【素材】备课素材2《三角形全等的判定》(数学人教八上).docx

第十二章全等三角形12.2三角形全等的判定第 2 课时三角形全等的判定 ( 二)(ZT)情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣置疑导入图 12 2181猜一猜：教师演示：把两根木条的一端用螺栓固定在一起(1)连接另两端所成的三角形能唯一确定吗？(2)如果将两条木条之间的夹角(即 BAC) 大小固定，那么ABC 能唯一确定吗？2做一做：(1)用量角器和刻度尺画ABC ，使 AB 2 cm， BC 2.5 cm， ABC 60 .学生动手画图，然后剪下来，再与其他同学进行比较 (带着以上两个问题，学生小组合作动手试验，验证猜想 )(2)将 ABC 的度数换成20，再试一试，情况会怎么样？通过“猜一猜”和“做一做”，你能归纳两个三角形全等的判定方法吗？(引入新课 )说明与建议 通过操作、观察、分析、归纳、总结，让学生体会到成功的喜悦，培养学生的观察、分析能力教学中教师要注意引导学生讨论、交流并归纳得出“ 边角边 ”建议：教师可进一步设计如下问题：(3)画 ABC ，使 AB 2 cm，BC 2.5 cm， ACB 40，学生动手画图，然后剪下来，再与其他同学进行比较(学生画出的可能有锐角三角形、钝角三角形 )，并与学生一起归纳得出： “ SSA”不能作为判定两三角形全等的依据， 进而强调 “SAS” 中的角必须是对应相等的两边的夹角图 12 219置疑导入小伟作业本上画的三角形的一边被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办？请你帮助小伟想一个办法，并说明你的理由问题：三角形有六个要素，我们从这个残缺的图形中能得到几个呢？(两边及其夹角)引导学生观察分析继而引导学生分析“SAS”是否能确定唯一的三角形说明与建议 说明：通过残损图片引起学生兴趣，使学生无法确定三角形的三边，为学习新课 “SAS” 做好铺垫建议：尽量让学生充分探究“SSA”“AAS”“ ASA” 是否能确定唯一的三角形，注意把握好度，探究出“SSA” 不能确定唯一的三角形即可，后续判定方法可先让学生课后思考图 12 220教材母题 第 43 页习题 12.2 第 2 题如图 12 2 20 所示， AB AC ， AD AE. 求证： B C.【模型建立】解决此类问题要想方设法先证明出三角形全等所需的条件利用“SAS” 证明两个三角形全等要充分利用公共角或对顶角等相等条件，有时还要注意等式性质的应用【变式变形】1如图 12 2 21， AD AE ， EAB DAC ， AB AC. 求证： B C.提示：证明ABD 和 ACE 全等 图 12 221图 12 2 22图 12 2 232如图 12 2 22 所示，已知AB AC ， 1 2， AD AE. 求证： C B.提示：证明ABD 和 ACE 全等 3已知：如图 12 223，点 D 在 AC 上，点 E 在 AB 上， AE AD ， BD ， CE 相交于点 O，连接 AO ， 1 2.求证： B C.AE AD （已知），证明： 在 AEO 和 ADO 中， 2 1（已知），AO AO （公共边）， AEO ADO( SAS)， AEO ADO( 全等三角形对应角相等) AEO EOB B ， ADO DOC C(三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和 )， EOB B DOC C(等量代换 )又 EOB DOC( 对顶角相等 )， B C(等式的性质 )图 12 2244如图 12 2 24，点 B ， E， C， F 在一条直线上， AB DE ，AB DE， BE CF， AC 6，求 DF 的长 DF 6)5 AD 是 ABC 的中线， AB 6， AC 8，求 AD 的取值范围答案： 1<AD<7命题角度1 直接利用 “SAS” 证明三角形全等(1)公共边 (角 )、对顶角等隐含条件不可忽视； (2)在书写两个三角形全等的条件时， 一定要把夹角相等写在中间，以突出此角是两边的夹角图 12 225例 已知：如图 12 225， AB CB ， ABD CBD ， ABD 和 CBD 全等吗？解： 全等，因为 AB CB， ABD CBD ，BD BD ，所以 ABD CBD.命题角度2 利用 “SAS” 及全等三角形的性质证明线段相等此类问题考查了全等三角形的判定和性质， 全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定方法图 12 226例 云南中考 如图 12 2 26，在 ABC 和 ABD 中， AC 与 BD 相交于点 E， ADBC ， DAB CBA ，求证： AC BD.AD BC，证明： 在 ABC 和 ABD 中， DAB CBA ，AB BA ， ABC ABD( SAS) AC BD.命题角度3 利用 “SAS” 及全等三角形的性质证明角相等及其他问题利用全等解决问题的思路：(1) 从已知出发，探究要证明的相等的线段或角分别在哪两个全等三角形中； (2) 分解图形 将所证全等三角形从 “ 复合 ” 图形中分离出来； (3)“ 移植” 条件 将已知转移至图形，再根据已知条件及隐含条件寻求恰当的判定方法图 12 227例 武汉中考 如图 12 2 27 所示， AC 和 BD 相交于点 O， OA OC，OB OD.求证： DC AB.证明： 在 AOB 和 COD 中， OA OC， AOB COD ，OB OD ， AOB COD. A C， AB/CD.命题角度4 添加辅助线利用“SAS” 解决综合性问题综合考查全等三角形的判定与性质的题目，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键， 也是这类问题的难点 利用全等三角形解决问题要注意综合运用相等的量及有关知识进行推理论证或计算例德州中考 问题背景：如图 12 2 28 所示，在四边形ABC 中， AB AD ， BAD 120， B ADC 90 .E， F 分别是 BC， CD 上的点，且 EAF 60.探究图中线段BE ， EF， FD 之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G，使DG BE ，连接AG ，先证明ABE ADG ，再证明 AEF AGF ，可得出结论，他的结论应是_；图 12 228探索延伸：如图，若在四边形ABCD 中， AB AD ， B D 180， E， F 分别是 BC ， CD上的点，且 EAF 12 BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O 处 )北偏西30的 A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60 海里 /时的速度前进， 舰艇乙沿北偏东50的方向以80 海里 /时的速度前进.1.5 小时后，指挥中心观测到甲、 乙两舰艇分别到达E，F 处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离解： 问题背景： EFBE FD探索延伸： EF BE FD 仍然成立理由：延长FD 到点 G，使 DG BE ，连接 AG ， B ADC 180， ADG ADC 180， B ADG .又 AB AD ， ABE ADG. AE AG ， BAE DAG.又 EAF 12BAD ， FAG FAD DAG FAD BAE BAD EAF BAD 1 BAD 2 1 BAD ，2 EAF GAF. AEF AGF. EF FG.又 FG DG DF BE DF. EF BE FD.图 12 230实际应用：如图12 230，连接 EF，延长 AE ，BF 相交于点C，在四边形 AOBC 中，1 AOB 30 90 20 140， EOF 70 AOB ，又 OA OB， OAC OBC 60 120 180，符合探索延伸中的条件，结论 EF AE FB 成立即 EF AE FB 1.5(60 80) 210(海里 )答：此时两舰艇之间的距离为210 海里P39 练习1如图，两车从南北方向的路段 AB 的 A 端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达 C，D 两地此时 C， D 到 B 的距离相等吗？为什么？解： 相等因为 DA CA， BA BA， DAB CAB 90，所以 DAB CAB (SAS) ，所以 BD BC(全等三角形对应边相等 ) 2如图，点E， F 在 BC 上， BE CF ， AB DC ， B C.求证 A D.证明： 因为 BE CF ，所以 BF CE.又 B C，AB DC ，所以 ABF DCE (SAS) ，所以 A D .当堂检测1. 如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端分，则只需测出其长度的线段是（）M 、 N的距离，如果PN 与QM互相平A POB.PQC MODMQ2.如图，已知点A、 D、C、 F在同一条直线上，AB=DE， BC=EF，要使ABC DEF，还需要添加一个条件是（）A. BCA= FB. B=ECBC EFD. A= EDF3.如图， a、 b、 c 分别表示 ABC的三边长，则下面与ABC一定全等的三角形是（）ABCD4.如图，在 AEC 和 DFB 中，点 A、B、C、D 在同一条直线上.有如下关系式：AB=CD.CE=BF.再增加一个条件使ACE DBF ，这个条件是_.5.已知线段： a、 b 和，求作：ABC，使 CB= a，CA= b, ACB= .参考答案1. B2. B3. B4. ACE = DBF 或 AE=DF5. 略例析全等三角形中的开放性问题近年来，一些极富有创造性、开放性的新颖题型以崭新的面貌出现.现以全等三角形为例，归类浅析加以说明：一、条件开放型例 1.如图，已知点C 是 AOB 的平分线上一点，点 P、 P分别在边AOA 、 OB 上 .如果要得到OP=OP ，需要添加以下条件中的P某一个即可，请你写出所有可能的结果的序号为_C OCP= OCP； OPC= OP C；OP BPC=PC； PP OC分析： 若分别添加、，皆可判定POC POC,从而有 OP= OP；若添加，则 POC 与 POC 中有 SSA，因而不能判定两者相等，故本题答案为、.评： 此题给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件.一般地，依据三角形全等的判定方法及性质，补充所缺少的条件.由已知条件结合图形通过逆向思维找出合适的条件.二、结论开放题例 2.如图， AB=AD ， BC=CD ，AC 和 BD 相交于 E.由这些条件可以得出若干结论，请你写出其中 3 个正确结论 .（不要添加字母和辅助线，不要求证明）结论 1：结论 2：结论 3：分析： 由已知条件不难得到 ABC ADC 、 ABE ADE 、 BEC DEC ，同时有 DAE BAE 、 DCA BCA 、 ADC ABC ，AC 平分 DAB 与 DCB 且垂直平分 DB 等，以上是解决本题的关键所在，也都可以作为最后的结论 .评： 此题给出了限定条件，但结论并不唯一，要求根据所给条件探索可能得到的结论.可解的思路具有多项的发散性.注：结论还有许多，请有兴趣的读者再探索.三、全面开放题例 3.如图，在 ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 BC 上， BD BE .（1）请你再添加一个条件，使得BEA BDC ，并给出证明.你添加的条件是：_证明：（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：_ （只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程分析：（ 1）在 BEA 和 BDC 中，已有一边及一角对应相等，即BD BE 、 DBC EBA ，要使两个三角形全等，可根据 SAS 加上条件 AB CB 或 AD CE；也可根据 ASA 加上条件BEA BDC ，总之，在添加条件的过程中要遵循三角形全等的原则.（2）在 BEA BDC 的基础上，易得 ADF CEF、 DAF EFC、 AD CE，从而有 DFA EFC 同时又不难得到 DCA EAC.评： 本题是条件和结论同时开放的一道好题，题目本身并不复杂，但开放程度很高，能激起学生的发散思维，值得重视 .四、 猜想开放题A例 4.如图，已知为 ABC 等边三角形， D、 E、 F 分别在边 BC 、 CA 、AB 上，且 DEF 也是等边三角形（ 1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是F正确的；（ 2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程B分析 :（ 1）观察图形猜想： AE=BF=CD ， AF=BD=CE.事实上， 因为 ABC 与 DEF 都是等边三角形， 根据等边三角形的性质，可得到 A= B=C=60 ， EDF= DEF= EFD=60 ,DE=EF=FD又 CED+ AEF=120 ，CDE+ CED=120 AEF= CDE ，同理，得 CDE= BFD ， AEF BFD CDE（AAS ），所以 AE=BF=CD ， AF=BD=CE（2）这些相等的线段可以看成经过平移、旋转而得到.如 AE 与 BF ，把 AE 绕着 A 点顺时针旋转 60，再沿着AB 方向平移使A 点至 F 点即可得BF，其余类同评：此题为探究、猜想、并证明的试题，我们要认真观察，作出判断再加以说明；本题难度不大，但结构较新，改变了过去的固有模式.五、拼图开放题例 5.一张矩形纸片沿对角线剪开， 得到两张三角形纸片， 再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点 B 、 F、 C、 D 在同一条直线上 .（ 1）求证 AB ED ；（ 2）若 PB=BC ，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明 .分析 :（ 1）在已知条件的背景下，显然有 ABC DEF，故 A D ；又 ANP DNC ，因而不难得 APN DCN 90，即 AB ED.（ 2）由 AB ED 可得 BPD EFD 90，又 BP BC 及 BPD CBA, 根据 ASA 有 BPD CBA ，在此基础上，就不难得到 PNA CND ， PEM FMB.评：此题让我们在参与图形的变化过程中及探究活动中，激发了学生的学习热情和创造性的思维能力 .总之， 条件不固定， 结论不明确的开放型题，虽然解法无限制，却能反映学生对知识的总结、整合及应用能力.它以知识为载体，在考查学生所学知识的同时，更侧重考查学生运用自己已有知识，解决新问题的能力.题型在设计上由过去注重知识向当今的注重能力方向转变 .增加应用意识，充分体现了我们数学学科自身的价值.EDC