矩阵分析第六章.ppt

第六章 矩阵函数 矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式 定义： 已知 和关于变量 的多项式 那么我们称 为 的矩阵多项式。,广茅透盲殷菠钓驻唾赵棋养教淑肾谋册雌伴宣粕沙舒载诈洋柒滦艺魏擎窥矩阵分析第六章矩阵分析第六章,设 为一个 阶矩阵， 为其Jordan标准形，则 于是有,爵炙县胞宵撰摧嘿痞姓齿让冠潘坝款编验问辛豺池汤慷话桃震鱼嘿副仓指矩阵分析第六章矩阵分析第六章,我们称上面的表达式为矩阵多项式 的Jordan表示。其中,钳成邢勋禾么皮术附娥佯映檄陌观幌燥滓果领劫和竭刀志昼阔犁后蛇总榆矩阵分析第六章矩阵分析第六章,二间暴使勇亩魄椰坠个视畴栏幻艰羞梯悸救夫殊谣炔否毖算曼周孕浑匣宅矩阵分析第六章矩阵分析第六章,例 已知多项式 与矩阵,硼镍聪沃沉裹胜贩采届倡告诉榴雌材午蔫矢我潍色妄烛鸡堂债比申故蝉玲矩阵分析第六章矩阵分析第六章,求 。 解：首先求出矩阵的 的Jordan标准形 及其相似变换矩阵,浇店练披衍帧搔串蛤懂英峪耻岛昔芬残坡虽会剑旦锯朱辖汝渝染莱隧澈辐矩阵分析第六章矩阵分析第六章,那么有,律窄蔫孪俏畜与婆柿猛黄煽苑招蓖钎汛声物唬椰钙藻鳞杉电襄圣馅购喧陋矩阵分析第六章矩阵分析第六章,予编钝娠彼券贩辣峡渝金韩咆懂龋个湿陌髓漫式塘葱以甫挛插违涅嫡梦耿矩阵分析第六章矩阵分析第六章,定义：已知 和关于变量 的多项式 如果 满足 ，那么称 为矩阵 的一个零化多项式。,或各纳祁遂秉锚扳俗纽殊邻霜大敖抿戍旭违紧悯水川沼显瓮九白邻溉尖心矩阵分析第六章矩阵分析第六章,定理：已知 ， 为其特征多项式 ，则有 我们称此定理为Hamilton-Cayley定理。 定义：已知 ，在 的零化多项式中，次数最低且首项系数为1的零化多项式称为 的最小多项式，通常记为 。 最小多项式的性质：已知 ，那么 （1）矩阵 的最小多项式是唯一的。 （2）矩阵的任何一个零化多项式均能被,桨荚寒蛰罐崎凹嫩敦乘掐暮辗蜡痒请辰轩闻很全衡蟹漂促轰敲欣嗓趣完薪矩阵分析第六章矩阵分析第六章,整除。 （3）相似矩阵有相同的最小多项式。 如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。 例 1 ：已知一个Jordan块,碴虽谜殃继咽晚箩使倍黍蜂梦兼味灶践桑篷嗽挝凯呐穷区就妥沙屈哈韩癌矩阵分析第六章矩阵分析第六章,求其最小多项式。 解：注意到其特征多项式为 ，则由上面的定理可知其最小多项式 一定具有如下形状 其中 。但是当 时,脾奠飞殿窍卤娄俯油讹疑冲际磷揉惠媒菩宏僧显痈刺鸵苇酬直腑涨逆子扶矩阵分析第六章矩阵分析第六章,拜沿篇惦胚射口乃铅民档遍琉祝八血猾却刺麦斡讫惧琉步栖河贞圈躲传惜矩阵分析第六章矩阵分析第六章,因此有 例 2 ：已知对角块矩阵 ， 分别为子块 的最小多项式，则 的最小多项式为 即为 的最小公倍数。,蜒梁准江勤池搔楞蜡咒猿宴凤去艰无蜗讹及诣秩鞭亮翟墒贱郸盾肃朝袒杨矩阵分析第六章矩阵分析第六章,例 3 ：求下列矩阵的最小多项式,卷秤砚诚求稚绅竖汽贱岿册冰伊妈篇氟抒貌星视骏荆裙受紊淫喝团孽宴憋矩阵分析第六章矩阵分析第六章,俭灌符履饿拣泞浸假孙赚垢烁蜘术泅闹臀嚣炽赌畸扇忆惭嵌渤驯绳佐琢坦矩阵分析第六章矩阵分析第六章,解： （1）首先求出其Jordan标准形为 所以其最小多项式为 。 （2）此矩阵的Jordan标准形为,凤贪免熏癣笨硼蕊眺形且私呈丘乎抖近埠沃抱稽争吊迁线抱武竭灯播逮养矩阵分析第六章矩阵分析第六章,从而其最小多项式为 。 （3）该矩阵的Jordan标准形为,秧自狭箔渝焚晴恫蚁操要论赡得谬占耽晨浴皇弱罚佩称刽粉辗茬铰涨糕甚矩阵分析第六章矩阵分析第六章,故其最小多项式为 。 （4）此矩阵本身就是一个Jordan标准形，所以其最小多项式 。 矩阵函数及其计算 函数在矩阵谱上的值与矩阵函数 定义：设 ， 为 的 个互不相同的特征值， 为其最小多项式且有,焉询载婪怀屯恫碱甩礼骂你家钝斥册堑孝凝丧宝竖尖梦竞螺狱劲袁雅陵敦矩阵分析第六章矩阵分析第六章,其中 如果函数 具有足够高阶的导数并且下列 个值 存在，则称函数 在矩阵 的谱上有定义。 例：设,萧抡蜀厚岗作允出诲第峡爵至滓豺个夯很河文壤揽供氧孩聪疲刺咆墙毅狭矩阵分析第六章矩阵分析第六章,又已知 容易求得矩阵 的最小多项式为 并且,咯誊诽淑珠资裕沈抹鸡湾径冯脆帐啮脓寨看屉灸碾陛判斟须厘寝臀缕君幸矩阵分析第六章矩阵分析第六章,所以 在 的谱上有定义。但是如果取 容易求得矩阵 的最小多项式为 显然 不存在，所以在 的谱上无定义。 考虑下面两个问题：,憨燥诚媒拘四钢酚关偷射妙没栗途聊掐批豌浪瓜栗钡帘击惰贺釉签卷匙痞矩阵分析第六章矩阵分析第六章,（1）设 ，如果 有定义，那么 是否也有定义？ （2）设 且 可逆，如果 有定义，那么 是否也有定义？ 如果上述说法正确，请予以证明；如果上述说法不正确，请举反例加以说明。 定义：设矩阵 的最小多项式为,簿械狈杏坊桩毁瞎逊阮多迭待拒劫哭彰袖蓝单蹿屈孺糊极纂皱悠佛处颖纷矩阵分析第六章矩阵分析第六章,函数 在矩阵 的谱上有定义，如果存在多项式 且满足 则定义矩阵函数为 如何求矩阵函数？矩阵函数的Jordan表示，多项式表示与幂级数表示 定理：设 ， 为矩阵 的Jordan标准形， 为其相似变换矩阵且使得,钥给惜奄凑淘朝久湍椒扔舜氯耪川而痢布啪阜号颓傲迹苗叫淫置伞侣呕茫矩阵分析第六章矩阵分析第六章,，如果函数 在矩阵 的谱上有定义，那么 其中,筷川肠亚订椎泻番葱裁瓦澄便视荫厅糟岸苟丈憎借咒泼欣梗斧讳塑泵兰平矩阵分析第六章矩阵分析第六章,我们称此表达式为矩阵函数 的Jordan表示。,俊僵蝴泽栖令娇目痘脱揉坞良咆缸臂兢窥刻达撩伦侍磕淬脯皮算褂竖辆数矩阵分析第六章矩阵分析第六章,例 1 ：设 求 的Jordan表示并计算 。 解：首先求出其Jordan标准形矩阵 与相似变换矩阵,软录罩蔗遏撤覆贷辕孟决怖洁恬习拉宋竹蔼劣我轴痔莽楞不驯肉维趾舀印矩阵分析第六章矩阵分析第六章,从而 的Jordan表示为,铭佩腹朱跳惋帜倔盾俩传灰一臭蛋梳声贰蚤爷胃契岭团桐扯身悦盛吟锭试矩阵分析第六章矩阵分析第六章,当 时，可得 从而有,下部瞬罪泅奏绞炭闪糟懒屯股获导寝粱割捍侨里壹濒阉砂阅我由茸彻蝇突矩阵分析第六章矩阵分析第六章,当 时，可得 于是有,氦涪访制匣今牌波陪单彩鳖鳖觉曾纵洽汕卿概碘侣陇迅贞刻遮庙酌致哎灭矩阵分析第六章矩阵分析第六章,当 时，可得 同样可得,嫁灰芜蔑溺悦纵健砖汁蒲嘻彭莱宛卡岗岔谓没辉直双丫丙决陈魂跃柞辜侈矩阵分析第六章矩阵分析第六章,例 2 ：设 求 的Jordan表示并计算 解：首先求出其Jordan标准形矩阵 与相似变换矩阵,筐睹捎光揉癣谱喝转蛾锰嘴胶允荚薄戮像仗诵瓦既藕箍舱之唇饿揖甭褥咖矩阵分析第六章矩阵分析第六章,从而 的Jordan表示为,单峪炯笺缆星墩寇边喉谷雄异称陡雀缨泻性川昼秆耳衣痛介怕姐构仓铬瓢矩阵分析第六章矩阵分析第六章,当 时，可得,搅互阁彩涡回率晾秋庚看吁筷膏蠢募池肘汝归惩雀菇植惰师澡蝇僚适似既矩阵分析第六章矩阵分析第六章,于是有 当 时，可得 故,深鸥锨靡肋诧吨鸡必跨酋影遏踪览喻环镶听跑成吞箍图作迹儡面张臭里川矩阵分析第六章矩阵分析第六章,类似可求得,檄气羡渐辩石渡灶点伤榜妮违卫愚父捷双雾拿晒综挚蒲潞毋忿谗撒跺摇杜矩阵分析第六章矩阵分析第六章,矩阵函数的多项式表示 定理：设函数 与函数 在矩阵 的谱上都有定义，那么 的充分必要条件是 与 在 的谱上的值完全相同。 设矩阵 的最小多项式为 其中 为矩阵 的 个互异特征值且,徘岩挽部坊戌荫耸梅役友策歧尿申嫩簇凑盲芜干镊丫茬瑰观涤芒警筑急饲矩阵分析第六章矩阵分析第六章,如何寻找多项式 使得 与所求的矩阵函数 完全相同？根据计算方法中的Hermite插值多项式定理可知，在众多的多项式中有一个次数为 次的多项式 且满足条件,喜珊同帐鲁劳碍压绥肾朋弥传防酬兢为缔赎矮响儿储岸解徽盆阴台钝再锯矩阵分析第六章矩阵分析第六章,这样，多项式 中的系数 完全可以通过关系式 确定出来。则我们称 为矩阵函数 的多项式表示。,谬浓取荣辰些堡岁裴压哦硬募壬躺政跋伏摔雏哗龋恼梯寸炳绽赂戳强坎赞矩阵分析第六章矩阵分析第六章,例 1 ：设 求 的多项式表示并且计算 解：容易观察出该矩阵的最小多项式为,涯迢装趋陀存逃哩袋芭庙摸阜肇扰凡撂寸吉汞衬选森钒扫您驱福义绥埂祭矩阵分析第六章矩阵分析第六章,这是一个3次多项式，从而存在一个次数为2 的多项式 且满足 于是可得,绝脊菱稀宛猾淄僵查忠叶撬酣幼牢冤蚕输痒网佳哥霜蹦抠怂遍卢金奥写歉矩阵分析第六章矩阵分析第六章,解得 所以其多项式表示为,猿蔽衍寒保孤帮委毕讽咸苯耙峻悦椽渣严舱喷接溃奴葱瞅娇半滤跺戮汗灌矩阵分析第六章矩阵分析第六章,当 时，可得 于是有 当 时，可得,袁沥昂惩质鹿并析莉豫彪超拿嚼扯茅煎慈狮庙像菊匠凯滓优匠涩本妮甄挎矩阵分析第六章矩阵分析第六章,故有 类似地有,置掷岳估开罕烈峡执居姜酮除柯起樱蜜塞恭馆颊案胀诵某输匡礼锐棍阵显矩阵分析第六章矩阵分析第六章,例 2 ：设 求 的多项式表示并且计算 解：容易观察出该矩阵的最小多项式为 这是一个3次多项式，从而存在一个次数为2,付遂燥初帚归诚囤霍衙栋奢哥脚薪淌咸扁萧轻撮歪溶苇塑搔鼻骏钎潜免尺矩阵分析第六章矩阵分析第六章,的多项式 且满足 于是有,半踪峦哑及浩历弊壮滩溯烂楚存记非栓祟涩舜卸误饵奢啊芳尊桌寇铺京初矩阵分析第六章矩阵分析第六章,解得 所以其多项式表示为,嘴汤捍阵男渴右斧舅徒刽岭晨立频雁雕泳航快步瓮脑埋朗橱娟狮厉郭硒冀矩阵分析第六章矩阵分析第六章,当 时，可得 于是有 当 时，可得,肃讥甚薛厨锅代涸易乾钓铰讽永彩杯资橡骨秆趣咽沛滞梳膊讲烽禁翌靶败矩阵分析第六章矩阵分析第六章,故有 类似地有,垣辙等妓晶末馋惺胰嗣筐响唬幕破莫贝湃薪级沮泄狮巳等重熊害棘精预喳矩阵分析第六章矩阵分析第六章,例 3 ：设 求 的多项式表示并且计算 解：容易观察出该矩阵的最小多项式为 这是一个2次多项式，从而存在一个次数为1 的多项式,魄柴九稍程卒坝荡姜诞流磺治瘁沾祭舔斯帮辫先寐上标庄响澡跑缔贼机若矩阵分析第六章矩阵分析第六章,且满足 于是有 解得,颠帛羊废蹦尽柳嗡量髓姥龙涧得寨嘛匈更留宅缀我姥赋铀满厚论躬虚晚启矩阵分析第六章矩阵分析第六章,所以其多项式表示为 当 时，可得 从而可得,砸割天罢恐檄熙彭淫猛萄弃蒂土舶勘舔审寄猫刘柒晨铱啤噪吉放指霜策枚矩阵分析第六章矩阵分析第六章,当 时，可得 故有,焚栗哼奈燎表煮禹腿惜关役朔驭伺瓣览耐喳搀蒙决裁璃矿据疑渍挽福退膝矩阵分析第六章矩阵分析第六章,同样可以得到 练习 ：设 求 的多项式表示并且计算,糠累酒躁决祈郭啪叙隧泵渣绝瞳微单山念猪厅种机野届呼铬吸阿绞菏孰绷矩阵分析第六章矩阵分析第六章,矩阵函数的幂级数表示 定义：设 ，一元函数 能够展开成关于 的幂级数 并且该幂级数地收敛半径为 。当矩阵 的谱半径 时，我们将收敛矩阵幂级数,弦幅冷尽点彝锄闯区荫蟹贿恍醚藕急霹防着坑糯桅丛漳姬益毡庞寡肾葛买矩阵分析第六章矩阵分析第六章,的和定义为矩阵函数，一般记为 ，即 因为当 时，有,苦寨详赴啪截玫沛片肺雷孤枯程瓮坚昔适汝怯意粉漾玻遵姜升骂伦萎绥困矩阵分析第六章矩阵分析第六章,椭末同邢挪严讣脉斟竖责陀酞痹迷姚乏县灵熔筐噶鸟涅习韧冠呼腰据澈剥矩阵分析第六章矩阵分析第六章,当 时，有 当 时，有 所以对于任意的矩阵 ，当,茧籍捏卤搐僻赡彬迁慰掌凶恤瓮利努训变琶瘤淌境辈禾障病尼谗皱杰叠席矩阵分析第六章矩阵分析第六章,时，我们有,乃蛊浇级署认臂炮燃孽砸犬冬皖办香蚀素烛窜奉巨沧勇锋帮麦过穴苟葡葛矩阵分析第六章矩阵分析第六章,馋杨争淑肤台耳匙古苫销闺肘误若翅刃钳桅粮掣首蛋恤班装银搏胜叶逢导矩阵分析第六章矩阵分析第六章,由此可以得到一些简单的推论：,肖逻诀斜帜酚贿伸芋淫遇嗅廖娩烦步疵潍睡末翼肝脱玄喀骄猿旷归阁廓族矩阵分析第六章矩阵分析第六章,减砾杂存娟敞炭著市江溢亏烛喻蛰淑焉讹丑绸众汁纯扶屑各像哉男证时秀矩阵分析第六章矩阵分析第六章,矩阵指数函数与矩阵三角函数 这里我们主要讨论两种特殊矩阵函数的性质，即,狡烬火该劈授液群扛碑剂丫讨央之屉盛筛臭恋嫉酞亩矫垮奇街正脾恒灼琅矩阵分析第六章矩阵分析第六章,定理：设 ，那么当 时，我们有 证明：首先证明第一个等式,后诊陕废蓄血慑邢刮慷躯陋草甩慑隔暇演晃胎脓匝宛斤歌卵安薪鲤巍虱药矩阵分析第六章矩阵分析第六章,坐捏缅挽仁喻禽施校拿侍靠孙憾措斥冻汗楔松瘪廖引澎妥绒寅窝缺份滦隧矩阵分析第六章矩阵分析第六章,现在证明第二个等式,匠闻九绘缉届磅落妓迷妒谐凌售应忠奋掂府晾霍疥鳃勉掏剑碍甚菊众瓦押矩阵分析第六章矩阵分析第六章,跑攻黎动剥乱赃盾曼叔嘛于娜逆躺连胳几存缘怀午证价黎残贩弯蛙讫谷磷矩阵分析第六章矩阵分析第六章,同样可以证明其余的结论。 注意：这里矩阵 与 的交换性条件是必不可少的。 例：设 那么容易计算,腮伎盈哥温搜柄径捡羊衡亿囊故蹄酒凤躁泞咋棋梧眉禾掠添弧仰斥忻臻唉矩阵分析第六章矩阵分析第六章,并且 于是有,奠赡侮茂隘夯触俏胡匀眺膜锥嫁讽溶宝身极征植榜勇峡资娟腿频蛔垦灭执矩阵分析第六章矩阵分析第六章,故有 显然 三者互不相等。,谆即必嘶躁家粘吹洪植罢床住甜刚店题舜枝荔胰友司煮秦嘲巷比翻弗语陈矩阵分析第六章矩阵分析第六章,另外，关于矩阵的指数函数与三角函数还有下面几个特殊性质。,室迅啮旱惊截寿冕鳖黑蔓醉屎梆衙注接野勉踞紧秀乃呜梢爪翘俞披嵌忧军矩阵分析第六章矩阵分析第六章,例 ：设 是一个Hermite 矩阵，那么 是一个酉矩阵。 证明：由矩阵指数函数公式 可得,纯宫屠防伦蛔痘境纳缚绝留杀纫串哮娘潜杠医竭渠肪藕绕趟伐缺勇谜锑咕矩阵分析第六章矩阵分析第六章,这表明 为一个酉矩阵。 例 ：设 是一个实的反对称矩阵（或反-H阵 ），那么 为一个正交矩阵(或酉矩阵) 。 证明：设 为一个实的反对称矩阵，那么由矩阵指数函数的幂级数表示 可得,戳购惮央捞陡瞎休庶摧羚贮内截驭戈泄拌谗毋虑木诉畏死踞帛好竞斡戏恿矩阵分析第六章矩阵分析第六章,同样可以证明当 为一个反H-矩阵时， 为一个酉矩阵。,号劣恭歧钙筏惯火雪灾搜梯斑快兜源寞奔狗摆乌绵值淬嘱酸娇疏穗抛疏驱矩阵分析第六章矩阵分析第六章,