9.2多边形的内角和与外角和.ppt

,第九章 多边形,9.2 多边形的内角和与外角和,回顾并思考,1、什么叫做三角形？,三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。,2、什么叫四边形?五边形?六边形?n边形呢？,四边形ABCD,五边形ABCDE,六边形ABCDEF,一般地,由n条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形,又称为多边形。,你能说一说下面所指的是多边形的什么？,猜一猜,边,内角,顶点,如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形。,如：正四边形（正方形）、正五边形等。,1、什么叫做正三角形？,回顾并思考,三条边都相等的三角形叫正三角形(等边三角形)。,2、什么叫做正多边形？,正四边形ABCD (正方形ABCD),正五边形ABCDE,我们现在研究的是如图8.3.1所示的多边形，是凸多边形； 如图8.3.2所示的多边形，是凹多边形，但不在现在研究的范围中。今后如果不说明，我们讲的多边形都是凸多边形。,图 8.3.2,比 一 比,画出连结下面四点的所有线段：,连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。,做 一 做,A,B,C,D,n边形从一个顶点出发可引出几条对角线？,问题一,（1）四边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？,（2）五边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？,（3）六边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？,n边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？,（1）四边形从一个顶点出发，能引出1条对角线？,（2）五边形从一个顶点出发，能引出2条对角线？,（3）六边形从一个顶点出发，能引出3条对角线？,n边形从一个顶点出发，能引出(n-3)条对角线？,问题一,n边形一共可以引出几条对角线？,n边形一共可以引出几条对角线？,（2）五边形一共可以引出几条对角线？,（3）六边形一共可以引出几条对角线？,（1）四边形一共可以引出几条对角线？,（1）四边形一共可以引出2条对角线？,（2）五边形一共可以引出5条对角线？,（3）六边形一共可以引出9条对角线？,n边形的内角和是多少呢?,问题二,多边形的边数,分成的三角形个数,多边形的内角和,4,5,6,n,7,2,3,4,n-2,5,2180,3180,360,4180,5180,(n-2)180,540,720,900,n边形的内角和是(n-2) 180,问题二,你能用其他的方法分割多边形吗？并推导出多边形的内角和公式？（以六边形为例）,5180,n边形被分割出 个三角形,(n-1),六边形被分割出5个三角形,-180,=720,(n-1) 180- 180 =(n-2) 180,6180,六边形被分割出6个三角形,-360,=720,n边形被分割出 个三角形,n,n180- 360 = n180- 2180 =(n-2)180,你能从多边形外部找一点分割多边形吗？试一试。,多边形的内角和(n-2) 180.,小结：,通过分割成三角形，转化为利用三角形内角和求出。,1800,3600,5400,7200,9000,1、八边形的内角和的度数为_,2、已知一个多边形的内角和是2340， 则这个多边形是_边形,做一做,1080o,十五,例2,已知多边形的每一内角为,150，求这个多边形的边数.,解,设这个多边形的边数为n， 根据题意，得,（n2）1800 =1500 n,解这个方程，得n= 12,经检验，符合题意,答：这个多边形的边数为12.,已知ABC中，A40,剪去A后成四边形，则1+2_,A,B,C,D,E,1,2,练习,解： A+B+C=_( ),A=40( ),B+C=_,又B+ C+ 1+ 2=_, 1+2_,180,三角形的内角和等于180,已知,140,360,220,1、n边形从一个顶点所画对角线的条数是 ； 2、n边形内角和 = ； 3、九边形的内角和是_ 4、已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点所画的对角线的条数的2倍，则此多边形的边数为 ； 5、一个多边形的边数增加1，则内角和增加的度数是( ) A.60 B.90 C.180 D.360,C,课 堂 测 试,6,n3,（n2） 180,1260,第九章 多边形,9.2 多边形的内角和与外角和,一、课前复习，新课准备,1、在平面内，由若干条不在同一直线上的线段 组成的封闭图形叫做多边形。多边形有凸多边形和凹多边形之分，我们通常研究 多边形。,顶点,边,内角,对角线,2、n边形( n3 ) 有 个顶点， 条边， 个内角，从一个顶点可以引出 条对角线，共有 条对角线。 N边形的内角和,n,n,n,首尾顺次相连,凸,3、正n边形的每条边 ，每个内角 。,相等,相等,（n2） 180,内角,外角,多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。,问题三,1、什么叫做三角形的外角？,三角形内角的一边与另一边反向延长线所组成的角叫做三角形的外角,2、什么叫做多边形的外角？,3、n边形有几个内角？几个外角?,n边形有n个内角， 2n个外角。,从与三角形的每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和。,从与多边形的每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和。,问题三,4、什么叫三角形的外角和？,5、什么叫多边形的外角和？,6、多边形的外角和是多少呢?,任意多边形的外角和都为360度。,多边形的外角和与边数无关。,问题三,例.正五边形的每一个外角等于_.每一个内角等于 _,72,144,例.如果一个正多边形的一个内角等于150,则这个 多边形的边数是_,A.12 B.9 C. 8 D.7,A,如果一个多边形的每一个外角等于30,则这个多边形的边数是_,12,例. 一个正多边形的一个内角和是外角和的2倍, 则这个多边形为( )A.三角形 B.四边形 C.五边形 D. 六边形,例. 一个正多边形的一个内角和与外角和的比是7:2,则这个多边形的边数为( ),求A+B+C+D+E+F+G+H的值,做一做,1、如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1 为半径画圆，求圆与五边形重合的面积,图3,2、如图，求A+ B+ C+ D+ E+ F+ G的值,变式：,3、多边形最多有几个直角？最多有几个锐角？为什么？,挑战自我：,思考,怎样应用我们今天学习凸多边形的数学思想,研究凹多边形的相关知识.,2、如图所示，小亮从A点出发前进10m，向右转15，再前进10m，又向右转15，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 m。,1、内角和等于外角和2倍的多边形是（ ） A五边形 B六边形 C七边形 D八边形,巩固应用,祝同学们今后在数学广阔的天空中更加自由的翱翔！,再见！,1、十边形的内角和是_,外角和是_,如果十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是_,2、在一个多边形中，它的内角最多可以有_个是锐角,做一做,3、一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是_边形？,4、一个正多边形的一个内角比相邻外角大36，这个正多边形的边数为_.,5、已知过m边形的一个顶点有7条对角线,n边形 没有对角线,p边形有p条对角线,则(m-p)n=_.,探索多边形的内角和关键是：,把多边形分成几个三角形，再利用三角形的内角和求得。,议 一 议,你还有其它的分法吗？,P,P,n180o360o,（n1）180o180o,正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形的内角分别是多少度？,比一比看谁算得快,600,900,1080,1200,1、什么叫正三角形？什么叫正方形？,3、如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形 （regular polygon）,2、什么叫正多边形？,归纳：,(课本P55：) (1) 十边形的内角和是 ; 如果十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是 。 (2)已知一个多边形的内角和是2340，则这个多边形的边数是_。,1440o,144o,15,巩固练习,A组：课本P62：5、6、7,作业：,F,B组： 已知一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和是2750，求这个多边形的边数。,C组： 如图：我国的国旗上的五星是正五角星，正五角星中的五边形ABCDE是正五边形，你能求出五角星中F的度数？,今天的收获,3、n边形的内角和等于：（n2）180,2、n边形从一个顶点所画对角线的条数为：n3,4、利用类比归纳、转化的学习方法，可以把多边形问题转化为三角形问题来解决;,5、方程的数学思想在几何中有重要的作用。,1、 由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形。,为了求得n边形的内角和，请根据下图所示，完成表格。,1,2,3,4,n2,1800,3600,5400,7200,(n2)1800,你找到规律了吗？,探索多边形的内角和关键是：,把多边形分成几个三角形，再利用三角形的内角和求得。,议 一 议,你还有其它的分法吗？,P,P,n180o360o,（n1）180o180o,来思考几个问题：,1.一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？,如菱形的四条边相等，但它的内角不一定都相等，所以应该说：一个多边形的边都相等，它的内角不一定都相等.,2.一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？,如矩形的内角都是直角，但它的边未必都相等，所以应该说：一个多边形的内角都相等，它的边不一定都相等。,随堂练习：,1.一个多边形的外角和都等于60,这个多边形是几边形?,解：设这个多边形的边数为n，由题意得： （n2） 180150 n 解之得 n 12 答：这个多边形的边数为12。,2.已知一个多边形各个内角都相等，都等于150，求这个多边形的边数.,解法二： 每个内角相应的外角度数是： 180o- 150=30o 360o30o=12 所以多边形的边数是12。,