习题7─19一细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形.docx

最新资料推荐习题 719一细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电量+Q，沿其下半部分均匀分布有电dlRdYd量 Q，如图所示，求圆心O 处的电场强度。解：如图所示，在半圆形玻璃棒的上半部分取一线元+QRdExdlRd，其位置处相应的半径与X 轴负向的夹角为OXQ，其带电量dEydEdqdl2Qdl(R)2Qd，其在 O 点产生的元场强的大小为习题 7 19 图dEdqQd0 R 2220 R24其方向如图所示。由于各个线元产生的元场强方向不一致，因此需把dE 分解dE ydE s i nQ s i nd220 R 2由于电荷分布的对称性，最终O 点场强的 X 分量 Ex0 。因此，圆心 O 处的电场强度的Y 分量为E y2dE yQ2s i ndQ220220 R0 R把 O 处的电场强度写成矢量式为EE y jQj220 R习题7 20 在 真 空 中有 一 长 为 l=10cm的 细 杆 ， 杆上 均 匀 分 布着 电 荷 ， 已 知 其 电荷 线密 度1.010 5 C / m ， 在 杆 的 延 长 线 上 ， 距 杆 的 一 端 为 d=10cm的 一 点 上 ， 有 一 电 量 为q02.010 5 C 的点电荷，如图所示，试求该点电荷所受的电场力。解法 ：沿细杆方向建立X 轴方向向左， 坐标原点就在 q0所在处，在细杆上x处取线元dx，其带电为dxxdqdx ，线元在 q0 所在处产生的元场大小为Oq0dlXdEdqdx40 x240 x2习题 7 20 图整个细杆在 q0 所在处产生的电场大小为EdEdldx11ld2()4x40dd l40 d (d l )0点电荷 q0 所受的电场力为1最新资料推荐Flq01.010 50.10 2.010 5q0 E(dl )43.148.8510 120.108.99N4 0 d0.20习题 722 如图所示为一沿X 轴放置的长度为 l 的不均匀带电细棒，已知其电荷线密度为al0 ( x a) ， 式 中O0 为 常 量 ， 取xXU0 ，求坐标原点O 处的电势。dx解：在棒上 x 处取线元 dx，其带电量 dqdx0 ( xa)dx习题 722 图O 处产生的元电势，其在坐标原点为dUdq0 (xa)dx40 x40 x整个带电细棒在坐标原点O 处产生的电势为0ala) dx0x a ln x aa lUdUa(14x40040l alna l0a习题 725图为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为，球壳内表面半径为R1，外表面半径为R2 ，设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。解：以 O 为中心，以 r ( R1rR2 )为半径，在球壳内取一厚度为dr的薄球壳，其可看成均匀带电球面，其带电量为 dqdV4r 2dr ，其在其内部任一点产生的电势为rOdUdq4r 2 drrdrR140r40 rR2dr0整个球壳在空腔内任一点产生的电势为R21 r 2R2习题 7 25 图(R22R12 )UdUrdrR102R12 00习题 825一圆柱形电容器， 外柱的直径为4cm，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的介质，该介质的击穿电场强度大小为E 0=200kV/cm，试求该电容器可能承受的最高电压。解：设该电容器的内、外柱半径分别为a 和 b，内、外柱带电分别为和，则内、外柱间的场分布为E2r(a<r<b)该场强的最大值也是击穿场强E 0，可令上式中的r =a，即2最新资料推荐E0E r a2a两极间的电势差U abbEdrb drlnbaE0lnb( )a2a r2aa根据最值条件，可令dU abE0baE0abbdalnba 2E0 ( l n 1) 0aaln b1，abae代入 ( )式即可得到该电容器可能承受的最高电压U maxb E022001031.47105 Ve2.7182习题8 27图示为两个同轴带电长直金属圆筒，内、外筒半径分别为R1和 R2 ，两筒间为空气，内、外筒电势分别为 U1 =2U0， U2=U 0， U0 为一已知常量。求两金属筒之间的电势分布。解：两金属筒之间的电势差为U 122U 0 U 0U 0R2E drR2R1R120drln R2r2 0 R1所以2U 0ln R20R1设距轴线为 r (R1<r<R2)处的电势为 U(r)，则该处与外筒之间的电势差为U ( r )U 0R2E drR2drR2U 0R2rrlnln20r2 0rln( R2 R1 )rU (r )U 0U 0R2因此，ln( R2R1 )lnr这就是两金属筒之间的电势分布。习题 9 15 半径为 R 的导体球壳表面流有沿同一绕向均匀分布的面电流，通垂直于电流方向的每单位长度的电流为 K 。求球心处的磁感应强度大小。ddlR解：如图所示，取一直径方向为OX 轴。并沿电O流方向在球面上取一宽度为dl 的球带， 该球带可以看X成载流圆环，其载有的电流为dI=Kdl = KRd，其在球心 O 处产生的元磁场为题解 915 图3最新资料推荐dB0 dI (R sin ) 20 K sin 2d2R 32该元场的方向沿X 轴的正方向。球面上所有电流在O 点产生的磁感应强度大小为0 K221BdB 2sin d0 K024场的方向沿X 轴的正方向。习题 916如图，一半径为R 的带电朔料圆盘， 其中有一半径为r 的阴影部分均匀带正电荷，面电荷密度为，其余部分均匀带负电荷， 面电荷密度为，当圆盘以角速度旋转时，测得圆盘中心O 点的磁感应强度为零，问R 与 r满足什么关系 ?解：取与圆盘同心、半径为r、宽度为dr 的圆环，其带量电量为ROr习题 916 图dqdS2 rdr其等效的圆电流为2rdrdI dq Trdr2其在中心 O 处产生的元场强为dB0 dI1dr2r02因此，中心 O 点的磁感应强度为BdBr 1R 10 dr1(2r R)0dr002r 22令该磁感应强度为零可得R2r习题 9 17 如图，有一密绕平面螺旋线圈，其上通有电流I，总匝数为 N，它被限制在半径为R1 和 R2 的两个圆周之间。求此螺旋线中心O 处的磁感应强度。解：以 O 点为圆心、以r 为半径，在线圈平面内取 宽 度 为 dr的 圆 环 面 积 ， 在 此 环 面 积 内 含 有IdN=ndr= Ndr(R2R1 ) 匝线圈，其相应的元电流为dI=IdN 。其在中心 O 点产生的元磁场为O0 dI0 NIdrR1R2dB2r2( R2R1 )rO 点最终的磁感应强度为习题 9 17 图4最新资料推荐BdB0 NIR22( R2 R1 ) R1dr0 NIR2r2( R2 R1 )lnR1该磁感应强度的方向垂直于图面向外。习题 9 23半径为R 的圆盘带有正电荷，其电荷面密度kr ，k 是常数， r 为圆盘上一点到圆心的距离，R圆盘放在一均匀磁场B 中，其法线方向与B 垂直。当圆盘以角速度绕过圆心O 点且垂直于圆盘平面的轴作逆时针旋转时，求圆盘所受磁力矩的大小和方向。B解： 在 圆盘 上取 半 径为r 、宽 度 为dr的 细 圆 环 ，环 面 积为 dS2 rdr ， 环 的带 电量 为习题 9 23 图dqdSkr2 rdr2 kr 2 dr 。其等效环电流为dIdqdqkr 2 drT2其元磁矩大小为dPmdIr 2kr 4drdP的方向垂直于纸面向外。整个转动圆盘的磁矩为mR4 dr1 k R5PmdPm kr05Pm 的方向垂直于纸面向外。根据线圈在磁场中所受磁力矩公式MPB可得圆盘所受磁力矩的大小为MPmB s i n1 k R5 B s i n 1 k R5 B525M 的方向垂直于 B 向上。习题 9 24如图所示，载有电流I1 和 I 2 的长直导线ab 和 cd 相互平行，相距为3r，今有载有电流I 3 的导线 MN =r 水平放置，且其两端M 、N 分别与 I 1、I 2 的距离都是r ，ab、cd 和 MN 共面，求导线MN 所受的磁力大小和方向。解：建立图示坐标系，在I 1 和 I 2 之间任一点x 处的磁感应强度(暂设垂直于纸面向里为正)为acdFI 1I3I 2B(x)MNI 3dlI 3MNrrrxx+dxXbd习题 924 图题解 924 图5最新资料推荐B( x)0 I10 I 22 x2 (3r x)MN 上电流元 I 3dx 受到的力为dFBI 3 dx ，方向“”整个 MN 受到的力的大小为dFdF2r0 I 10 I 2I 3 dxr2 x 2(3r x)0 I 3 ( I 1I 2 ) ln 2 ，方向“”2讨论：若 I 1I 2 ，则 F 方向向上；反之，若I 1I 2 ，则 F 方向向下。习题 11 12 两相互平行无限长的直导线载有大小相等方向相反的电流，长度为b 的金属杆 CD 与两导线共面且垂直，相对位置如图。CD 杆以速度 v 平行于直线电流运IIv动，求 CD 杆中的感应电动势，并判断C、D 两端哪端电CD势高？解：建立图示坐标系， X 轴水平向右，原点O 在左边直导线处。在 CD 杆上任一点 x 处、由两平行无限长的aab直电流产生的磁感应强度(规定垂直于纸面向外为正) 为B(x)0 I0 I习题 1112 图2 ( xa)2x在 CD 上 x 处取线元 dl ，其方向 C D，即 dldxi 。在该线元的元电动势为divB dlvB x)dx(整个 CD 杆中的感应电动势为idi0 Iv 2a b22 a110Iv2(ab)x adx2lnbx2ai 的方向 C D ，因此， D 端电势高。习题 1115一无限长直导线通有电流I I 0 e 3t 。一矩形线圈与长直导线共面6Ialb最新资料推荐放置，其长边与导线平行，位置如图所示。 求：(1) 矩形线圈中的感应电动势的大小及感应电流的方向；(2)导线与线圈的互感系数。解：(1) 设矩形线圈回路的绕行方向为顺时针的。在线圈内距长直导线为x 处取宽度为dx、长度为 l 的矩形窄条面积，则通过该窄条面积的元磁通量为0 I (t)dBdSBdSldx2 x通过整个矩形线圈的磁通量为d0 I (t )lb dx0 I (t )lb2a x2lna所以，矩形线圈中的感应电动势为id0l ln bdI (t)0l ln bd ( I 0 e 3t )3 0 I 0 l e 3t ln bdt2adt2adt2a因为i >0，所以该结果就是矩形线圈中感应电动势的大小；并且仍然因为i >0，该感应电动势的方向为顺时针的，相应的感应电流亦为顺时针方向的。(2) 根据定义，导线与线圈的互感系数为MI0lln b2a习题11 17如图所示，一根长为 L 的金属细杆ab 绕竖直轴O1O1O2 以角速度在水平面内旋转。 O1 O2 在离细杆 a 端 L/5 处。B若已知地磁场在竖直方向的分量为B 。求 ab 两端的电势差U aU b 。abO 点为 l 处取线元 dl ，方向 ab，其上产O解：在细杆上距L/5生的元电动势为O2d iv BdlvB cos习题 1117 图细杆上的总电动势abd4 L 50ivBdl c o 0svBdl c o s0L 5B4L 50ldlB ldl0L 58BL21BL23BL2255010ab0，说明细杆上的总电动势的方向为ab，即 Ua <Ub，因此， ab 两端的电势差为U aU bab3BL2107最新资料推荐习 题 11 18一 无 限 长 直 导 线 通 以 电 流II 0 sin t ，和直导线在同一平面内有一矩形线I=I0sint框，其短边与直导线平行，线框的尺寸及位置如右图所示，且 b/c=3。求： (1)直导线和线框的互感系数；a(2) 线框中的互感电动势。解； (1) 设矩形线框回路的绕行方向cb为顺时针的，则线框回路所围面积的法向垂直纸面向里。在距长直导线为r 处取宽度为 dr 、长度为 a 的窄条面元 dS，通过其元磁通量为习题 11 18 图dBdSBdS cos20 I cosadrr式中为面元法向 (垂直纸面向里 )与磁感应强度 B 方向间的夹角。通过整个线框回路所围面积的磁通量为d0 Iabdrcdr2cos0rcosr000 Iab drc dr0 Ia0 drb dr20 r0 r2c r0r0 Iab dr0 Iab0 Ia2c rlncln 322因此，直导线和线框的互感系数M0 a ln 32(2) 根据互感电动势公式可得线框中的互感电动势为MdIMdsin t)0 I 0 atM( I 0(ln 3) cosdtdt2此电动势是交变电动势，其大小和方向都随时间作周期性变化。8