椭圆综合测试题(含答案).docx

第 1 页 共 4 页 椭圆测试题椭圆测试题 一、选择题：（一、选择题：（本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1、离心率为 3 2 ，长轴长为 6 的椭圆的标准方程是（ ） （A） （B）或 22 1 95 xy 22 1 95 xy 22 1 59 xy （C） （D）或 22 1 3620 xy 22 1 3620 xy 22 1 2036 xy 2、动点 P 到两个定点（- 4，0） 、（4，0）的距离之和为 8，则 P 点的轨迹为（ ） 1 F 2 F A.椭圆 B.线段 C.直线 D.不能确定 12 FF 12 FF 3、已知椭圆的标准方程，则椭圆的焦点坐标为（ ） 2 2 1 10 y x A. B. C. D.(10,0)(0,10)(0, 3)( 3,0) 4、已知椭圆上一点 P 到椭圆的一焦点的距离为 3，则 P 到另一焦点的距离是（ 22 1 59 xy ） A. B.2 C.3 D.62 53 5、如果表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围为（ ） 22 2 1 2 xy aa A. B. C. D.任意实数 R( 2,) 2, 12,(, 1)(2,) 6、关于曲线的对称性的论述正确的是（ ） A.方程的曲线关于 X 轴对称 22 0 xxyy B.方程的曲线关于 Y 轴对称 33 0 xy C.方程的曲线关于原点对称 22 10 xxyy D.方程的曲线关于原点对称 33 8xy 7、方程 （ab0,k0 且 k1)与方程（ab0)表示的椭圆（ ）. 22 22 1 xy kakb 22 22 1 xy ab A.有相同的离心率B.有共同的焦点C.有等长的短轴.长轴 D.有相同的顶点. 8、已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，过右焦点F且斜率为(0)k k的直线与C相交 于AB、两点若3AFFB ，则k ( ) （A）1 （B）2 （C）3 （D）2 9、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 5 4 5 3 5 2 5 1 10、若点 O 和点 F 分别为椭圆 22 1 43 xy 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OP FP A的最 大值为( ) A2 B3 C6 D8 第 2 页 共 4 页 11、椭圆 22 22 10 xy a ab b的右焦点为 F，其右准线与x轴的交点为A在椭圆上存在点 P 满足线 段 AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是( ) （A） （0， 2 2 （B） （0， 1 2 （C）21，1） （D） 1 2 ，1） 12 若直线yxb与曲线 2 34yxx有公共点，则 b 的取值范围是( ) A.1 2 2,12 2B.12,3 C.-1,12 2D.1 2 2,3 二、填空题：（本大题共二、填空题：（本大题共 5 小题，共小题，共 20 分分.） 13 若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 14 椭圆上一点 P 与椭圆两焦点 F1, F2的连线的夹角为直角，则 RtPF1F2的面积为 . 22 1 4924 xy 1515 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D， 且 ，则C的离心率为 .DFFB2 16 已知椭圆 2 2 :1 2 x cy的两焦点为 12 ,F F,点 00 (,)P xy满足 2 2 0 0 01 2 x y,则| 1 PF|+ 2 PF|的取值范 围为 三、解答题：三、解答题：(本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（10 分）已知点 M 在椭圆上，M垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为，并且 M 为 22 1 259 xy P P 线段的中点，求点的轨迹方程.P PP 18.(12 分)椭圆的焦点分别是和，已知椭圆的离心率过中心作直 22 1(045) 45 xy m m 1 F 2 F 5 3 e O 线与椭圆交于 A，B 两点，为原点，若的面积是 20，求：（1）的值（2）直线 AB 的方程O 2 ABFAm 第 3 页 共 4 页 19（12 分）设 1 F， 2 F分别为椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的左、右焦点，过 2 F的直线l与椭圆C 相 交于A,B两点，直线l的倾斜角为60， 1 F到直线l的距离为2 3. （）求椭圆C的焦距； （）如果 22 2AFF B ,求椭圆C的方程. 20（12 分）设椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点， 直线 l 的倾斜角为 60o,2AFFB . (I)求椭圆 C 的离心率； (II)如果|AB|= 15 4 ，求椭圆 C 的方程. 第 4 页 共 4 页 2121（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 1 3 . ()求动点 P 的轨迹方程； ()设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等？若 存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。 22 （12 分）已知椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的离心率 e= 3 2 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的 面积为 4. （）求椭圆的方程； （）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点 A 的坐标为（-a，0）. （i）若 4 2 AB 5 | =，求直线 l 的倾斜角； （ii）若点 Qy0（0，）在线段 AB 的垂直平分线上，且 ，求 y0的值.4QQBA 第 5 页 共 4 页 椭圆参考答案椭圆参考答案 1.选择题：选择题： 题号题号123456789101112 答案答案BBCCBCABBCDD 8 8【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义. 【解析】设直线 l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过 A，B 分别作 AA1，BB1垂直于 l，A1，B 为垂足，过 B 作 BE 垂直于 AA1与 E，由第二定义得，由，得 ， 即 k=，故选 B. 9 9 1010【解析】由题意，F（-1，0） ，设点 P 00 (,)xy，则有 22 00 1 43 xy ,解得 2 2 0 0 3(1) 4 x y， 因为 00 (1,)FPxy ， 00 (,)OPxy ，所以 2 000 (1)OP FPx xy = 00 (1)OP FPx x 2 0 3(1) 4 x = 2 0 0 3 4 x x，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 0 2x ，因为 0 22x ，所以当 0 2x 时，OP FP 取得最大值 2 2 236 4 ，选 C。 【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最 值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。 第 6 页 共 4 页 11 解析：由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点F， 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而|FA| 22 ab c cc |PF|ac,ac 于是 2 b c ac,ac 即 acc2b2acc2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又 e(0,1) 故 e 1,1 2 答案：D 12（2010 湖北文数）湖北文数）9.若直线yxb与曲线 2 34yxx有公共点，则 b 的取值范围是 A.1 2 2,12 2B.12,3 C.-1,12 2D.1 2 2,3 二、填空题：（本大题共二、填空题：（本大题共 4 小题，共小题，共 16 分分.） 13 若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 14 椭圆上一点 P 与椭圆两焦点 F1, F2的连线的夹角为直角，则 RtPF1F2的面积为 . 22 1 4924 xy 1515 （20102010 全国卷全国卷 1 1 文数）文数）(16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交 第 7 页 共 4 页 C于点D， 且BF2FD uu ruur ，则C的离心率为 . 3 3 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程 与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数 形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点： “数研究形，形助数” ，利用几何性质可寻求到简化 问题的捷径. 【解析 1】如图， 22 |BFbca, 作 1 DDy轴于点 D1,则由BF2FD uu ruur ，得 1 |2 |3 OFBF DDBD ,所以 1 33 | 22 DDOFc, 即 3 2 D c x ,由椭圆的第二定义得 22 33 |() 22 acc FDea ca 又由| 2|BFFD,得 2 3 2, c aa a 3 3 e 【解析 2】设椭圆方程为第一标准形式 22 22 1 xy ab ，设 22 ,D xy，F 分 BD 所成的比为 2， 22 22 3022333 0 ; 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy ，代入 22 22 91 1 44 cb ab ， 3 3 e 16（2010 湖北文数）湖北文数）15.已知椭圆 2 2 :1 2 x cy的两焦点为 12 ,F F,点 00 (,)P xy满足 2 2 0 0 01 2 x y,则| 1 PF|+ 2 PF|的取值范围为_。 【答案】 2,2 2 ,0 【解析】依题意知，点 P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当 P 在原点处时 12max (|)2 PFPF ， 当 P 在椭圆顶点处时，取到 12max (|)PFPF 为 ( 21)( 21) =2 2 ，故范围为 2,2 2 .因为 00 (,)xy 在椭圆 2 2 1 2 x y 的内部，则直线 xO y B F 1 D D 第 8 页 共 4 页 0 0 1 2 x x y y 上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为 0 个. 二二.填空题：填空题： 13 1414 2424 1515 3 3 1616 2,2 2 ,03 5 三三. .解答题：解答题： 17.解：设点的坐标为，点的坐标为，由题意可知p( , )p x ym 00 (,)xy 因为点在椭圆上，所以有 0 0 0 0 2 2 y y xx xx yy m 22 1 259 xy ， 把代入得，所以 P 点的轨迹是焦点在轴上，标准方程为 22 00 1 259 xy 22 1 2536 xy y 的椭圆. 22 1 2536 xy 18.解：（1）由已知，得， 5 3 c e a 453 5a 5c 所以 222 452520mbac （2）根据题意，设，则，所 21 2 20 ABFF F B SS AA ( , )B x y 1 2 12 1 2 F F B SFFy A A 12 210FFc 以，把代入椭圆的方程，得，所以点的坐标为，所以直4y 4y 22 1 4520 xy 3x B34或或或 线 AB 的方程为 44 33 yxyx 或 1919（20102010 辽宁文数）辽宁文数） （20） （本小题满分 12 分） 设 1 F， 2 F分别为椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的左、右焦点，过 2 F的直线l与椭圆C 相交于A, B两点，直线l的倾斜角为60， 1 F到直线l的距离为2 3. （）求椭圆C的焦距； （）如果 22 2AFF B ,求椭圆C的方程. 解：（）设焦距为2c，由已知可得 1 F到直线 l 的距离32 3,2.cc故 第 9 页 共 4 页 所以椭圆C的焦距为 4. （）设 112212 ( ,), (,),0,0,A x yB xyyy由题意知直线l的方程为3(2).yx 联立 22224 22 22 3(2), (3)4 330. 1 yx abyb yb xy ab 得 解得 22 12 2222 3(22 )3(22 ) ,. 33 baba yy abab 因为 2212 2,2.AFF Byy 所以 即 22 2222 3(22 )3(22 ) 2. 33 baba abab 得 22 3.4,5.aabb而所以 故椭圆C的方程为 22 1. 95 xy 20（2010 辽宁理数）辽宁理数）(20)（本小题满分 12 分） 设椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60o,2AFFB . (III)求椭圆 C 的离心率； (IV)如果|AB|= 15 4 ，求椭圆 C 的方程. 解： 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，由题意知 1 y0， 2 y0. （）直线 l 的方程为 3()yxc，其中 22 cab. 联立 22 22 3(), 1 yxc xy ab 得 22224 (3)2 330abyb cyb 解得 22 12 2222 3(2 )3(2 ) , 33 b cab ca yy abab 因为2AFFB ，所以 12 2yy. 第 10 页 共 4 页 即 22 2222 3(2 )3(2 ) 2 33 b cab ca abab 得离心率 2 3 c e a . 6 分 （）因为 21 1 1 3 AByy，所以 2 22 24 315 343 ab ab . 由 2 3 c a 得 5 3 ba.所以 515 44 a ，得 a=3，5b . 椭圆 C 的方程为 22 1 95 xy . 12 分 2121（20102010 北京理数北京理数） （19） （本小题共 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积 等于 1 3 . ()求动点 P 的轨迹方程； ()设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等？若 存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。 （I）解：因为点 B 与 A( 1,1)关于原点O对称，所以点B得坐标为(1, 1). 设点P的坐标为( , )x y 由题意得 111 113 yy xx A 化简得 22 34(1)xyx . 故动点P的轨迹方程为 22 34(1)xyx （II）解法一：设点P的坐标为 00 (,)xy，点M，N得坐标分别为(3,) M y,(3,) N y. 则直线AP的方程为 0 0 1 1(1) 1 y yx x ，直线BP的方程为 0 0 1 1(1) 1 y yx x 令3x 得 00 0 43 1 M yx y x ， 00 0 23 1 N yx y x . 于是PMNA得面积 第 11 页 共 4 页 2 000 0 2 0 |(3)1 |(3) 2|1| PMNMN xyx Syyx x A 又直线AB的方程为0 xy，| 2 2AB ， 点P到直线AB的距离 00 | 2 xy d . 于是PABA的面积 00 1 | 2 PAB SAB dxy A A 当 PABPMN SS AA 时，得 2 000 00 2 0 |(3) | |1| xyx xy x 又 00 | 0 xy， 所以 2 0 (3)x= 2 0 |1|x，解得 0 5 | 3 x 。 因为 22 00 34xy，所以 0 33 9 y 故存在点P使得PABA与PMNA的面积相等，此时点P的坐标为 533 ( ,) 39 . 解法二：若存在点P使得PABA与PMNA的面积相等，设点P的坐标为 00 (,)xy 则 11 | |sin| |sin 22 PAPBAPBPMPNMPNAA. 因为sinsinAPBMPN, 所以 | | PAPN PMPB 所以 00 0 |1|3| |3|1| xx xx 即 22 00 (3)|1|xx，解得 0 x 5 3 因为 22 00 34xy，所以 0 33 9 y 故存在点PS 使得PABA与PMNA的面积相等，此时点P的坐标为 533 ( ,) 39 . 2222（20102010 天津文数）天津文数） （21） （本小题满分 14 分） 第 12 页 共 4 页 已知椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的离心率 e= 3 2 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4. （）求椭圆的方程； （）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点 A 的坐标为（-a，0）. （i）若 4 2 AB 5 | =，求直线 l 的倾斜角； （ii）若点 Qy0（0，）在线段 AB 的垂直平分线上，且QA QB=4 A.求y0的值. 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾 斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分 析与运算能力.满分 14 分. （）解：由 e= 3 2 c a ，得 22 34ac.再由 222 cab，解得 a=2b. 由题意可知 1 224 2 ab，即 ab=2. 解方程组 2 , 2, ab ab 得 a=2，b=1. 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y. ()(i)解：由（）可知点 A 的坐标是（-2,0）.设点 B 的坐标为 11 ( ,)x y，直线 l 的斜率为 k. 则直线 l 的方程为 y=k（x+2）. 于是 A、B 两点的坐标满足方程组 2 2 (2), 1. 4 yk x x y 消去 y 并整理，得 2222 (14)16(164)0kxk xk. 由 2 1 2 164 2 14 k x k ，得 2 1 2 28 14 k x k .从而 1 2 4 14 k y k . 所以 2 2 22 222 2844 1 |2 141414 kkk AB kkk . 由 4 2 | 5 AB ，得 2 2 4 14 2 145 k k . 整理得 42 329230kk，即 22 (1)(3223)0kk，解得 k=1. 第 13 页 共 4 页 所以直线 l 的倾斜角为 4 或 3 4 . （ii）解：设线段 AB 的中点为 M，由（i）得到 M 的坐标为 2 22 82 , 1414 kk kk . 以下分两种情况： （1）当 k=0 时，点 B 的坐标是（2,0） ，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是 00 2,2,.QAyQBy 由4QA QB ，得y2 2 0 。 （2）当0k 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 2 22 218 1414 kk yx kkk 。 令0 x ，解得 0 2 6 14 k y k 。 由 0 2,QAy ， 110 ,QBx yy ， 2 1010 2222 2 28 646 2 14141414 k kkk QA QBxyyy kkkk 42 2 2 4 16151 4 14 kk k ， 整理得 2 72k 。故 14 7 k 。所以 0 2 14 5 y 。 综上， 0 2 2y 或 0 2 14 5 y