求多元函数极限的方法.doc

.求多元函数极限的方法【摘要】对于大部分学生,尤其是初接触高等数学的同学而言,极限是一道很难过的关,因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。而对于高等数学来讲,极限又是相当重要的基础,不管是函数连续性的验证,亦或是单侧导数的求解,极限都是很重要的一个环节,它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。【1】【关键词】多元函数；求极限多种方法；求极限常出现的错误【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法，例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。这些方法虽然简便易于理解和掌握，但对于一些特殊的极限题目很难解决，例如：设，求的问题题目尽给出了第项和第+1项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些用常见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。【2】本文将从多个方面,通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。1 利用极限定义的思想观察函数的极限例1、讨论当时函数=的极限。我们列出了当时某些函数值，考察函数的变化趋势，如下表所示。0.4930.4960.4980.4990.5010.5020.5030.5050.7570.7540.7520.7510.7490.7480.7450.745从列表可以看出，当趋向于时，就趋向于0.7，即时，=的极限是0.75。2、利用四则运算法则求极限例2（1）求（2）解（2）=3、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限例3求精品.解因为=0，且即有界，所以=04、利用两个重要极限求极限例4 求解=1（因为时）。令则当时所以=也可以直接计算=5、利用初等函数的连续性求极限例5求解：点是初等函数的一个定义区间内的点，所以6、利用等价无穷小代换求极限例6 求解：当时， 所以7、利用罗比达法则求极限例7 求解：=8、利用左、右极限来确定分段函数在分界点处的极限精品.求，解：因为=1所以不存在因为1利用极限的定义来验证极限的存在极限定义并未给出求极限的具体方法,但却可以验证极限的存在,而且它是研究理论问题的基本方法,用极限定义验证极限存在,一般需经过变形放大,由或去寻找满足条件的充分大的正整数 N或充分小的正数或充分充分的正数 X。比如:证明证明对，要使，只要因为，不妨设，此时，从而，因此，,于是取，从而，当时，总有，从而2利用化简来求极限(分子有理化、分母有理化、分解、恒等变形)比如 求此题要用到两个知识点将分子有理化分母分解因式解：=3利用极限运算法则和无穷小的性质求极限精品.比如 求本题是“-”型的极限,先对分子有理化,可转化为型将分子分母同时除以 x的最高次幂变形后求解。解=在无穷小量的诸多性质中,常用无穷小乘以有界变量仍为无穷小及用等价无穷小代换来求极限。比如 求解 注意到且所以由无穷小的性质得又比如求解 当时，所以=4.2重要极限2，特征:“1 ”型;底数中要转化为有“1”的形式; “1”的后面的变量与幂指数互为倒数。比如 求解=5利用极限存在准则(夹逼定理、单调有界原理)来求极限5.1利用夹逼定理求极限比如 求精品.解 因为，=1，2，3，从而而，所以5.2利用“单调有界数列必有极限”定理求极限特点:能出现关系式;可转化为关系式解题方法 :一是利用数学归纳法证有界,二是证单调。比如 设试证数列极限存在，并求此极限。显然，假设因由数学归纳法知对,0<<2,又 有界, 0<<2,即有界,又,则 > ,所以单调增加。因此存在。不妨设=，由得，从而=2即6利用洛必达法则求极限用洛必达法则时要注意:要注意洛必达法法则条件,有时要用多次洛必达法则,无限次循环型号不能用洛必达法则,如,每次用洛必达法则前,要先化简,x0(或x)时,极限中含有sin,cos (或sinx,cox)不能用洛必达法则。“0g”,“-”,“1 ”,“”,“”,“”型未定式,通过变形、通分、有理化分子、取对数等方式转化为“”或“”未定式极限后再用洛必达法则。比如求精品.解7利用连续性求极限比如 求解注意到在x=1处连续,所以=8利用函数极限存在的充要条件求极限主要用来解决在求分段函数在分段点处的极限或某些特殊函数在一些点处的极限时,可用此方法。如求解，所以不存在。9利用导数求极限 比如设求解=10利用泰勒公式求极限特点“”型;或或用洛必达法则较复杂或根本不可能用。解题的关键是展开到含项,或相互抵消后的后一项。比如求精品.解=11利用定积分和积分中值定理求极限比如设=，求解因为所以=12利用函数极限与数列极限关系求极限比如求解=13利用级数收敛的必要条件求极限比如 求,考察级数,而<1由正项级数比值判别法知收敛,再由级数收敛的必要条件知=014利用幂级数的和函数求极限比如 求由于精品.当时，=因此=以上是求极限常用的一些方法,在求极限的过程中,先要用观察极限属于什么类型,才能去采取相应的方法。同学们在求二元函数极限时，常出现错误。我们将其归纳为一下三种，今写于此，以供参考。第一种错误是把沿在平面上过点的射线方向，代替沿任何方向趋向于，求例1求在同学们的解题过程中常出现的错误做法是令于是有当时，由夹逼定理即得=0欲指出此种解法的错误，只需注意二元函数极限的定义：设函数在平面的某一个点集D上有定义，是D的一个据点（不一定属于D），A为一定数，如果对于任意给定的正数，总存在相应的正数，使得定义域D上满足不等式的一切点，能都恒有不等式成立，则称定数A为函数当时的极限，记为=A由极限的定义可以看出，若=A则必须是动点沿定义域内的任何曲线趋向于聚点时，都得有不等式成立。而在例1的解法中，即便是取遍了02之间的所有值，都有不等式成立，这也只能说明动点沿过原点的直线族精品.趋向于点（0，0）时，都有。本题的正确解法是，由有可见，动点不论沿平面上任何曲线趋于点（0，0）是，对于任意给定的正数，只要取时，就能使当时，永远有成立。这即得证=0例2求若仿照例1中所有用过的错误解法，有，且不难讨论不论上式右端为任何值，只要时，就有=0但实际上是不存在的，这只要取动点沿曲线趋向于点（0，0）时则有由于不同的值对应着不同的极限值，即得证是不存在的。例3求本题的正确解法，是由所以有精品.由夹逼定理便有而此题如果用例1所提出过的错误做法虽然也有并由此得出其结果虽然也是对的，但其理论根据却是错误的。第二种错误是引用了“有限个无穷大之和仍为无穷大”的错误结论。例4这种解法很明显是错误的，因为但并不一定是无穷大，这道理虽然很明显，但在做题时却常被疏忽而导致得出错误的结论。事实上，本例所给的极限是不存在的，这只有注意，若动点沿直线趋向于点（0，0）时，原式均无意义就行了，就是避开这条使函数无意义的直线也就不行的，这只要取动点沿曲线趋向于点（0，0）时，就有=，可以取关于零的任何值。即得是不存在。第三种错误是由于忽视开方时应去算数跟，而造成的错误。=0此题的解法是错误的，因为将分子及分母同除，它的恒等变形详细过程如下：=这个恒等变形只有>0时成立，而当<0时精品.本例的正确解法应该是由有可见不论动点沿什么曲线，趋向于点（0，0）时，总有此不等式成立。由夹逼定理知=0忽视算数跟所造成的错误，在求一元函数极限时也常发生。例9例10这两个例子的错误均是由于忽视了例9的正确解法是可见当时当时所以是不存在的。例10的正确解法是可见时时所以是不存在的。【1】王伟珠.常用求极限方法浅析【J】中国科教创新导刊，2007（23）精品.【2】姜伟.对求极限方法的探究【J】中国科教创新导刊2008（28）如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！精品