初二数学解题技巧.doc
初二数学解题技巧全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到三角形的中线,倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.2) 截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目3) 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”4) 遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理5) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.一、 倍长中线(线段)造全等例1已知:如图所示,D为 ABC的中线,求证：B+>AD。分析：要证ABAC>D,由图形想到: AB+DAD，AC+CD>AD,所以有:B+ACBD+CD >A +=2A,但它的左边比要证结论多BDCD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。证明:延长AD至,使DE=D，连接B,C。 图 例、如图,ABC中，BDCAC,E是DC的中点，求证：D平分BAE.因为D=D=C，所以C=1/2C因为E是D中点,所以EC=1/D=/2ACCE=C,所以CACE所以ABCA因为C=C，所以ADCDACADC=BC+BAD所以AC+BD=DAE+CAE所以BAD=DAE即AD平分BAE应用：二、截长补短例1.已知：如图1所示，AD为ABC的中线，且1=，3=4。求证:BE+C>E。分析:要证B+CF>F ,可利用三角形三 边关系定理证明，须把BE,CF，E移到同一个三角形中,而由已知1=2,=4，可在角的两边截取相等的线段,利用全等三角形的对应边相等，把E,FN,EF移到同个三角形中。证明：在上截取D=B,连接NE,NF。 延长FD到G , 使G=FD, 再连结EG,B1、如图，中，AB=A，平分，且BD，求证：CD证明:取B中点,连接DDBDDA，即AED=90【等腰三角形三线合一】B=2AA=A又EAD=CD【AD平分BAC】 ADADADACD(SS）C=AED90DA、如图，ABD，A,EB分别平分CAB，BA，D过点E,求证;B=AC+BD在A上取点 ,使得NACAE=AN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形A所以ANEAE又A平行所以AC+BE=18而AE+ENB0所以ENBBDEBEBNBE为公共边,所以三角形BN全等三角形EBD所以BB所以AB=AN+BN=AC+BD3、如图,已知在内，,，Q分别在BC，CA上,并且P，B分别是,的角平分线。求证：B+A=B+B证明：做辅助线PM，与QC相交与M。(首先算清各角的度数)A=18APAB=180300=0且APM=180APMPC=1807Q（同位角相等)=1074=7AP=APM又是BAC的角平分线,BAPMAPAP是公共边ABPP(角边角)B=，BPMP在MC中，M=M=40M+BP=MAM+MC=AC在QBC中QBC=QC40BQCBQAQAQ+QCAB+Q+BP 赞同4、角平分线如图，在四边形ABC中，BCA,AD=CD，D平分，求证： 延长B，作DFBA的延长线,作DEBC1=D=DF(角分线上的点到角的两边距离相等)在RtDF与RtDC中AD=DC,DF=DERFARDE(H)=C因为4+3=804+=180即AC=1805、如图在C中,AB>AC,1=2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC>PPC延长A至E，使AE=AB，连结。然后证明一下ABPP得到PB=PE备用（角边角证很容易吧）PCE中,ECPE-PCEC=A-AC,AE=ABE=AB-AC又B=PEE-P=PBPCA-CB-C应用：三、平移变换例1 AD为B的角平分线,直线MNA于A.E为M上一点，AC周长记为，EBC周长记为求证>.例2 如图,在AC的边上取两点D、E,且D=E，求证:B+AC>D+四、借助角平分线造全等1、如图,已知在BC中,B=60,ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证：E=OD在AC上取点，使AF=AEAD是角A的平分线角EAO=角FA/AO=A三角形E与O全等（两边夹角相等）O=FO ,角AO角AOFCE是角的平分线角DCO=角F角B60角A+角C=10-60=120角COD=角A+角OCA角A2+角C/60度角CF=1角OF-角COD80660=60角OCF角CDOCO三角形OCD与CFO全等 （两边夹角相等）CF=CDA=A+=AE+D即:AE+D=C2、如图，ABC中,A平分BAC,DGB且平分BC,DEB于E，FAC于（）说明BE=CF的理由；（2）如果A=，AC=,求AE、BE的长.证明：连接,CDDGBC于G且平分B所以G为BC垂直平分线垂直平分线上的点到线段两端点距离相等BD=CD角平分线上的点到角两边距离相等,A平分BC，EAB于E，DFC的延长线于F所以=F在RBD,RFD中D=DFBD=CDRTEDRCF(HL)E=CF应用:五、旋转例1正方形ABC中,E为B上的一点,F为D上的一点，BE+FE,求E的度数 将三角形D绕点A顺时针旋转90度,至三角形ABG则GE=B+B=DF+BE=E又AE=AE，AF=,所以三角形AE全等于AE所以A=GAE=AE+GABBAE+DAF又F+BAF90所以EAF5度 例2 为等腰斜边的中点，MDN，D,DN分别交BC，C于点E,。（1） 当绕点D转动时,求证E=F。（2） 若B=2，求四边形DEC的面积。做C，垂足为P，做DQAC,垂足为QD为中点,且AB为等腰TBCDP=DQB=AC又FDQPD(旋转）DFDPE=90DFPESDF=SDPE又S四边形EF=S四边形DCP+SDPS四边形DEC=四边形DFPSDFCA=AC（ACB定值）四边形DECF面积不会改变例3如图,是边长为3的等边三角形,是等腰三角形，且，以为顶点做一个角,使其两边分别交B于点，交C于点N,连接MN,则的周长为 ； 我简单说一下过D点做DEAB的延长线然后证明DNDME（注意DBE实际上是DCN旋转后得来的)
