向量组的线性相关性线性代数习题集.docx
.线性代数练习题第四章向量组的线性相关性系专业班姓名学号第一节向量组及其线性组合第二节向量组的线性相关性一选择题1 n 维向量1 ,2 , s( 10) 线性相关的充分必要条件是（ A ）对于任何一组不全为零的数组都有k11k2 2kss0（ B ）1 ,2 ,s 中任何 j ( js) 个向量线性相关（ C）设 A(1 ,2 ,s ) ，非齐次线性方程组 AXB 有唯一解（ D）设 A(1 ,2 ,s ) ， A 的行秩 s.2若向量组,线性无关，向量组, 线性相关，则（ A ）必可由,线性表示（ B）必不可由,线性表示（ C）必可由 , ,线性表示（ D）比不可由,线性表示二填空题：1 设1(1,1,0)T ,2(0,1,1) T ,3(3,4,0)T则 12(1,0,1)T312 23(0,1,2)TDC2 设 3(1)2(2)5( 3) ，其中1(2,5,1,3)T ， 2 (10,1,5,10)T3 (4,1,1,1)T ，则(1,2,3,4) T3 已知1(1,1,2,1)T ,2(1,0,0,2)T,3( 1,4, 8, k )T 线性相关，则 k24 设 向 量 组1(a,0, c) ,2 (b, c,0) ,3(0, a, b) 线 性 无 关 ， 则 a, b, c 满 足 关 系 式abc0.三计算题：1 设向量1,1,1T(1, 1,1)T ， 3 (1,1,1)T ，(1, , 2 )T ，试问当1， 2为何值时（ 1）可由1 ,2 ,3 线性表示，且表示式是唯一？（ 2）可由1 ,2 ,3 线性表示，且表示式不唯一？（ 3）不能由1 , 2 , 3 线性表示？解因为11101112( 1, 2 , 3 , )111r1r3111111211101112rL02,00(3)(122 )111202,00(3)(122 )(1)0且3时, R( 1 ,2 , 3,)R(1, 2 ,3 )3,可由 1,2 , 3线性表示 ,且表达式唯一 ;(2)0时, R(1, 2 ,3 ,)R(1, 2 , 3 )13,可由 1,2 , 3线性表示 ,但表达式不唯一;(3) 当3时, R( 1,2 ,3 ,)3R( 1,2 ,3 )2,不能由 1 , 2 ,3线性表示 .线性代数练习题第四章向量组的线性相关性系专业班姓名学号第三节向 量 组 的 秩一选择题：1已知向量组1 , 2 ,3 ,4 线性无关，则下列向量组中线性无关的是C（ A ） 12 ,23 ,34 ,41（ B） 12 ,23 ,34 ,41（ C） 12 ,23 ,34 ,41（D ） 12 ,23 ,34 ,412设向量可由向量组1,2 , m 线性表示，但不能由向量组（）： 1 ,2 ,m 1 线性表示，记向量组（） ：1 ,2 ,m 1 ,，则B（ A ） m 不能由（）线性表示，也不能由（）线性表示（ B ） m 不能由（）线性表示，但可由（）线性表示（ C） m 可由（）线性表示，也可由（）线性表示（ D） m 可由（）线性表示，但不可由（）线性表示3设 n 维向量组1 , 2 , , s 的秩为 3，则C（ A ）1 ,2,s 中任意 3 个向量线性无关（ B）1 , 2 ,s 中无零向量（ C）1 ,2,s 中任意 4 个向量线性相关（ D）1 , 2 ,s 中任意两个向量线性无关4设 n 维向量组1 , 2 , , s 的秩为 r，则C（ A ）若 rs，则任何 n 维向量都可用1 ,2 ,s 线性表示（ B ）若 sn ，则任何 n 维向量都可用1 ,2 ,s 线性表示（ C）若 rn ，则任何 n 维向量都可用1 ,2 ,s 线性表示（ D）若 sn ，则 rn二填空题：1已知向量组1(1,2, 1,1) ,2 已知向量组1(1,2,3,4) ，的秩为22( 2,0, t,0) ,3( 0, 4,5, 2) 的秩为 2，则 t =32(2,3,4,5) ，3(3,4,5,6) ， 4 ( 4,5,6,7)，则该向量组2 向量组1(a,3,1)则 a =2T ， 2(2,b,3)T ， 3(1,2,1) T ， 4( 2,3,1)T 的秩为 2，b =5.三计算题：1设1(3,1,1,5)T ，2(2,1,1,4)T ，3(1,2,1,3)T ，4(5,2,2,9)T ，(2,6,2, d ) T（ 1）试求1 ,2 , 3 , 4 的极大无关组（ 2） d 为何值时，可由1 ,2 ,3 ,4 的极大无关组线性表示，并写出表达式32151112解：1 ,2 ,3 ,4 )11 2 2r1r 31 1 2 2(1) (111232155439543911121112r2r10 0 10r4r30 0 1 0r3 3 r1r3 ( 1)r55 r101210121012100001112r2r3012100100000因为 R(1,2 ,3 )3, 则 1 ,2 ,3线性无关，且412 .故 1 ,2 ,3为 1 ,2 ,3 ,4的一个极大无关组 .321232121126r4r11 126r3 r 2r4 r2r4 r 3(2)r4r311121112543d001d10只有 d6时 R( 1, 2 , 3, ) R1 , 2 , 33,321211260014000d 6即可由 1 ,2 ,3 ,4的极大无关组1, 2 , 3表示 .321201041126r10020014001400000000所以= 214243 .3 已知 3 阶矩阵 A ， 3 维向量 x 满足 A3 x 3AxA2 x，且向量组 x, Ax, A2 x 线性无关。(1) 记 P ( x, Ax, A2 x) ,求 3 阶矩阵 B ,使 APPB ;(2)求 | A |00解： Q Ax(x, Ax, A2 x)1, A2 x(x, Ax, A2 x)0010且 A3 x3AxA2 x( x, Ax, A2 x)31000AP A( x, Ax, A2 x)( Ax, A2 x, A3 x)( x, Ax, A2 x) 103(x, Ax, A2 x)B011又因向量组 x, Ax , A2 x 线性无关 ,故 P( x, Ax, A2 x) 可逆 .000000得 B P 1P 1 0 31 0 3 .011011(2) A PBP 1 , | A | | PBP 1 | | P | B | P 1 | | B |0 .线性代数练习题第四章向量组的线性相关性系专业班姓名学号第五节向 量 空 间综 合 练 习一选择题：1设向量组1 , 2 ,3 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是B, C（ A ） 12 , 23 , 31（B ） 12 , 23 , 12 2（ C） 1 2 2 ,2 23 3 ,3 31（ D） 123 ,2 13 222 3 ,3 15 25 32设矩阵 A m n 的秩 R (A)mn ， E m 为 m 阶单位矩阵，下列结论中正确的是 B（ A ） A 的任意 m 个列向量必线性无关（B ） A 通过初等行变换，必可以化为（Em0）的形式（ C）A 的任意 m 阶子式不等于零（ D）非齐次线性方程组 Axb 一定有无穷多组解二填空题：.1221设 A212，三维列向量(a,1,1) T ，已知 A与线性相关，则a =13042从 R 2 的基1111231，21到基1，22的过渡矩阵为2011三计算题：1111T331T206T1 设1， 21 ， 38 试用施密特正交化方法将向量组标准正交化。111T解：1112 ,1 T22 1, 1 12 222 3 , 1 3 ,2 T33 1, 1 12 , 2 21 11 11111111T|1 |22212222T|2 |431111T3|3 |211111232已知 R3的两个基为 a11， a20， a30及 b12， b23， b34111143求由基 a1 , a2 , a3 到基 b1 , b2 ,b3 的过渡矩阵 P。111123解：记 A( a1 ,a2 , a3 )100 , B(b1 , b2 ,b3)234111143234PA 1B010101.
