高三数学总复习指导(理科)专题十三相似三角形定理与圆幂定理.docx

今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室专题十三相似三角形定理与圆幂定理本专题主要复习相似三角形的进一步认识、圆的进一步的认识通过本专题的复习，了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理【知识要点】1相似三角形概念相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三角形相似比：相似三角形对应边的比2相似三角形的判定如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两角对应相等两三角形相似)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 (简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似)3直角三角形相似的判定定理直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似4相似三角形的性质相似三角形对应角相等，对应边成比例相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形的面积比等于相似比的平方5相关结论平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半若一条直线截三角形的两边(或其延长线 )所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行6弦切角定理弦切角定义：切线与弦所夹的角弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半7圆内接四边形的性质圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角8圆幂定理相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A、B、 C、 D则有PA PB PC PD 【复习要求】1了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室直角三角形射影定理2理解 周角定理及其推 ；掌握 的切 的判定定理及性 定理；理解弦切角定理及其推 3掌握相交弦定理、割 定理、切割 定理；理解 内接四 形的性 定理与判定定理【例 分析】例 1 如 ，在 ABC 中， BAC 90， E 为 AC 中点， AD BC 于 D，DE 交 BA 的延 于 F 求 ： BF DF AB AC【分析】 欲 ABDF ， 然四条 段可分配于 ABC 和 DFB 中，由于 ABC 和 FBDACAF一个是直角三角形，一个是 角三角形，不可能由 一 三角形相似直接找到 而得 ，故需借助中 比 搭 ，易 RtBAC Rt BDA，得出ABBD ，于是只需 出ACADDFBD， 而 DFB AFD 即可AFAD 明： AB AC， AD BC， Rt ABD Rt CAD ， DAC B，ABBDACAD又 AD BC， E 为 AC 中点， DE AE， DAE ADE ， B ADE ，又 F F ， FAD FDB ， BDBF ，由得ADDFABBFACDF【 明】 由于 ABC 和 FBD 两个三角形一个是直角三角形，一个是 角三角形，明 不相似，不可能由 一 三角形相似直接找到 而得 ，且 中又没有相等的 段来代 ， 必要找 “ 渡” 的 段或 段比， 种 找“中 ” 搭 的 段或 段比是重要的解 技巧此 用到直角三角形中斜 上的高 个“双垂直”的基本 形， 里有三 相似三角形， 个 形在 相似三角形中非常重要例 2 ABC 中， A 60， BD ， CE 是两条高，求 ：DE1 BC2今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室【分析】 欲证 DE1 BC ，只须证DE1 2BC2由已知易得 AD1 ，于是只须证明DEAD ,AB2BCAB进而想到证明 ADE ABC，这可以由ADAE1 证得ABAC2证明： A 60， BD ，CE 是两条高，ABD ACE 30 AD1 AB ， AE1AC ， ADAE1 ，又 A A22ABAC2 ADE ABC， DEAD1DE1 BC .BCAB22【说明】 在判定相似三角形时，应特别注意应用“两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似”这条判定定理例 3已知：如图， ABC 中，AD BC 于 D，CE AB 于 E，AD、EC 交于 F ，求证 CDFDADBD【分析】 CD 、FD 在 FDC 中， AD 、BD 在 BDA 中，所以证 FDC 与 BDA 相似便可以得到结论证明： AD BC 于 D， CE AB 于 E， ADC ADB 90， BAD B 90， BCE B90， BAD BCE， FDC BDA ，CDFDADBD【说明】 为什么找到 FDC 与 BDA 相似呢 ?从求证的比例式出发， “竖看”，线段 CD、 AD 在 ADC 中，但线段 FD 、 BD 却不在一个三角形中；那么“横瞧” ，CD、FD 在 FDC ，AD 、BD在 BDA 中，所以证 FDC 与 BDA 相似便可以得到结论小结为“横瞧竖看分配相似三角形”例 4如图，平行四边形ABCD ， DE AB 于 E， DF BC 于 F，求证： AB DE BC DF【分析】 化求证的等积式为比例式：ABDFBC，又因为 CD AB，AD BC，即证明比例式CDDFDEADDE证明： 平行四边形ABCD ， C A，今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室 DE AB 于 E，DF BC 于 F， AED DFC 90， CFD AED， CDDFADDE CD AB， AD BC， ABDF 即 AB DE BC DF BCDE【说明】 ABDF，“横瞧竖看”都不能分配在两个三角形中，但题中有相等的线段：CDBCDECDDF AB，AD BC 所以可横瞧竖看用相等线段代换过来的比例式：AD，这个比例式中的四DE条线段可分配在两个相似三角形中例 5 AB 是 O 的直径， 点 C 在 O 上， BAC 60， P 是 OB 上一点， 过 P 作 AB 的垂线与 AC 的延长线交于点 Q，连结 OC，过点 C 作 CD OC 交 PQ 于点 D(1)求证： CDQ 是等腰三角形；(2)如果 CDQ COB ，求 BP PO 的值【分析】 证明 CDQ 是等腰三角形，只需证明DCQ Q，利用题目中已有的相似三角形和等腰三角形把这两个角的关系建立起来并可以得到各边的比例关系，不妨把圆的半径设为1，简化计算(1)证明 ：由已知得 ACB 90， ABC 30， Q30， BCO ABC 30 CD OC， DCQ BCO30， DCQ Q， CDQ 是等腰三角形(2)解：设 O 的半径为1，则 AB 2，OC 1，AC1 AB1, BC3.2等腰三角形 CDQ 与等腰三角形COB 全等， CQ BC 3 AQACCQ13 ， AP1 AQ13 ,22 BPABAP2133322PO13131AP AO22， BP : PO3 【说明】 利用好相似三角形对应角相等的条件，进行角的转化是解题中常用的技巧例 6 ABC 内接于圆 O， BAC 的平分线交 O 于 D 点，交 O 的切线 BE 于 F ，连结 BD ，今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室CD求证： (1)BD 平分 CBE； (2)ABBF AF DC 【分析】 可根据同弧所对的圆周角及弦切角的关系推出由条件及(1) 的结论，可知 BD CD ，因此欲求 AB BF AF DC ，可求 ABBD ，因此只须求 ABF BDF 即可AFBF证明： (1) CAD BAD FBD ， CAD CBD ， CBD FBD ， BD 平分 CBE(2)在 DBF 与 BAF 中， FBD FAB， F F， ABF BDF ，ABBD， AB BF BD AFAF又 BD CD ， AB BF CD AF例 7 O 以等腰三角形 ABC 一腰 AB 为直径，它交另一腰 2DEBFAC 于 E，交 BC 于 D求证： BC【分析】 由等腰三角形的性质可得B C，由圆内接四边形性质可得B DEC，所以 C DEC，所以 DE CD，连结 AD，可得 AD BC，利用等腰三角形“三线合一”性质得BC 2CD ，即 BC 2DE证明： 连结 ADAB 是 O 直径AD BC ABAC BC 2CD， B C O 内接四边形ABDE B DEC (四点共圆的一个内角等于对角的外角) C DEC DE DC BC 2DE例 8 O 内两弦 AB，CD 的延长线相交于圆外一点 E，由 E 引 AD 的平行线与直线 BC 交于F，作切线 FG ， G 为切点，求证： EF FG今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室【分析】 由于 FG 切圆 O 于 G，则有 FG2 FB FC ，因此，只要证明FE 2 FB FC 成立即可证明： 在 BFE 与 EFC 中有 BEF A C，又 BFE EFC ， BFE EFC， FEFC ， FE 2 FB FCFBFE又 FG 2 FB FC， FE2 FG2， FE FG 习题 13一、选择题1在 ABC 中， A B C 12 3， CDAB 于 D ，AB a，则 DB （）aB aaD3aA C24432如图，AD 是 ABC 高线，DE AB 于 E，DF AC 于 F ，则 (1)AD2 BD CD (2)AD 2 AEAB(3)AD 2 AF AC(4)AD2 AC2 AC CF 中正确的有 ()A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个3如图， AB 是 O 的直径， C，D 是半圆的三等分点，则C E D ()A 135B 110C 145D 1204如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D ，连结 AD ，那么 ()A BAD CAD 90C BAD CADB BAD CADD BAD CAD今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室二、填空题5在 RtABC 中， BAC 90，AD BC 于 D，AB 2，DB 1，则 DC _，AD _6在 RtABC 中， AD 为斜边上的高，S ABC4S ABD ，则 AB BC _7如图， AB 是半圆 O 的直径，点C 在半圆上， CD AB 于点 D ，且 AD 3DB ，设 COD ，则 tan2 _28如图， AB 是 O 的直径， CB 切 O 与 B， CD 切 O 与 D，交 BA 的延长线于 E若 AB3， ED 2，则 BC 的长为 _ 三、解答题9如图，在梯形ABCD 中， AB CD， O 为内切圆， E 为切点，( )求 AOD 的度数；( )若 AO 8 cm， DO 6 cm，求 OE 的长10如图，在 ABC 中， C 90， AD 是 BAC 的平分线， O 是 AB 上一点，以 OA 为半径的 O 经过点 D今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室(1)求证： BC 是 O 切线；(2)若 BD 5，DC 3，求 AC 的长11如图， AB 是 O 的直径， CD 是 O 的一条弦，且CD AB 于 E，连结 AC、 OC、BC (1)求证： ACO BCD ；(2)若 BE 2，CD 8，求 AB 和 AC 的长专题十三相似三角形定理与圆幂定理参考答案习题 13一、选择题：1 A2C3D4 C二、填空题5 3, 3 6 12718 33三、解答题9 ( ) AB CD ， BAD ADC 180 . O 内切于梯形ABCD ，12又 DO 平分 ADC ，有 ADO 1 ADC2 DAO ADO 1 ( BAD ADC ) 90， AOD 180 ( DAO ADO )290今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室( )在 Rt AOD 中， AO 8cm， DO 6cm，由勾股定理，得AO2DO 210cm.E 为切点， OEAD 有 AEO 90， AEO AOD 又 CAD 为公共角，AEO AOD OEAO , OEAO OD4.8cm .ODADAD10 (1)连接 OD OAOD ， AD 平分 BAC， ODA OAD， OAD CAD ODA CAD OD AC ODB C 90 BC 是 O 的切线(2)过 D 作 DE AB 于 E AED C 90又 AD AD ， EAD CAD ， AED ACD AE AC， DE DC 3在 Rt BED 中， BED 90，由勾股定理，得BEBD 2DE 24 ，设 AC x(x0) ，则 AE x在 Rt ABC 中， C 90， BC BD DC 8，ABx 4，由勾股定理，得x2 82 (x 4)2解得 x 6即 AC 611 (1) 连结 BD ， AB 是 O 的直径， CD AB， 1 2又 OAOC， 1 A 1 2即： ACO BCD (2) 由(1) 问可知， A 2， AEC CEB ACE CBE CEAE CE2BE AEBECE又 CD 8， CE DE 4 AE 8 AB 10 ACAE2CE2804 5.今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室