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专升本资料 8-作者 : _-日期 : _四川省普通高等学校“专升本”选拔高等数学考试大纲（理工类）总体要求考生应理解或了解高等数学中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及线性代数的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。考试用时： 120 分钟考试范围及要求一 函数、极限和连续二 一元函数微分学三 一元函数积分学四 向量代数与空间解析几何五 多元函数微积分学六 无穷级数七 微分方程八 线性代数（一）行列式1. 理解行列式的概念，掌握 行列式的性质 。（1）行列式的概念 二阶行列式：a11a12a11a22a12a21a21a22a11a12a13 三阶行列式：D 3a21a22a23 ，a31a23a33a11a12a1na21a22a2 n n 阶行列式： Dnan1an 2annn 阶行列式的值的特点：（ 1）一共是有 n! 项的代数和；（ 2）每一项都是 n 个元素的乘积，它们来自于不同的行、不同的列。（3）这 n! 项中有一半是正项，另一半是负项。（2）行列式的性质变换性质 转置变换： D TDD T 为 D 的转置行列式。 交换变换： D1D ， D1 为 D 互换两行（列）后所得。rir j ， cic j 倍乘变换： D1k D ， D1 为 D 的某行（列）元素都乘以k 后所得。 k ri ， k ci 倍乘变换： D1D ， D1 为 D 的某行（列）乘以k 加到另外的行（列）后所得。r jk ri ， cjk ci零值性质 如果行列式的某行（列）的元素全为零，则此行列式的值为零 如果行列式的某两行（列）的元素相同，则此行列式的值为零 如果行列式的某两行（列）对应元素成比例，则此行列式的值为零2.会用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。（1）行列式的余子式和代数余子式余子式 M i j ：划去 ai j 所在的第 i 行和第 j 列的全部元素后剩下的元素组成的 n 1阶行列式。代数余子式： Ai j( 1)i j M i j（2）阶行列式按行（列）的展开nnD nai 1 Ai1ai 2 Ai 2ain Ainai k Ai 1ai k ( 1) i k M i k 或k1k 1nnD na1 j Ai1 ja2 j A 2 janj An jak j Ak jak j ( 1)k j M j kk 1k 1（3） 行列式的计算方法 先利用行列式的性质使行列式的某一行（列）的元素尽可能多的化为零，再按该行（列）展开。 可将行列式化为特殊行列式后计算特别是化为三角形行列式。例 1计算下列的行列式25122310a b b b3 71 44211b a b b9； 2121； 52 7b b a b46120110b b b a（二）矩阵1. 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质。（1）矩阵的定义a11a12a1 n由 mn 个数 aij (i1,2, , m; j 1,2, n) 排成的 m 行 n 列的数表a 21a22a 2 n 叫a m1a m 2a mn矩阵；记为 Am n ，或 A(aij ) m n 当 mn 时，矩阵 A 称为 n 阶方阵 . 记作 An 当 m1时，矩阵 A 称为行矩阵 ( 或行向量 ) . 记为 A(aij )1 n =a1 , a2 ,ana1当 n1时，矩阵 A 称为列矩阵 ( 或列向量 ) . 记为 A=a2或A (aij ) m 1 .an（2）特殊矩阵零矩阵： 矩阵的元素都为 0 时。单位矩阵： 主对角线都为 1的对角矩阵。记为En 或 E .对角矩阵 ( 或对角阵）：在 n 阶方阵中 ,主对角线以外的元素都为零的矩阵。上三角矩阵：在 n 阶方阵中 ,主对角线以下的元素都为零。下三角矩阵：在 n 阶方阵中 ,主对角线以上的元素都为零。对称矩阵： ai ja j i或 ATA反对称矩阵： ai ja j i或 ATA2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵乘积的行列式及它们的运算规律。（1）矩阵的线性运算设 A ( aij ) m n ， B (bij ) m n矩阵的和： AB( aijbij) m n矩阵的差： AB(aijbij)m n数乘矩阵 ： kA(kaij ) m n（2）矩阵的乘法 定义设 A (ai j ) m k ， B(bij ) k n, 令 C(ci j ) m n 是由下面 mn 个元素b1 jci j (ai 1 , ai 2 , , ai k )b2 jai 1b1 jai 2b2 jai k bk jbk j构成的 m 行 n 列的矩阵。 称矩阵 C(cij )m n 为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积。 记为： C AB 运算律（ a）结合律： ( AB )C A(BC )（b）分配律： ( AB)C AC BC ， A ( BC )ACABC（c）01 律： AE nEn A A ， AOn On A O（d）不具备交换律：ABBA ，（e）两非 0 矩阵的乘积可能是0 矩阵。即 AB0不能推出： A0 或 B0 。 矩阵的乘方设 A 为 n 阶方阵，称矩阵 A 自乘 m 次称为矩阵 A 的 m 次方。A0E ， A1A ， A2AAAmAAA （ m 个 A ）Ak AlAk l ，( Ak )lAk l ，（3）矩阵的转置定义：把 A 的行、列交换所得得的矩阵叫做矩阵A 的转置矩阵。记为AT 。转置矩阵的性质： ( AT ) TA( A B) TATBT(kA)TkAT( AB )TBT AT（4）方阵的行列式定义：由 n 阶方阵 A 的元素按原来顺序构成的行列式称为方阵 A 的行列式。记为 | A |或det( A) 。矩阵行式的性质 | AT | | A | ； | kA |k n | A | ； | AB | | BA | | A | | B |10110例 1 已知： A 210 ， B31； 求 AB 。321023. 理解逆矩阵的概念，掌握矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴伴随矩阵求矩阵的逆矩阵。（1）逆矩阵的定义设 A 是 n 阶方阵，如果存在一个 n 阶方阵 B , 使得 ABBAE ；则称矩阵 A 是可逆的，称矩阵 B 是矩阵 A 的逆矩阵 。 A 的逆矩阵记为 A 1 ，即 BA 1 （2）逆矩阵的性质方阵 A 可逆A 的逆矩阵是唯一的。且 AA 1A 1 AE A 可逆A 1 也可逆。且 ( A 1 ) 1A A 可逆 , 数0A 可逆且 ( A) 1 1A 1 A 可逆AT也可逆，且 ( AT ) 1( A 1 ) T A 可逆 , 则有 | A 1 | | A | 1 A、 B 为同阶方阵且均可逆AB 可逆且 ( AB ) 1B 1 A 1 ( A A2A ) 1A1A1 A 11mm21（3）矩阵可逆性质的判别A 可逆| A | 0（4）求矩阵的逆矩阵的公式 伴随矩阵：n 阶方阵 A 的行列式 | A |的各个元素的代数余子式Aij 构成矩阵A11A21A1 nA12A22A2 nA*称为矩阵 A 的伴随矩阵A1nA2 nAnn 求矩阵的逆矩阵的公式若矩阵 A 可逆，则 A1A( A* 为 A 的伴随矩阵 ) | A |123例 1 判断 A. 321是否可逆，如果可逆，求逆矩阵1014. 掌握矩阵的 初等变换 ，了解矩阵秩的概念，掌握 用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。（1）矩阵的初等变换定义：矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行（列）变换。 对换变换： 互换矩阵的 i、 j 两行（列）。rir j （ cic j ） 倍乘变换： 把 i 行（列）的各元素都乘以非零k 常数。rik（ cik ） 倍加变换： 把 j 行（列）的若干倍，加到i 行（列）上。rikr j （ cikc j ）矩阵 A 经过有限次初等行变换转化为矩阵B ，则称矩阵 A 与矩阵 B 等价，记为 A B .（2）矩阵的秩 矩阵的 k 阶子式在一个 mn 的矩阵 A 中任意取 k 行和 k 列，位于这些行与列相交位置上的元素所构成的一个 k 阶行列式称为矩阵A 的 k 阶子式。矩阵 Am n 的 k 阶子式共有 Cmk ? C nk 个。 矩阵的秩的定义在 mn 的矩阵 A 中，一切非零子式的最高阶数r 称为矩阵 A 的秩。也就是说，若矩阵A中至少有一个r 阶子式不等于零，而所有的r+1 阶子式（如果有的话）都等于零，则称矩阵A的秩为 r, 记为 R( A)r .注意：R( A)min( m,n) 。零矩阵的秩为零；非零矩阵的秩一定不为零。（3）矩阵的秩的求法阶梯形矩阵及其秩矩阵 A 若满足：（ 1）零行（元素全为0 的行）在矩阵的最下方；（2）各非零行的第 1个非零元素的列标随着行标的递增而严格增大。满足这样的条件的矩阵称为阶梯形矩阵 。阶梯形矩阵的秩为：非全零行的行数。2103203125如矩阵004有三个非全零行，则它的秩为 3。0300000矩阵的初等变换不改变矩阵的秩方法：先用初等变换将矩阵变为与它等价的阶梯形矩阵，再观察非全零行的行数，其行数即为矩阵的秩。（3）逆矩阵的求法： ( A , En )(En , A 1 )将矩阵 ( A , En ) 经过一系列的初等变换，将前面的部分变成为单位矩阵后，其后面的部份就变成了 A 的逆矩阵。113例： 求矩阵 A214的逆矩阵。124（三）向量1. 理解 n 维向量的概念，向量的线性组合与线性表示。（1）n 维向量的定义n 个数 a1, a2 , an 组成的有序数组(a1 , a2 ,an ) 称为 n 维向量 。数 ai 称为 n 维向量的第 i 个分量 。向量中的个数称为向量的维数。向量一般用小写黑体的希腊字母,表示。行向量：把向量写成一行；可看成一行 n 列的矩阵。列向量：把向量写成一列；可看成 n 行一列的矩阵。（2）n 维向量的运算两向量相等 ：两向量的各分量对应相等。向量的加法 ：两向量的各分量对应相加。向量的减法 ：两向量的各分量对应相减。数乘向量 ： 将数 k 乘以向量的各分量。例设( 2 , 1 , 3) ，( 2 , 3 , 6 ) ，(2 ,1 , 4) ，求向量 23。（3）n 维向量的线性组合给定向量组A : 1,2 ,，对于任何一组实数，k2，mk1, k m 则称k11k22km m为向量组的一个 线性组合 。 实数 k1， k2， , km 称为组合系数。（4） 向量的线性表示一个向量由向量组线性表示给定向量组1,2 ,m ，如果存在一组数 x1， x2， , xm 使x11x2 2 xm m则称是向量组1,2 ,m 的一个线性组合 。也称向是可由向量组 1 , 2 , m 线性表示。 x1， x2， , xm 称为表出系数 （组合系数）n 维标准单位向量组：i (0 , 0 , 1 , 0 , , 0 ) ，（ i 1, 2 , , n)任何一个向量 n 维向量(a1, a2 , , an ) 都可以唯一地由标准单位向量组线性表示。 线性组合的矩阵方式表示x1 1x2 2xm m （ 1 , 2 , , m（) x1 , x2 , , xm ) TAX ，其中 A （ 1 , 2 , m ) ， X （ x1 , x2 , , xm )T 表示系数的求法求表出系数 x1， x2， , xm 就是求解线性方程组：AX。若线性方程组 AX有唯一解，则表示法是唯一的。若线性方程组 AX有无穷多个解，则表示法不是唯一的。若线性方程组AX无解，则不能由向量组1 ,2 ,m 线性表示。例问(1, 1 , 5 ) T 能否表示成1(1 , 2 , 3)T，2(0 , 1, 4 )T ，3( 2 , 3 , 6 )T的线性组合。2. 理解向量组线性相关或线性无关的定义，掌握判别向量组线性相关的方法。（1）向量组线性相关性的概念 向量组线性相关、线性无关的定义：给定向量组1,2 , ,m ，如果存在不全为零的数k1， k2， , km 使k11k 22km m0则称向量组 1 , 2 ,m 是线性相关 的， k1 , k2 , , km 称为相关系数。否则称它 线性无关 。 向量组线性相关性的判别结论 1：含有零向量的向量组一定线性相关。结论 2：单个非零向量一定线性无关。结论 3：两个非零向量线线相关两向量的分量对应成比例。结论 4： 1 ,2 ,m 线性相关至少存在某个向量i 能由其余向量线性表出。结论 5： 1 ,2 ,m 线性无关任意一个向量都不能由其余向量线性表出。结论 6： 1 ,2 ,m 线性无关，添加一个向量后 1 ,2 , , m , 线性相关一定可由向量组1 ,2 ,m 线性表出，且表示法唯一。结论 7：1 ,2 ,m 线性相关添加向量后的向量组也一定线性相关。简说：部份相关则整体相关。结论 7：设有两个向量组，它们的前n 个分量对应相同i(ai1 ,ai 2 , , ain ) ， i(ai 1 , ai 2 ,ai n , ai n 1 , , ai n p ) ， (i 1 , 2 , , m)1 ,2 , m 线性无关1 , 2 ,m 线性无关1 ,2 ,m 线性相关1 , 2 ,m 线性相关简说：无关组接长后仍无关。相关组截短后仍相关。（2）向量组线性相关的判别方法。设向量 1 , 2 ,m 组，如何判别其线性相关性呢？i ( ai 1 , ai 2 , , ain )T ， (i1 , 2 , m) ，令 A （ 1 , 2 , m ) ， X （ x1 , x2 , xm ) T ，1 , 2 , , m 线性相关存在不全为零的 k1 , k2 , km 使 k1 1k2 2km m0a11x1a12 x2a1n xm0m 个变元的齐次方程组a21 x1a22 x2a2m xm0有非零解。an1x1an 2 x2anm xm0AX0 是否有非零解。R( A)m例 1判别向量组1(1,1,1) ， 2(1, 1, 0) ， 3 (1, 0, 0) 的线性相关性。例 2判别向量组1(1 , 2 , 3) ， 2( 1,1, 4) ， 3(3 , 3 , 2) ， 4(4, 5 , 5 ) 的线性相关性。结论 1： n 个 n 维向量组1 ,2 , n 线性无关A( 1 ,2 ,n )0结论 2：当向量组中的向量个数m 大于其维数 n 时 向量组1 ,2 ,m 一定线性相关。3. 了解有关向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大无关组和秩。（1）向量组的极大线性无关组 定义设向量组 T 由若干个 n 维向量构成，若存在 T 的一个部分向量组1 ,2 ,r 满足以： （1） 1 ,2, r线性无关；（ 2）对于任意向量T ，向量组,1 ,2 , r 线性相关。则称 1,2 ,r 是向量组 T 的一个极大无关组 。 向量组的极大无关组的性质：一个向量组的任意两个极大无关组所含有的向量个数相同。（2） 向量组的秩 定义 向量组 T 的任意一个极大无关组中所含向量的个数叫做T 的秩。记为： R(T ) 向量组的秩的性质、结论若向量 S 可以由向量组 T 线性表出，则 R(S)R(T ) 。（3） 向量组的秩、极大无关组的求法 向量组的秩的求法设向量组1,2,m 是 m 个 n 维列向量 ，现构成一个 nm 矩阵A( 1, 2 ,m ) ，则有 R( 1 , 2 , m ) R( A)设向量组1,2,m 是 m 个 n维行向量，现构成一个 nm 矩阵B( 1T , 2T ,m T ) ，则有 R( 1T ,2T , , mT ) R(B)把求向量组的秩的问题转化为求矩阵的秩的问题。 向量组的极大无关组的求法第一步：将向量组构成一个矩阵设 S1 ,2 ,m为 n 维列向量组，现构成nm 矩阵 A(1 ,2 ,m )第二步：用初等行变换将其变为阶梯形矩阵A( 1 ,2 ,m )( 1 ,2 ,m )B第三步：考察 n 维列向量组 T1 ,2 ,m，由于行初等变换不改变矩阵的列秩，向量组 T1 ,2 ,m中的极大无关组就对应S1 ,2 ,m中的极大无关组。注：只用行初等变换，仅求列向量中的极大无关组。例 1 求出下列向量的一个极大 性无关 。11111124321， 2， 3， 4， 51397514161310例 2 求出下行向量的一个极大 性无关 。1(1 , 1 , 2 , 7) ， 2( 1 , 2 , 2 , 9) ， 3( 1 , 1 , 6 , 6) ，4(2 , 4 , 4 , 3) ， 5(2 , 1 , 4 , 3) ，（四）线性方程组1. 掌握克莱姆法则 。克莱姆法 ： 含有 n 个未知数 x1 , x2 ,., xn 的 n 个方程 成的 n 元 性方程 :a11 x1a12 x2a1 n xnb1a21 x1a22 x2a2n x2b2an1 x1 an 2 x2ann xnbna11a1n如果 性方程 的系数行列式 D 不等于零，即 D0an1ann 方程 (1.7)有且 有唯一解：x1D1 ， x2D 2 ， ， xnD nDDD其中 D j j 1,2,., n 是把系数行列式 D 中的第 j 列的元素用方程 右端的常数代替后所得a11a1, j 1b1a1, j 1a1na21a2 , j 1b2a2, j 1a2n到的 行列式 作 D jan1an , j 1bnan, j 1ann当常数 全 零 ，方程 称 n 元 次 性方程 。a11 x1a12 x2a1n xn0a21 x1a22 x2a2 n xn0an1 x1an2 x2ann xn 0齐次线性方程组的系数行列式D0齐次方程组只有零解。齐次线性方程组的系数行列式D0齐次方程组有非零解。x1x22x453x12x2x32x46例 1 用克拉默法则解线性方程组3x2x3x404x12x1x302. 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。a11 x1a12 x2a1n xnb1设 m 个方程组 n 个未知数的齐次线性方程组a21 x1a22 x2a2 n xnb2am1 x1am 2 x2amn xnbma11a12a1na11a12a1nb1a21a22a2na21a22a2nb2AAam1am 2amn ，am1am2amn bmx1b1x2b2Xbxm，bm，（ 1）齐次线性方程组R( A)n 时齐次线性方程组AX0 只有唯一零解；R( A)n 时齐次线性方程组AX0 有无穷多组非零解。（ 2）齐次线性方程组R( A)R( A)AXb 有解。( )( n ，则线性方程组 AXb 有唯一一组解 . 若 R AR A)( )( n ，则次线性方程组 AXb 有无穷多组解 . 若 R AR A)当 AXb 有无穷多解时，其一般解中自由未知量的个数为 n r . 若 R( A)，则非齐次线性方程组 AX b 无解R( A)3. 了解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念。（）齐次线性方程组的解向量a11 x1a12 x2a1n xn0设有齐次线性方程组a21 x1a22 x2a2n xn0am1 x1am 2 x2amn xn0a11a12a1nx1记 Aa21a22a2 n ， xx2am1am2amnxn则上述方程组可写成向量方程Ax 0.若 x111, x221 , xnn1 为方程 Ax0 的解，11则 x121为方程 Ax0 的解向量，它也就是向量方程Ax 0 的解n1（2）齐次线性方程组的基础解系如果（ 1）1 ,2 ,t 是Ax0 的一组线性无关的解，（2）Ax0 的任意一个解都可以由1,2 , t 线性表示；则称1 ,2 , t 为齐次方程组Ax0 的基础系 。（3）齐次线性方程组的 基础解系 的确定定理：设A 是 mn 矩阵，r ( A)r ，则 Ax Ax0的基础系中解向量的个数为：nr ；0的任意 nr 个线性无关的解向量都是基础解系。 Ax0只有零解r ( A)nAx0 没有基础解系； Ax0有非零解r ( A)nAx0 有无穷多个基础解系。Ax0 的基础系 : (1)必须是 Ax0 的解， (2) 必须是线性无关向量组，(3) 必须有 nr 个向量。（4）齐次线性方程组的解的结构如果 1 , 2 , , n r 为齐次方程组 Ax0 的一个基础系，那么 Ax 0 的通解可表示为： x k1 1k2 2kn r n r ，其中 k1 , k2 , k n r 是任意常数。4. 了解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。（）解向量的概念a11 x1a12 x2a1n xnb1a21 x1a22 x2a2n xnb2设有非 齐次线性方程组am1 x1am 2 x2amn xnbma11a12a1nx1b记 Aa21a22a2 n ， xx2 ， bb2am1am2amnxnbm简写成向量方程 Axb.称 A 为方程组 Ax( A, b)b的系数矩阵； x 为 n 维未知列向量 ； b 为 m 维常数向量 ； A为方程组 Axb 的增广矩阵；满足 Ab 的 n 维列向量称为 Axb 的解向量，简称为 解 。（2）非齐次线性方程组的解的结构 非齐次线性方程组解的性质性质 1： 设 1 ，2 都是非齐次方程组 Axb 的解，则12 是对应齐次方程组 Ax0 的解。性质 2：设 是非齐次方程组 Axb 的解， 是对应对应齐次方程组 Ax0 的解，则必是非齐次方程组 Ax b 的解。 非齐次线性方程组解的结构设 A 是 mn 矩阵，且 r ( A,b)r ( A) r ， * 是非齐次方程组 Axb 的一个解，1 ,2nr是对应齐次方程组 Ax0 的基础解系。则非齐次方程组Axb 的通解为：x*k11k2 2kn r n r ；其中 k1 , k2 , , k n r 是任意常数。5. 掌握用矩阵的行初等变换求线性方程组通解的方法。（1）齐次线