27六年级奥数专题二十七运筹学初步.doc

六年级奥数专题二十七：运筹学初步（1）关键词： 运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。本讲主要研究物资调运问题。将一些物资从某些地方调往另一些地方，要求总运费或物资运行的总吨千米数最少，就是物资调运问题。例1 A，B，C三地的距离（单位：千米）如左下图所示。现有一辆载重量4吨的汽车要完成下列任务：从A地运12吨煤到B地，从B地运8吨钢材到C地，从C地运16吨粮食到A地。怎样安排才能使汽车空驶里程最短？分析与解：如右上图所示，将各段需运输的次数（括号内的数）及运输走向（箭头指向）标在图上。由于C到A的次数最多，所以应从C开始。按CABC，两次循环后，B地的钢材运完，C地还有8吨粮食待运，A地还有4吨煤待运。再从C运4吨粮食到A，然后空驶回C地，再从C运4吨粮食到A，最后从A运4吨煤到B。这样的安排只空驶了7千米，空驶里程最短。例2 在一条公路上，每隔10千米有一座仓库（如下图），共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量。现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费元，那么集中到哪个仓库运费最少？分析与解：最简单的方法是逐个计算集中到各个仓库所需的运费，然后加以比较。但这种方法计算繁琐，我们只需比较各点的优劣。例如，比较集中到C和集中到D的优劣。如上图所示，从右向左运的货物，如果集中到D，那么只有E仓库的60吨运到D；如果集中到C，那么等于E仓库的60吨运到D，再将D仓库的10吨及E仓库运来的60吨一起运到C。所以运到C仓库比运到D仓库多（6010）10700（吨千米）。同理，从左向右运的货物，运到C仓库比运到D仓库少（103020）10600（吨千米）。两相比较，集中到D比集中到C好。经过对各点的比较，货物集中到D仓库运费最少，运费为：（1030302020106010）=1530（元）。例3 北京、洛阳分别有11台和5台完全相同的机器，准备给杭州7台、西安9台，每台机器的运费如下表：如何调运能使总运费最省？分析与解：由表中看出，北京到杭州的运费比到西安便宜，而洛阳正相反，到西安的运费比到杭州便宜。所以，北京的机器应尽量运往杭州，洛阳的机器应尽量运往西安。最佳的调运方案为：北京发往杭州7台，发往西安4台，洛阳发往西安5台。总运费为8007100046005=12600（元）。例4 北京、上海分别有10台和6台完全相同的机器，准备给武汉11台，西安5台，每台机器的运费如下表：如何调运能使总运费最省？分析与解：与例3不同的是，北京、上海到西安的运费都比到武汉的高，没有出现一高一低的情况。此时，可以通过比较运输中的差价大小来决定最佳方案。上表中第一行的差价为600-500100（元），第二行的差价为 1000700= 300（元）。说明从北京给西安多发1台机器要多付运费100元，而从上海给西安多发1台机器要多付运费300元。所以应尽量把北京的产品运往西安，而西安只要5台，于是可知北京调往西安5台，其余5台调往武汉，上海6台全部调往武汉，总运费为：6005500570069700（元）。如果改为看表中的列，那么由于第一列的差价为700- 500=200（元），第二列差价为1000600=400（元），所以武汉需要的机器应尽量从上海调运，而上海只有6台，不足的部分由北京调运。这个结论同前面得到的相同。例5 A，B两个粮店分别有70吨和60吨大米，甲、乙、丙三个居民点分别需要30吨、40吨和50吨大米。从A，B两粮店每运1吨大米到三个居民点的运费如下表所示：如何调运才能使运费最少？分析与解： A，B粮店共有大米 7060=130（吨），甲、乙、丙三个居民点需要大米 304050=120（吨），供应量与需求量不相等，这与例4不同。但是我们仍可以通过差价的大小来决定最佳方案。观察上表各列两数之差，最大的是第二列107=3，因此A粮店的大米应尽可能多地供应乙，即A供应乙40吨。在剩下的两列中，第三列的差大于第一列的差，所以A粮店剩下的30吨应全部供应丙。因为A粮店的的大米已分配完，其余的由B粮店供应，即B供应甲30吨，供应丙20吨。调运方案如右表。相应的运费为：303407303205=560（元）。例6 下图中有四个仓库（用表示）和五个工厂（用表示），四个仓库中存放着五个工厂需要的同一种物资，内数字表示该仓库可调出物资的数量（单位：吨）， 内数字表示该工厂需调入物资的数量（单位：吨），两地之间连线上的数字表示两地间的距离（单位：千米）。已知每吨千米运费5元，请设计一个调运方案，使总运费最少？为解决这类问题，我们先介绍流向图的概念。在物资调运问题中，如果要将a吨物资从A地调往B地，那么从A沿路线右边向B画一箭头，并标上a，称为流向（见下图）。由（若干个）流向构成的图称为流向图。每一个调运方案对应一个流向图。用数学的方法可以证明，一个调运方案是最佳的，当且仅当：（1）流向图上没有对流；（2）如果流向图中有环形路线，在每一个环形路线（叫做圈）内，顺时针和逆时针方向调动的路程都不超过半圈长度。判断是否最佳调运方案的两条标准从直观上很容易接受。如在下图中，右边的方案就比左边的好。在实际图上作业时，可以先采取就近分配的方法，然后再逐步调整，使流向图满足最佳方案的两个条件。用流向图的方法可得本题的最佳调运方案如下图：总运费为：5（2081013201430930124010807205）11300（元）。练习271.如右图所示，工地上要把3车渣土从A运到B，把2车砖从C运到D。一辆汽车最少跑多远可完成任务？，B两个粮店分别有80吨和60吨大米，甲、乙两个居民点分别需要55吨和85吨大米。从A，B两个粮店每运1吨大米到两个居民点的运费如下表所示。运费最少是多少元？，B两化肥厂分别可以提供化肥2500吨和4000吨，甲、乙两地分别需要化肥3000吨和3500吨。从A，B两个化肥厂每运1吨化肥到甲、乙两地的运费如下表所示。运费最少是多少？4.有A，B两个金属仓库，分别存有铝材60吨和40吨，另有甲、乙两个工厂，分别需要铝材35吨和45吨。从A，B两仓库每运1吨铝材到这两个工厂的运费如下表所示。运费最少是多少？5.某学校调整教室桌椅，右图中标出了教室的位置，图中内的数字表示该教室要搬出桌椅的数量，内的数字表示该教室要搬入桌椅的数量。怎样搬运最省事？个同学去野营，他们搭的五顶帐蓬正好位于正五边形的五个顶点上（见左下图），图中圆圈内的数字表示各个帐蓬内的人数。现在想将五个帐蓬内的人数调整为一样多，怎样调动最简便？7.右上图是粮店和居民点的位置示意图，表示粮店，内的数字表示该粮店的存粮数（单位：吨），表示居民点，线段表示道路，线段上的数字表示距离（单位：千米）。假设运输1吨粮食每千米的运费为 元，每个居民点都需要30吨粮食，应如何调运才能使运费最省？运费为多少元？