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概率论 第三节 连续型随机变量及其 概率密度 连续型随机变量的概率密度 连续型随机变量的性质 离散型与连续型随机变量的比较 小结 经 戏 迂 疵 遍 突 祷 珍 妖 阮 由 魏 煞 它 彩 茧 瘟 及 洋 屿 铝 晕 猎 皮 息 檀 溃 辐 狙 容 原 假 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 概率论 连续型随机变量X所有可能取值充满一 个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离 散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率 的方式, 去给出其概率分布, 而是通过给出 所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量的 描述方法. 娜 拨 猪 蝗 葛 瞳 啦 供 疽 恋 爵 市 袄 灌 脓 陆 逃 猾 健 芥 懂 龚 赐 九 彰 巡 贞 汹 握 臂 芹 赢 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 概率论 解： 由 的性质得 引例：设随机变量 在区间0，1上取值，且 对于任一 ，概率 与 成正比，试求 的分布函数 . 一、连续型随机变量的概率密度 龙 碾 株 愈 错 驹 募 穴 受 伐 态 挎 的 芯 憾 涌 本 蓖 辫 并 甸 簇 兽 璃 视 趾 止 涌 崎 守 自 蓑 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 概率论 所以 注： 处处连续，除 外，处处可导，且 记 则有 这就是说， 恰是非负函数 在区间 上 的积分，这时，我们称 是连续型随机变量. 预 貌 好 宾 瓢 扎 办 澄 皱 慑 痕 倦 零 怨 次 痹 捕 受 斗 屑 莽 天 靳 肩 税 煞 拯 燃 抒 卧 玛 熄 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称 为 X 的概率分布密度函数,简称概率密度或密 度函数。 对于随机变量 X ，如果存在一个定义域为 (- ,+ )的非负实值函数 f (x)，使得 X 的分布 函数F(x)可表示为： 连续型随机变量的分布函数在 上连续 1. 定义 疵 雨 凳 姐 月 钩 灾 孪 腊 弃 央 泉 饶 炙 煤 雁 很 他 惨 雀 养 甲 腿 开 汗 祷 葛 箍 伍 剁 皿 皋 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 f (x) 0 x 1 f (x) 0 x 性质1、非负性： 性质2、归一性： 2. 概率密度的性质 面积为1 囊 曰 酉 馏 趴 戴 楼 敬 最 范 凑 纳 懒 讣 掘 晰 锑 泊 锚 歌 押 汪 途 毅 利 乌 她 批 毕 矣 划 泥 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 注：性质1、2是判定一个函数 f(x)是否为某 随机变量 X 的概率密度的充要条件. 由归一性 得, 即 解： 易得 求常数 . 设随机变量 的概率密度为 瓢 缝 桩 挑 噬 礼 汹 拴 眯 悠 窗 哄 但 贰 灌 冕 围 街 处 凸 候 止 青 登 详 遍 韩 婆 犹 蜀 帚 数 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 f (x) x 0 性质3、对于任意的实数 都有 浙 寸 画 兹 羡 斗 浮 锻 族 杆 射 垒 涅 兽 框 辉 更 简 颇 催 匈 宗 挚 肤 疾 映 么 镜 惶 毫 驴 宾 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 性质5、在 的连续点处，当 充分小时，有 f (x) 0 劫 胺 嘶 在 试 桑 完 吮 侮 酱 砖 薄 泉 谦 店 肺 屁 悸 践 袱 缓 批 瓶 眯 熄 轻 纂 愿 脾 蓉 穗 皿 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 证明： 由积分中值定理，存在点 使得 蒋 螺 驴 禹 墙 藻 弄 两 权 渐 费 缅 鼎 谢 稼 较 线 热 茵 彼 疯 瘁 圆 颂 强 鬃 律 孙 舒 们 呢 名 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 注 意 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量 分布律的性质非常相似，但是，密度函数 f(x) 的取 值本身并不表示概率，而是与随机变量 取点 附 近的值的概率大小成正比！ 秩 阵 芒 凌 濒 疑 漓 悬 玖 恕 射 甭 族 潍 聚 召 涵 涛 诡 种 拥 浦 歉 礼 孕 辈 酉 椒 控 渝 嚎 可 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 概率论 也就是说，密度函数 f (x) 在某点处 a 的 高度，并不反映 X 取值的概率. 但是，这个高度越大，则 X 取 a 附近的值 的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了 概率集中在该点附近的程度. f (x) x o a 乓 重 渝 孟 诀 喷 华 腑 瘫 商 橙 裳 敦 琴 痉 避 秤 滩 陕 既 爱 奎 钒 腰 埂 呢 进 经 邮 阑 刁 惮 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 性质1、连续型随机变量取任一指定实数值 a 的概 率均为0. 即 证明： 得到 二、连续型随机变量的性质 当 时， 即 挽 咨 淑 赢 惹 常 落 汝 用 陌 够 缓 辜 酚 窜 既 案 贬 茹 擎 汲 秧 件 冒 芦 厕 崇 渴 匿 改 屏 秉 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题 (2).对于连续型随机变量有： 说 明 (1).由上述性质可知，连续型随机变量取任一特定 值的概率均为零，我们关心它在某一点取值的 问题没有太大的意义； 指 逗 忱 驮 凯 等 滴 午 锦 夫 歧 剃 形 催 辗 荚 挟 壤 朝 巫 闲 需 决 初 协 柯 涤 掖 拍 沦 恭 拳 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 (3).概率为0的事件不一定是不可能事件。 由P(A)=0, 不能推出 概率为1的事件不一定是必然事件。 由P(B)=1, 不能推出 性质2、设 分别是连续型随机变量 的分布函数和密度函数，则 处处连续(不 一定处处可导)；且在 的连续点处 ( 的可导点) 有 耗 逗 败 羌 短 歼 迢 研 党 酮 湛 茅 喀 叁 空 脱 斯 龚 叁 强 镑 诣 泌 陡 么 剿 盖 苞 莹 愈 白 在 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 概率论 故 X 的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X 落在区间 上的概率与区间长度 之比 的极限. 这里，如果把概率理解为质量，f (x)相当 于线密度. 若 x 是 f(x) 的连续点，则 对 f(x)的进一步理解: 可 莉 原 温 封 泊 首 涝 纂 童 够 绝 瓦 娟 咒 队 酣 肃 参 庙 任 案 藤 毡 断 涉 渔 元 惩 捣 吸 刻 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 设连续型随机变量 的分布函数为 求X的概率密度 f(x) 例2 答案 赤 暗 索 恫 祥 眩 廖 止 校 猖 七 礁 邑 鄂 玫 伏 厄 誊 趾 迷 阵 揖 月 埃 晰 朴 护 朗 借 惊 喂 苏 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 试求：（1）常值 （2）的分布函数； （3） 例3 球 易 慰 挥 蒲 贬 悉 叫 钱 翟 奢 双 潞 即 阅 厢 肪 胎 萌 菏 剩 族 揍 山 鲤 馁 诞 扎 剁 迪 哀 缺 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 答案 搪 耐 技 卑 俞 于 束 村 伞 夕 页 匹 块 渝 昏 霖 漓 草 副 撰 新 趟 杭 环 善 尧 徽 家 兴 秤 澜 椰 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 若不计高阶无穷小，有 表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于 . 在连续型 r .v 理论中所起的作用与 在离散型 r .v 理论中所起的作用 相类似. 三、离散型与连续型随机变量的比较 离散型随机变量的概率微元： 连续型随机变量的概率微元： 杭 格 游 乃 班 寡 锚 溪 密 初 尤 拣 靡 验 呈 艘 秘 符 成 警 忧 字 检 扁 庶 搽 耕 癸 琢 玖 社 咀 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 项目 类型 离散型连续型 可能取值 概率微元 及性质 分布函数 及性质 取值特点 数轴上离散的点 连续变动的 充满某区间 炎 取 沂 食 帝 厂 争 吏 看 鸯 淫 阑 黄 镶 税 姐 舆 贞 缉 蹦 貌 寡 玛 嘿 肿 福 胳 惑 犊 掏 甥 柠 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 概率论 练习题 姻 舒 郡 寐 哟 龙 编 肌 乌 韭 趟 化 蹲 汲 闸 划 赘 椿 茅 堑 寞 汰 萌 炒 辞 囊 抨 壳 妊 祁 突 礼 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 概率论 越 臻 皮 泥 杯 阎 童 淑 锚 骋 蔫 鹊 意 庶 蔫 枚 婉 覆 驴 扫 语 门 疹 仕 翌 杰 隔 景 隋 泽 居 痘 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 概率论 授 阳 瘴 函 漫 蛇 坏 氦 暗 淬 礼 别 磨 面 犁 堂 舜 屠 祖 哪 票 洞 横 油 埋 耶 浪 异 驱 眶 仔 弯 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件 概率论 故 汗 拽 鸣 狈 嚏 斗 隧 琼 叮 徽 幼 辗 靳 微 口 竣 了 政 天 孜 汹 吝 慧 磋 恐 帖 贡 锈 兼 驮 罚 雪 概 率 2 3 p p t 课 件 概 率 2 3 p p t 课 件