绵阳二诊理科数学2015.1.122.doc

绵阳市高2012级第二次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分CDADC BBADC10提示：问题转化为由，得，即在递增，在递减，当，即时，即当即时，此时.将，代入检验正确.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11 12-160 13 14 1515提示： 法一：和是(-1，1)上的“接近函数”， 结合图形，使，令，即时，；时，所以 法二：数形结合求出直线和半圆相切时切点，当直线和圆在的“竖直距离”为1 时，若与是上的“远离函数”，即，令，则在递减，在递增， ；令，易得在递增，在递减， ， 三、解答题：本大题共6小题，共75分 16解：()设所选取的2人中至少有1人为“满意观众”的事件为A，则为所选取的人中没有1人为“满意观众”， P(A)=1-P()=1-=1-=，即至少有1人为“满意观众”的概率为 4分 () 由茎叶图可以得到抽样中“满意观众”的频率为，即从观看此影片的“满意观众”的概率为，同理，不是“满意观众”的概率为6分由题意有=0，1，2，3，则P(=0)=，P(=1)=，P(=2)=，P(=3)=， 的分布列为0123P 10分 的数学期望E=0+1+2+3=212分17解：() 如图，连结AC、BD交于O，连结OE 由ABCD是正方形，易得O为AC的中点，从而OE为PAC的中位线， EO/PA EO面EBD，PA面EBD， PA/面EBD4分 ()由已知PD底面ABCD，得PDAD，PDCD 如图，以DA，DC，DP所在直线为坐标轴，D为原点建立空间直角坐标系设AD=2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，B(2，2，0)，=(2，2，-2)，(2，0，0)6分BACPDEFOxyz设F(x0，y0，z0)，则由=(x0，y0，z0-2)，得(x0，y0，z0-2)=(2，2，-2) ，即得于是F(2，2，2-2) =(2，2-1，1-2)又EFPB， ，解得 ， 8分设平面DAF的法向量是n1=(x，y，z)，则即令z=1，得n1=(0，-2，1)又平面PAD的一个法向量为n2=(0，1，0)， 10分设二面角P-AD-F的平面角为， 则cos=，即二面角P-AD-F的余弦值为 12分18解：()由余弦定理得，则 4分()由A+B+C=有C=-(A+B)，于是由已知sinB+sinC=得，即，将，代入整理得7分根据，可得代入中，整理得8sin2B-4sinB+5=0，解得 10分 由正弦定理有 12分19解：() 二次函数的对称轴为x=， an0，整理得，2分左右两边同时乘以，得，即(常数)， 是以2为首项，2为公差的等差数列， ， 5分() ， ， -得： ，整理得 8分 =>0， 数列Sn是单调递增数列10分 要使Sn<3成立，即使<3，整理得n+2>， n=1，2，312分20解：()设椭圆的标准方程为，焦点坐标为(c，0)，由题知：结合a2=b2+c2，解得：a2=3，b2=2， 椭圆E的标准方程为 4分() 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，H(x0，y0)， 由已知直线MN的方程为y=kx+3k+4，联立方程消去，得，于是x1+x2=，x1x2= 7分又P，M，H，N四点共线，将四点都投影到x轴上， 则可转化为，整理得： 10分将代入可得， 12分 ，消去参数得，即H点恒在直线上 13分21解：() ，x(0，+)， 1分 a=2时，=0， 解得x=，x=-1(舍)即的极值点为x0= 3分() （1）时，在上是减函数，在上是增函数;时， 对二次方程ax2+x-1=0，=1+4a，（2）若1+4a0，即时，ax2+x-1<0，而x>0，故<0， 在(0，+)上是减函数（3）若1+4a>0，即a>时，ax2+x-1=0的根为，若a<0，则 >>0， 当x(，)时，ax2+x-1>0，即>0，得是增函数；当x， (，+)时，ax2+x-1<0，即<0，得是减函数若a>0，<0<， 当x(0，)时，ax2+x-1<0，即<0， 得是减函数；当x(，+)时，ax2+x-1>0，即>0得是增函数 综上所述，时，在上是减函数，在上是增函数当时，在(0，+)上是减函数；当<a<0时，在(，)上是增函数，在， (，+)上是减函数；当a>0时，在(，+)上是增函数，在(0，)上是减函数7分()令，x>0，于是令，则>0，即p(x)在(0，+)上是增函数 p(x)=-(a+1)<0，而当x+时，p(x)+， x0(0，+)，使得p(x0)=0 当x(0，x0)时，p(x)<0，即<0，此时，h(x)单调递减；当x(x0，+)时，p(x)>0，即>0，此时，h(x)单调递增， =由p(x0)=0可得，整理得，10分代入中，得=，由x(0，+)，恒有，转化为0，因为a>0，式可化为0，整理得0，解得x01再由x0>0，于是0<x0112分由可得令= ，则根据p(x)的单调性易得在是增函数， <，即0<e，解得a，即a的最小值为14分