高一数学教案：正弦定理、余弦定理(1).docx
课题： 正弦定理、余弦定理（1）教学目的：使学生掌握正弦定理能应用解斜三角形，解决实际问题教学重点： 正弦定理教学难点： 正弦定理的正确理解和熟练运用授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、引言： 在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角 那么斜三角形怎么办？提出课题：正弦定理、余弦定理二、讲解新课：正弦定理 ：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即a=b=c=2R（ R 为 ABC外接圆半径）sin Csin Asin B1直角三角形中： sinA= a， sinB= b ， sinC=1cc即c=a， c=bcsin A，c=sin Bsin Ca=b=csin Csin A sin B2斜三角形中证明一：（等积法）在任意斜ABC当中 ABC1ab sin C11ac sin Bbc sin AS =222两边同除以1a=b=cabc 即得：sin Asin Bsin C2证明二：（外接圆法）如图所示，aaCD2Rsin Asin D同理b=2R，c 2Rsin Bsin C证明三：（向量法）CabOBcAD过 A 作单位向量j 垂直于 AC由AC + CB = AB第 1页共 4页两边同乘以单位向量j得j ?( AC + CB )= j ? AB则 j ? AC + j ? CB = j ? AB| j | ?|AC |cos90+| j | ?| CB |cos(90C)=| j | ?| AB |cos(90A) a sin Ccsin Aacsin A=sin C同理，若过 C 作 j 垂直于 CB 得：cbabcsin C=sin A=sin Bsin B sin C正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题：1两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况 :若 A 为锐角时 :ab sin A无解absinA一解 (直角 )bsinA ab 二解 (一锐 , 一钝 )ab一解 (锐角 )已知边 a,b 和ACCCCbbbbaaaaaAAAAHBB1 HB2HBa<CH=bsinAa=CH=bsinACH=bsinA<a<ba b仅有一个解无解仅有一个解有两个解ab无解若 A 为直角或钝角时:ab一解 (锐角 )三、讲解范例：例 1已知在 ABC 中， c10, A45 0 , C 300 , 求 a, b和 B解：c10, A450 ,C300 B1800(AC )1050由ac得ac sin A10 sin 45010 2sin Csin Csin 300sin A第 2页共 4页由bc得sin Bsin Cbcsin B10 sin105020 sin 75062sin Csin 30 0205 6 5 24例 2在ABC 中， b3, B60 0 , c1, 求 a和 A,C解：bcsin Ccsin B1sin 6001,b32sin Bsin Cbc, B600 , CB,C为锐角， C300 , B900 ab2c22例 3ABC中， c6 , A450 , a2, 求 b和 B, C解：ac,sin Cc sin A6 sin 4503sin Asin Ca22c sin Aac,C600 或120 0当 C60 0时， B750 ,bc sin B6 sin 75031，sin Csin 600当 C1200时， B15 0 , bcsin B6 sin 15031sin Csin 60 0b3 1, B750 , C60 0 或 b31, B150 ,C120 0例 4 已知，为B的平分线，求证：CABC BABBC A分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B 的平分线 BD将ABC分成了两个三角形：ABD与，故要证结论成立，可证明它的等价形式：CBDAB ADBC DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为ABAD,BCDC，再根据sin ABDsin BDCsin DBCsin ABD相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论证明：在内，利用正弦定理得：ABDABADABsin ADBsin ADBsin ABD即sin ABDAD在 BCD内，利用正弦定理得：BCDC,即 BCsin BDC .sin BDCsin DBCDCsin DBCBD是 B的平分线 ABD DBC sin ABDsin DBC第 3页共 4页 ADB BDC 180 sin ADBsin （ 180 BDC） sin BDC ABsin ADBsin BDCBCADsin ABDsin DBCCD ABADBCDC评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用四、课堂练习 ：1 在 ABC 中，abck ,则 k 为()sin Bsin Asin C1 R (R 为 ABC外接圆半径 )A 2RB RC 4RD22 ABC中， sin2A=sin2B+sin2C，则 ABC为 ()A 直角三角形B 等腰直角三角形C等边三角形D 等腰三角形3 在 ABC 中， sinA sinB 是 A B 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件4 在 ABC中，求证： cos 2A cos2B11a 2b 2a 2b 2参考答案： 1 A，2 A3 C4absin Asin B( sin A) 2( sin B )2sin Asin Bababsin 2Asin 2 B1cos2 A1cos2Ba 2b 2a2b 2cos2 Acos 2B11a 2b2a 2b2五、小结正弦定理，两种应用六、课后作业 ：1 在 ABC中，已知 sin Asin( AB) ，求证： a2，b2，c2 成等差数列sin Csin( BC )证明：由已知得sin （ B C）sin（ BC） sin （ A B） sin （ A B）cos2 B cos2 C cos2 A cos2 B2cos2 B cos2A cos2C2 1cos2B1cos2 A1cos2B222 2sin 2B sin 2A sin 2C由正弦定理可得 2b2 a2c2即 a2， b2， c2 成等差数列七、板书设计 （略）八、课后记：第 4页共 4页
