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    角形培优训练100题集锦.docx

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    角形培优训练100题集锦.docx

    角形培优训练 1 00 题集锦-作者 : _-日期 : _三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。2、遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。3、遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4、过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5、截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6、已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。7、特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答。1、已知,如图 ABC中, AB=5,AC=3,求中线 AD的取值范围 .2、如图, ABC中, E、F 分别在 AB、 AC上, DE DF,D 是中点,试比较BE+CF与AEF的大小 .EFBDC3、如图, ABC中, BD=DC=AC,E 是 DC的中点,求证: AD平分 BAE.ABDEC4、以ABC 的两边 AB、 AC 为腰分别向外作等腰 Rt ABD 和等腰 Rt ACE ,BADCAE 90 , 连接 DE,M、N 分别是 BC、 DE 的中点探究: AM 与 DE 的位置关系及数量关系(1)如图 当ABC 为直角三角形时,探究: AM与DE的位置关系和数量关系;(2)将图中的等腰 RtABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转(0<<90)后,如图所示,( 1)问中得到的两个结论是否发生改变?并说明理由5、如图,ABC 中, AB=2AC,AD平分BAC ,且 AD=BD,求证: CDAC.ACB6、如图, ADBC,EA,EB分别平分 DAB,CBA,CD过点 E,求D证 ;ABAD+BC。ADEBC7、如图,已知在 ABC内,0400ABAC 60 , C, P, Q分别在 BC, CA上,并且 AP,BQ分别是 BAC ,ABC 的角平分线。求证: BQ+AQ=AB+BP BQPC8、如图,在四边形ABCD中, BCBA,ADCD, BD平分ABC ,求证:AC180 0ADBC9、如图在 ABC中, AB AC, 1 2, P 为 AD上任意一点,求证 ;AB-AC PB-PCA12PBCD10、11、 AD 为 ABC的角平分线,直线 MNAD于 A.E 为 MN上一点, ABC周长记为 PA , EBC周长记为 PB . 求证 PB PA .12、已知: ABC 和 ADE 是两个不全等的等腰直角三角形,其中BA=BC,DA=DE,联结 EC,取 EC 的中点 M,联结 BM 和 DM (1)如图 1,如果点 D、E 分别在边 AC、AB 上,那么 BM、 DM 的数量关系与位置关系是;(2)将图 1 中的 ADE 绕点 A 旋转到图 2 的位置时,判断( 1)中的结论是否仍然成立,并说明理由BBEACMMADCDE13、如图,已知在 ABC中, B=60,ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O,求证: OE=ODAEOBCD14、如图, ABC中, AD平分 BAC,DGBC且平分 BC, DEAB于 E,DFAC于 F.(1)说明 BE=CF的理由;( 2)如果 AB=a ,AC=b ,求 AE、ABE的长 .EBGCFD15、如图, OP 是 MON 的平分线,请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:( 1)如图,在 ABC 中, ACB 是直角, B=60,AD、CE 分别是BAC、 BCA 的平分线, AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出FE 与 FD之间的数量关系;( 2)如图,在 ABC 中,如果 ACB 不是直角,而 (1)中的其它条件不变,请问,你在 (1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。BMEBEFDOPFDNACAC图图图16、 正方形 ABCD中, E 为 BC上的一点, F 为 CD上的一点, BE+DF=EF,求 EAF的度数 .ADFBEC17、D为等腰 Rt ABC 斜边 AB的中点, DM DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。B(1)当MDN 绕点 D 转动时,求证 DE=DF。( 2)若 AB=2,求四边形 DECF的面积。DEM C A FN18、 如图,ABC 是边长为 3 的等边三角形,BDC 是等腰三角形,且BDC1200 ,以 D为顶点做一个 600 角,使其两边分别交AB于点 M,交 AC于点N,连接 MN,求AMN 的周长。19、已知四边形 ABCD 中, ABAD , BCCD , ABBC , ABC 120o , MBN60o , MBN 绕 B 点旋转,它的两边分别交AD,DC (或它们的延长线)于 E,F 当 MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时(如图 1),易证 AE CFEF 当 MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时,在图 2 和图 3 这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF , EF 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明AAABEMBEMBFCACFDCFDDNNNMEM(图 1)(图 2)(图 3)NBCD20、已知 :PA= 2 ,PB=4, 以 AB为一边作正方形ABCD,使 P、D 两点落在直线 AB的两侧 .(1) 如图 , 当 APB=45时 , 求 AB及 PD的长 ;(2) 当 APB变化 , 且其它条件不变时 , 求 PD的最大值 , 及相应 APB的大小 .21、在等边ABC 的两边 AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N, D 为 VABC 外一点,且MDN60 ,BDC120 ,BD=DC.探究:当M 、 N 分别在直线AB 、 AC上移动时, BM 、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q 与等边ABC 的周长L的关系图 1图 2图 3( I)如图 1,当点 M 、 N 边 AB 、 AC 上,且 DM=DN 时, BM 、NC、MN 之间的数量关系是; 此时 Q;L( II )如图2,点M 、N 边AB 、AC上,且当DMDN时,猜想(I)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明;( III ) 如图 3,当 M 、 N 分别在边 AB 、 CA 的延长线上时,若 AN= x ,则 Q=(用 x 、 L 表示)22、如图 2-7-1 , ABC和DCE均是等边三角形, B、C、E 三点共线, AE交 CD于 G,BD交 AC于 F。求证:AE=BD; CF=CG.23、如图 2-7-2 ,在正方形 ABCD中, M是 AB的中点, MNMD, BN平分 CBE。求证: MD=MN。24、如图 2-7-3 ,ABC中, ABC=2C,BAC的平分线交 BC于 D。求证:AB+BD=AC25、如图 2-7-4 ,ABC中, AC>AB, AD平分 BAC, P 为 AD上任一点,连结 PB、PC。求证: PC-PBAC-AB。26、如图 2-7-5 ,从等腰 RtABC的直角顶点 C 向中线 BD作垂线,交 BD于 F,交 AB于 E,连结 DE。求证: CDF=ADE。27、在 ABC 中, ACB 90,AC BC ,直线 MN 经过点C,且 AD MN 于 D , BE MN 于 E.(1)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时,求证: ADC CEB;DEAD BE;(2)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时,求证: DEAD BE;(3)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时,试问 DE、AD 、BE 具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明。28、已知: ABC 为等边三角形, M 是 BC 延长线上一点,直角三角尺的一条直角边经过点 A ,且 60o角的顶点 E 在 BC 上滑动,(点E 不与 B、C 重合),斜边和ACM 的平分线 CF 交于点 F(1)如图( 1)当点 E 在 BC 边中点位置时1) 猜想 AE 与 EF 满足的数量关系是。2) 连结点 E 与边得中点,猜想和满足的数量关系是3) 请证明你的上述猜想()如图()当点在边得任意位置时:此时和有怎样的数量关系,并说明你的理由?AANFFBECM图( 1)BE CM图( 2)29、已知 AC 平分 MAN , MAN=120o,(1)在图( 1)中,若 ABC= ADC=90o,求证: AB+AD=AC。(2)在图( 2)中,若 MAN=120o, ABC+ ADC=180o,则( 1)中的结论还成立吗?若成立请你给出证明,若不成立请说明理由?MMCCDDABNABN图( 2)图( 1)30、如图 1,在 ABC 中,点 P 为 BC 边中点,直线 a 绕顶点 A 旋转,若点 B、 P 在直线 a 的异侧, BM 直线 a 于点 M , CN 直线 a 于点 N ,连接 PM、 PN .(1)延长 MP 交 CN 于点 E (如图 2),求证: BPM CPE ;求证:PMPN ;(2)若直线 a 绕点 A 旋转到图 3 的位置时,点 B、 P 在直线 a 的同侧,其它条件不变 . 此时 PM PN 还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(3)若直线 a 绕点 A 旋转到与 BC 边平行的位置时,其它条件不变,请直接判断PMPN 还成立吗?不必说明理由.题图 1题图 2题图 331、如图 1,已知正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 DEFG 的边 DE 上,连接 AE,GC(1)试猜想 AE 与 GC 有怎样的位置关系,并证明你的结论.(2)将正方形 DEFG 绕点 D 按顺时针方向旋转,使点E 落在 BC 边上,如图 2,连接 AE和 GC你认为( 1)中的结论是否还成立?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.32、已知等边 ABC 和点 P,设点 P 到 ABC三边 AB、AC、BC的距离分别为 h1、h2、 h3, ABC的高为 h。 “若点P 在一边 BC上(如图 1),此时 h3=0, 可得结论h1+h2+h3 h”请直接应用上述信息解决下列问题:当点P 在 ABC内(如图2)、点P 在 ABC外(如图3)这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成AAA立, h1、 h2、h3 与 h 之间的关系如何?请写出你的猜想,不需证DDEEPDFEBM P C B M F C B M C P33、在 Rt ABC 中, A90,CE 是角平分线,和高AD 相交于 F,作 FGBC 交AB 于 G,求证: AEBGAEGFBCD34、如图,点 O 是线段 AD 的中点,分别以AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD,连结 AC 和 BD ,相交于点 E,连结 BC(1)求 AEB 的大小;BCBCEEDOAOAD( 2)若 OAB 固定不动,保持OCD 的形状和大小不变,将OCD 绕着点 O 旋转( OAB 和 OCD 不能重叠),求 AEB 的大小 .35、如图,图1 等腰ABC 与等腰DEC 共点于C ,且BCAECD ,连结BE、AD ,若 BCAC 、 ECDC 求证:; 若将等腰DEC 绕点 C 旋转至图 2、 3、 4 情况时,其余条件不变,BE 与 AD 还相等吗?为什么 ? (请你用图 2 加以证明)36、如图 1, Rt ABC 中, ABAC ,点 D 、 E 是线段 AC 上两动点,且 ADEC ,APBD 于P ,交 BC 于点 Q ,直线 BD 交直线 QE 于 F .判断 DEF 的形状,并说明理由 .如图 2,若点 D 、 E 是直线 AC 上两动点,其他条件不变,判断DEF 的形状,并说明理由 .37、如图 1,在等腰直角ABC 中,ACB90 , O 为 AB的中点, P 为 AB 上一动点, D 在 BC 上,且满足 PCPD , DEAB 于 E . 求证: PODE 如图 2,点 D 在 BC 的延长线上,其他条件不变,中的结论是否成立? 在图 3 中画出当点 P 在 BA延长线上的情况,并给出相应的证明; 还有什么样的情况?在图4 中画出图形,给出证明.38、已知,如下图, BAC BCA,BD CD,CEAB,求证: AE 2AD。39、如图,已知 ABC是等边三角形, E 是 AC延长线上的任意一点,选择一点D,使得 CDE是等边三角形,如果M是线段 AD的中点, N是线段 BE的中点,求证:CMN是等边三角形。40、如图,在 ABC 中,点 D、E 在边 BC 上, CAE B,E 是 CD 的中点,且AD 平分 BAE.(1) 当 BAC=90时,求证:BD=AC.CE(2) 当 BAC90时,是否还有 BD AC 成立?D若成立,请说明理由;若不能,也说明理由。AB41、已知:如图, ABC 中,ABC45, CDAB 于 D , BE 平分ABC ,且BEAC 于 E ,与 CD 相交于点 F,H 是 BC 边的中点,连结 DH 与 BE 相交A于点DG FE(1)求证: BFAC ;G(2)求证: CE1 BF ;BHC2(3) CE 与 BG 的大小关系如何?试证明你的结论42、如图( 1),一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起现正方形 ABCD 保持不动,将三角尺 GEF 绕斜边 EF 的中点 O (点 O 也是 BD 中点)按顺时针方向旋转(1)如图( 2),当 EF 与 AB 相交于点 M ,GF 与 BD 相交于点 N 时,通过观察或测量 BM , FN 的长度,猜想 BM , FN 满足的数量关系,并证明你的猜想;(2)若三角尺 GEF 旋转到如图( 3)所示的位置时,线段 FE 的延长线与 AB 的延长线相交于点 M ,线段 BD 的延长线与 GF 的延长线相交于点 N ,此时,( 1)中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由D FDFNCCDCNFOOOGEA GB EAMBAB MEG图 1图 2图 343、如图1,DEF的顶点D 在ABC 的边BC 上(不与B 、 C重合),且BACEDF180 ,ABDF,ACDE,点 Q 为 EF的中点,直线DQ 交直线AB于点P .(1) 猜想BPD 与FDB 的关系,并加以证明;(2) 当DEF 绕点 D 旋转,其他条件不变,中的结论是否始终成立?若成立,请你写出真命题;若不成立请你在图2 中画出相应的图形,并给出正确的结论(不需要证明)44、如左图, Rt ABC 中, C 90 , ACBC ,一个直角三角板的直角顶点放在 AB的中点 O 处,绕 O 点旋转,两直角边分别交AC 于 E ,交 BC 于 F .(1) 求证: OE OF , CE BF(2) 如右图,将三角板继续旋转,两直角边分别交AC 延长线于 E ,交 BC 延长线于 F .中的结论是否正确?说明理由 .45、如图,线段 AB ,点 P 在 AB 的下方, 若 PA PB ,在的 AB 上方作 A AAP ,且 A AAP ,作 B B PB ,且 B BPB ,连接 A B ,取 A B 的中点 O ,连接AOB ,试判断AOB 的形状并证明。若 PA 与 PB 不相等,其他条件不变,(1)中的结论还成立吗?给出证明。46、 如图 1,等腰直角AOB 与等腰直角COD 有公共顶点 O ,点 C 、 O 、 B 在同一条直线上,判断AC 与 BD 的关系并加以证明 . 如图 2,等腰直角AOB 与等腰直角COD 有公共顶点 O ,点 C 、O 、 B 不在同一条直线上 .判断 AC与 BD 的关系并加以证明 .47、如图,AOB 与COD 中, OAOB , OCOD ,AOBCOD . AC 与 BD 交于点 P . 判断 AC 与 BD 的数量关系并加以证明. 猜想CPB 与AOB 的关系并加以证明 .48、如图,在ABC 中, BE 是 AC 边上的中线, BF 平分EBC 交 AC 于 F , APBF于 P ,分别交 BE 、 BC 于 H 、 G 。猜想 HE 与 CG 的数量关系并证明 .49、如图 1,锐角ABC 中, ABAC , CD / AB , P 为边 BC 上一点, Q 为直线 CD上一点,连接 AP 、 PQ ,使得APQBAC . 猜想线段 AP 与 PQ 的数量关系并证明; 如图 2,若将“锐角 ABC ”改为“钝角ABC ”,其他条件不变,中的结论是否正确?若正确,请你给出证明;若不正确,请你说明理由 .50、如图, ABC 中, ABAC , CD / AB , P 为边 BC 上一点, Q 为射线 CD 上一点,且满足 PQ PA 。请你在图中找出满足条件的点 Q ,并探究APQ 与 BAC 的关系 .51、如图所示, D 在 AC 上, ABC、 ADE 是等腰直角三角形, M 是 EC 中点。(1)探究:线段 MD 、MB 的关系,并加以证明;(2)把 ADE 绕点 A 逆时针旋转 135,其他条件不变,画出相应的图形,上述结论是否成立?(3)将 ADE 绕点 A 逆时针旋转任意角度后,其他条件不变,线段MD 、MB 的关系,并加以证明。52、如图( 1),已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方, BC 在直线 MN 上, E 是 BC上一点,以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形AEFG(1)连接 GD,求证: ADG ABE;(2)连接 FC,观察并猜测 FCN 的度数,并说明理由;(3)如图( 2),将图( 1)中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD, AB=a,BC=b(a、b 为常数), E 是线段 BC 上一动点(不含端GG点 B、 C),以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩形ADADA

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