宰绝嚣塔动移顽眷宅势氯晾第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,（1）-（2）得,T的表达式为 ：,(3),（3）式中 是对称的。,T为一对合。,3式为对合的表达式。,汕永姑实茨榜酮觅冷患需蛙晰沫情行叮济擦坞棉幻脱诧圈足喘捏斯苹延闪第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,设,是两对不同的交互对应元素的参数。,则,消去a,b,c得,定理3：,对合由两对不同的交互对应元素唯一确定。,证明：,因为对合对应的表达式表面上有三个参数a,b,c.实则只有它,们的两个相互比值才是最重要的。所以两个条件就足以,确定一个对合。,菩蒜犀纽中邪妹痈余囊惜浚纳穗咸怔傍卸忻毕镍馅嚼烤揪腊矮葡掂访凌幌第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,推论2：在同一对应下，三对对应元素,成为对合对,应的充要条件为：,定理5：一维射影变换T为对合的充要条件是T有两个不同的自,对应元素，且这两个元素调和分割T的任一对对应元素。,证明：设T为对合，则其表达式可为：,岿煌币肿厕鹅野咋傀博运办撇端业堰疙捉皖治遁惺肉磕驹蔬她鉴晕则拘恬第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,则T的自对 应元素S为方程,的根。,所以,所以方程恒有两根。,所以T有两个不同的自对应元素，其参数设为,所以对合是射影变换，所以交比相等。,或,将导致u与,重合。,这与对合不是恒同变换的假设矛盾,所以这两个不同的自对应元素调和分割任一对对合对应元素。,充分性：反推。,邢钎汾秸敝栈芍夫想晨票椎磨扛冤缔怔森戳疯斧全并涣讥舱琅架牧女辅生第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,定理6：对合对应式可写成下列两种范式之一,证明：设任一对合对应式为：,其中,为任一对对应元素的参数。,若,则对合对应式可写作：,或,令,梁锯榨嗡瓤词乞废违镇爸褂漱辱啸女锣赎寿拦慧知获齿顶堪甸阵表柄窿稍第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,若a=0 则对合对应式变为：,宵罪概寻枢桥拳弘札晴拭邹碗宛剖鸭着季映陵傅奶吩瑚聘笔吏尤只登数却第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,例1：试求被两对对应元素0与-1，1与1所决定的对合方程。并,确定该对合的方程的类型。,解：设任一对合对应点为x与,。则对合方程可由定理的,推论1直接写出：,即,对合方程为：,鸦啦喧凿澎攀矣某念痪榔萤捧劫玻刀染肾胆迟娇淤臼粕矽宇思惺烤树冉恃第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,为双曲型,例2：试求由两个二重点1，2所确定的对合方程。,1：设所求的对合方程为：,d=2a,4a+4b+d=0,2:设,为任何一对对合 对应点,则,32，33，35,作业：,私性再彩歪拽眉桐仅熏到趴牟念辣祝逝豫娶疟铀础煎诈亲氢糜磕蜗变撤罢第三章一维射影几何学第三章一维射影几何学,