高中物理竞赛——一个猎狼问题的三种解法.doc

一个猎狼问题的三种解法金彪浙江省上虞市春晖中学（312353）原题：一只狼沿半径为R的圆形岛边缘以逆时针方向匀速跑动，如图1所示，狼过A点时，一只猎犬以相同的速率从O点出发追击狼。若追击过程中狼、犬、O点始终在同一直线上，则猎犬是沿什么轨迹运动的？V1 V V2 ORAV图2ORAV图1分析：因为狼沿圆岛做匀速率圆周运动，猎犬以相同的速率追击狼，猎犬、狼、O点始终在同一条直线上，可以判定猎犬做的是匀速率曲线运动。所以要判定猎犬的运动轨迹，只要判定猎犬的加速度或曲率半径就可以了，当然也可以判断猎犬的运动规律。设某时刻猎犬运动到C点，狼运动到B点，O、C、B在同一条直线上，设OC距离为可以将猎犬的瞬时速度V正交分解为沿BC方向的V1和垂直BC方向的V2，如图2所示。有： （1） （2）由（1）（2）两式得 （3）解法1：根据加速度求解猎犬运动时，两个分速度大小方向都在发生变化，故速度V1、V2都有切向和法向加速度。设V1的切向加速度为a11，法向加速度为a12；V2的切向加速度为a22，法向加速度为a21。 （4） （5）以上两式可得a11与V1同向，而a22与V2反向。又因为V1总是平行于狼速，V2总是垂直于狼速，故两个速度方向改变的角速度都与狼的运动角速度相同，则法向加速度： （6） V V1 a1 V2 a a2 图3 （7）由矢量关系可得a21与V1同向，而a12与V2反向。则在V1和V2方向上合加速度分别为，且方向关系如图3所示，由三角形相似得合加速度a垂直于V，大小为同时由于C点为任意点，可得猎狗的加速度大小恒定不变，方向始终垂直于瞬时速度，该运动一定为匀速率圆周运动；轨迹为圆，圆半径为。解法2，根据曲率半径求解E V/ C/ B/ V CB O图4D设在一段极短的时间t中，狼从任意一点B运动到B/，猎狗从C运动到C/。如图4所示，由于狼和犬速率都等于V，故，作V/的平行直线BDE与OC交于D点，由（2）式可得，V和V/的夹角即圆弧BB/圆心角为，由图中可得。因为时间极短，近视相等，上式可化为因为曲率半径等于弧长比弧度，故，本式表示猎犬运动过程中曲率半径始终为，故物体作圆周运动。解法3，根据简谐运动求解将（1）式左右两边求导将（2）式代入得因为，且上式左边右边都乘以m即猎狗在过狼的半径方向上所受合外力大小与离开O点的位移成正比，比例系数为，方向相反，说明猎犬在该方向上作的是简谐运动。且角速度为，同时考虑到初始状态下位移为0，速度为最大，可以列出简谐运动方程得，而恰好是猎犬、狼和O连线与OA的夹角，可得这刚好是圆的极坐标方程。