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数理统计习题数理统计考试试卷一、填空题(本题15分,每题3分）1、总体的容量分别为10，1的两独立样本均值差_；2、设为取自总体的一个样本,若已知，则=_；3、设总体，若和均未知，为样本容量，总体均值的置信水平为的置信区间为，则的值为_； 4、设为取自总体的一个样本,对于给定的显著性水平,已知关于检验的拒绝域为2，则相应的备择假设为_；5、设总体,已知，在显著性水平005下，检验假设,，拒绝域是_。1、; 2、.0；3、； 4、;5、。二、选择题(本题15分,每题分）、设是取自总体的一个样本,是未知参数,以下函数是统计量的为(）。（) （B) (C) (D）2、设为取自总体的样本,为样本均值，,则服从自由度为的分布的统计量为( ）。（A) （B) （C） ()、设是来自总体的样本,存在, ,则（ ）。(A)是的矩估计（B）是的极大似然估计（)是的无偏估计和相合估计(D)作为的估计其优良性与分布有关4、设总体相互独立,样本容量分别为，样本方差分别为,在显著性水平下,检验的拒绝域为（ )。(A) (）（C） (D）、设总体，已知,未知，是来自总体的样本观察值，已知的置信水平为0.95的置信区间为（4.1,.69),则取显著性水平时，检验假设的结果是（ )。（）不能确定 ()接受 (C)拒绝 (D）条件不足无法检验 1、； 、D; 、C； 4、A；5、B三、(本题14分) 设随机变量X的概率密度为：,其中未知参数,是来自的样本,求(1）的矩估计;(2）的极大似然估计。解:(1) ,令，得为参数的矩估计量。(2)似然函数为：，而是的单调减少函数,所以的极大似然估计量为。四、(本题1分)设总体,且是样本观察值，样本方差,（1）求的置信水平为0.9的置信区间；（2)已知,求的置信水平为095的置信区间；（,）。解：(1）的置信水平为0.95的置信区间为，即为（9462，6.667)；(）=；由于是的单调减少函数,置信区间为，即为(0300，2137)。五、（本题0分）设总体服从参数为的指数分布,其中未知，为取自总体的样本,若已知,求：(1）的置信水平为的单侧置信下限；(2）某种元件的寿命(单位:)服从上述指数分布，现从中抽得容量为6的样本，测得样本均值为51（h)，试求元件的平均寿命的置信水平为0.9的单侧置信下限。解:（）即的单侧置信下限为;（)。六、(本题1分）某工厂正常生产时,排出的污水中动植物油的浓度，今阶段性抽取10个水样,测得平均浓度为0.8（mg/L)，标准差为1（g/)，问该工厂生产是否正常?(）解： （1)检验假设H0：21,H1:21；取统计量：;拒绝域为:2=.0或=9.023,经计算:,由于2,故接受，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为=1。(2)检验假设; 取统计量: ；拒绝域为；<2.622,所以接受，即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是0（mL）。综上,认为工厂生产正常。七、（本题0分)设为取自总体的样本,对假设检验问题，(1)在显著性水平0.5下求拒绝域;（2)若=，求上述检验所犯的第二类错误的概率。 解：(） 拒绝域为；（2）由(1)解得接受域为(1.8,.92)，当=时，接受的概率为。八、（本题8分）设随机变量服从自由度为的分布,(1)证明：随机变量服从自由度为的分布;(2)若,且，求的值。证明:因为,由分布的定义可令,其中，与相互独立，所以。当时，与服从自由度为的分布,故有,从而 。数理统计试卷参考答案一、填空题（本题5分,每题3分)1、； 2、0; 3、; 4、； 5、。二、选择题（本题5分,每题3分)1、B; 2、D; 3、C； 、A； 5、.三、(本题14分)解：（1) ,令,得为参数的矩估计量。(2)似然函数为:,而是的单调减少函数,所以的极大似然估计量为。四、（本题1分）解：(1）的置信水平为095的置信区间为，即为(.9462，6667）;（）=；由于是的单调减少函数，置信区间为,即为(03000,.3）。五、（本题10分）解：(1) 即的单侧置信下限为；（2)。六、(本题14分)解： （)检验假设0:=1,H1：1； 取统计量:;拒绝域为：2=.7或2=.023,经计算：，由于2,故接受H0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为=1。 (）检验假设; 取统计量： ;拒绝域为;<2.62 ,所以接受,即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是0（mg/）。综上,认为工厂生产正常。七、(本题1分）解：()拒绝域为；(2)由(1)解得接受域为(1.08,.92）,当时，接受的概率为。八、（本题分）证明：因为，由分布的定义可令，其中,与相互独立，所以。当时，与服从自由度为的分布,故有,从而 。