宁波中考数学第一轮复习第六讲三角形.docx

三角形知识梳理知识点 1.三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。三条线段不在同一条直线上的条件，如果三条线段在同一条直线上，我们认为三角形就不存在。 另外三条线段必须首尾顺次相接，这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边，三个角，三个顶点。知识点 2. 三角形的分类重点：三角形分类的依据难点：三角形分类的划分（1）按角分类锐角三角形三角形(2) 按边分类直角三角形钝角三角形不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角等腰三角形等边三角形例：如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2 倍，且等于它不相邻内角的4 倍，那么这个三角形一定是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、正三角形解题思路：根据角度来判断是哪一种三角形。答案BA练习：如图，已知OA a ， P 是射线 ON上一动点（即P 可在射线 ON上运动）， AON 600，填空：a60 0（1）当 OP时， AOP为等边三角形；OPN第 4 题图（ 2）当 OP时， AOP为直角三角形；1（ 3）当 OP满足时， AOP为锐角三角形；（ 4）当 OP满足时， AOP为钝角三角形。答案：（）a；（ ） 2a 或 a；（） a 2a；（ ） a或 2a1232OP4 0OPOP22知识点 3.三角形三条重要线段重点：掌握三角形三条重要线段的概念难点：三角形三条重要线段的运用三角形中的主要线段有： 三角形的角平分线、 中线和高线。 这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点：（ 1）三角形的角平分 线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。（ 2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。而三角形的高线在当 ABC是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上， 这两条高在三角形的外部， 直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。（ 3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。 今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心，三条高的交点叫做三角形的垂心。例 1、在 ABC中， AC 5，中线 AD 7，则 AB 边的取值范围是（）A、 1AB 29B、 4 AB 24C、 5 AB 19D、9 AB 19解题思路：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。选D例 2、如图， ABC中， AB=AC， BAC和 ACB的平分线相交于点D，ADC=130，求 BAC的度数解题思路：因为AB=AC，AE平分 BAC，所以 AE BC( 三线合一 )因为 ADC=130，所以 CDE=50，所以 DCE=40，因为 CD平分 ACB，所以 ACB=2 DCE=80，所以 B= ACB=80， BAC=180- B+ACB=202练习1、如图，在 ABC中， A 960 ，延长 BC到 D， ABC与 ACD的平分线相交于A1 ， A1 BC与 A1 CD的平分线相交于A2 ，依此类推， A4 BC与 A4 CD的平分线相交于A5 ，则 A5的大小是多少？AA1A2BCD3 题图2、如图， CE平分 ACB，且 CE DB， DAB DBA， AC 18cm， CBD的周长为28 cm，则DB。CD答案 1、 302、 8cmEAB7 题图知识点 4.三角形的主要性质重点：三角形的三边关系及外角的性质难点：三角形的主要性质的灵活运用(1) 三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边(2) 三角形的三个内角之和等于3600(3) 三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和(4) 三解形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角(5) 三角形具有稳定性，即三边长确定后三角形的形状保持不变例 1已知一个三角形中两条边的长分别是a 、 b ，且 ab ，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（）A、 3aL3bB、 2( ab)L2aC、 2a6bL2baD、 3abLa2b解题思路： 涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。答案： B3例 2如图，已知 ABC中， ABC 450， ACB 610，延长 BC至 E，使 CE AC，延长至 D，使 DB AB，求 DAE的度数。解题思路： 用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角A形性质，求出 D E 的度数，即可求得DAE的度数。略解： AB DB， AC CEDBC例 2图 D 1 ABC， E 1 ACB22 D E 1 （ ABC ACB）0532 DAE1800（ D E） 1270练习 1. 若 ABC的三边分别为 a 、 b 、 c ，要使整式 ( a b c)(ab c) m0，则整数应为。2. 纸片 ABC中， A 650， B 750，将纸片的一角折叠，使A点 C 落在 ABC内（如图），若 1200，则 2 的度数为。1C2B3. 在 ABC中， ABAC， D 在 AC上，且 BD BCAD，则 A 的度数为（） 8 题图A、 300B、 360C、 450D、 720答案 1.偶数 2. 6003.B知识点5. 全等三角形CBEm重点：全等三角形的判定难点：根据不同条件来判断三角形的全等1定义两个能完全重合的三角形叫做全等三角形，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角2性质两全等三角形的对应边相等，对应角相等3判定公理(1) 判定公理 1( 简称“边角边”或“ SAS”)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(2) 判定公理2( 简称“角边角”或“ ASA”)4有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3) 判定公理 3( 简称“边边边”或“ SSS”)有三边对应相等的两个三角形全等(4) 判定 4( 推论，简称为“角角边”或“ AAS”)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(5) 判定 5( 斜边、直角边公理，简称“斜边、直角边”或“ HL”)有斜边和条直角边对应相等的两个直角三角形全等全等三角形题型例析一、选择条件型例 1如图，在 ABC与 DEF中，给出以下六个条件中（1） AB DE（ 2）BC EF（ 3）ACDF （ 4） A D（ 5）B E（ 6） C F，以其中三个作为已知条件，不能 判断 ABC与 DEF全等的是（）（ 1）（ 5）（ 2）（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 6）（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）解题思路：根据全等三角形的识别方法及给出的四个答案，一一加以辨别， 因为用（ SAS）识别法中，两边对应相等的话，一定要夹角对应相等，所以答案（）不能判断 ABC与DEF全等二、补充条件型例 2 如图所示，在 ABC和 DCB中， AB DC，要使 ABOADDCO，请你补充条件（ 只要填写一个你认为合适的条件）BO解题思路：由CAB=DC 以及图形隐含的对顶角相等： AOB= DOC可知，要使，根据（ AAS）识别法，直接可补充=D或间ABODCOAABODCO接可补充： AC DB评注：本题是一道结论开放性试题，由于全等三角形的识别方法有（SSS）（ SAS）（ASA）（AAS）和直角三角形的（HL）识别法，因此，这类题目具有答案不唯一的特点在添加条件时，要结合图形，挖掘隐含的公共边、公共角、对顶角等条件三、结论选择型例 3如图 E F90， B C AEAF，给出下列结论： 1 2； BECF； ACN ABM； CD DN其中正确的结论是5（注：将你认为正确的结论都填上）解题思路： 根据已知“ E F90， B CAE AF”可得 ABE ACF，因此有 EAB FAC， BE CF， AC AB，所以、正确；因为CAB BAC， B C ，AC AB，所以 ACN ABM，故也正确；根据条件，无法推出CD DN，故不正确所以，正确的结论是、评注： 将多项选择以填空题的形式出现，是近几年出现的新题型，因答案的不唯一，加大了问题的难度，我们只有对所给的选项一一排查，才能得到正确的答案四、结论探究型例 4如图，已知CD AB， BEAC，垂足分别为D， E， BE，CD交于点 O，且 AO平分 BAC，那么图中全等三角形共有对解题思路：在ADO与 AEO，根据条件： CD AB，BE AC， AO平分 BAC及隐含的条件 AOAO（公共边），得到 ADO AEO（ AAS）；从而得到AD AE，故 Rt ADC Rt AEB（ HL）；进一步可推得 ABO ACO（ SAS）， BDO CEO（ AAS），因此，图中全等三角形共有 4 对 五、自编组合型例 5如图，在 ABC和 DEF中， D， E， C， F 在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选 3 个作为题设，余下的 1 个作为结论，写一个真命题，并加以证明 ABDE， AC DF， ABC DEF， BE CF已知：ADBECF求证：证明：解题思路： 题中给出的四个等量关系，以其中三个为条件，另一个作为结论，总共可组成的命题（不论真假）有：共 4 个命题，其中真命题有2 个，或，选择其中一个，不难完成题目的解答解：如证明： BE CF BC EF又 AB DE， AC DF BAC DEF（ SSS） ABC DEF6六、运动变化型例 6在 ABC中， ACB=90， AC=BC，直线 MN经过点 C，且 AD MN于 D， BE MN于 E（ 1）当直线 MN绕点 C旋转到图 1 的位置时，求证： ADC CEB； DE=AD BE；（ 2）当直线 MN绕点 C旋转到图 2 的位置时，求证： DE=AD BE；（ 3）当直线 MN绕点 C旋转到图 3 的位置时，试问 DE， AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明MMMDCCCE NDEAABABBEND图 1图 2N图 3证明：（ 1） ACD= ACB=90， CAD+ ACD=90 ， BCE+ ACD=90， CAD= BCE，AC=BC， ADC CEB ADC CEB， CE=AD， CD=BE， DE=CE+CD=AD+BE（ 2） ADC=CEB= ACB=90， ACD=CBE ，又 AC=BC， ACD CBE，CE=AD， CD=BE， DE=CE CD=AD BE（ 3）当 MN旋转到图3 的位置时， AD，DE，BE所满足的等量关系是DE=BE AD（或 AD=BEDE， BE=AD+DE等） ADC= CEB= ACB=90， ACD= CBE，又 AC=BC， ACD CBE，AD=CE， CD=BE， DE=CDCE=BE AD评注：本题以直线MN绕点 C旋转过程中与ABC的不同的位置关系为背景设置的三个小题，第（ 1）（2）小题为证明题，第（ 3）小题为探索性问题，考查同学们从具体、特殊的情形出发去探究运动变化过程中的规律的能力，试题的设计层层递进，为发现规律、 证明结论设计了可借鉴的过程，通过前面问题解决过程中所提供的思想方法，去解决类似相关问题，考查了同学们的后续学习的能力七、应用型A例 7如图， 将两根钢条 AA ，BB 的中点 O连在一起， 使 AA ， BBO可以绕着点 0 自由转动， 就做成了一个测量工件， 则 A B 的长等于内槽宽 AB，那么判定 AOB A OB 的理由是（）B7 边角边角边角边边边角角边解题思路：新的数学课程标准加强了数学知识的实践与综合应用，从各地的中考应用题可以看出，它已不再局限于传统而古老的列方程（组） 解应用题这类题目，而是呈现了建模方式多元化的新特点， 几何应用题就是其中之一 本题利用全等三角形来解决实际中的工件的测量问题，其理论依据是“边角边”，故答案为最新考题三角形是平面几何的重要知识， 是历年中考的主要内容之一，主要考查三角形的性质和概念、 三角形的内角和定理、三边关系定理、三角形全等的性质与判定、三角形中位线定理以及特殊三角形（等腰三角形、直角三角形）的性质与判定等。考题以选择为主要考查形式，也将三角形与四边形、 圆等知识组成综合性题目进行考查，而三角形的运动、折叠、拼接形成新数学问题也逐渐增加。考查目标一、三角形的有关性质例 1（ 2009 年济宁市）如图，ABC中， A70， B 60，点 D在 BC的延长线上，则 ACD等于AA. 100 B. 120 C. 130 D. 150解题思路：运用三角形外角的性质，答案CBCD例 2(2009年义乌 ) 如图，在 ABC 中，C 90。，EF/AB, 150。, 则B 的度数为（ ）A 50。B.60。C.30。D.40。解题思路：运用三角形内角和定理，答案D例 3（ 2009 年湖北十堰市）下列命题中，错误的是（）A三角形两边之和大于第三边B三角形的外角和等于360C三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分D等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形解题思路：等边三角形不是中心对称图形，答案D练习1、等腰三角形一腰上的中线分周长为15 和 12 两部分，则此三角形底边之长为（）A、 7B、11C、 7 或 11D 、不能确定A2、如图，在 ABC中， A800， ABC和 ACB的外角平分BC8EFD第 6 题图线相交于点D，那么 BDC。答案 1.C 2.50 0考查目标二、三角形三边关系例 1 长为 2，3，5 的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，它能构成直角三角形吗？为什么？解题思路： 可以，设延伸部分为a ，则长为 2a ， 3a ，5 a 的三条线段中， 5a最长， (2a)(3a)(5a)a0只要 a0 ，长为 2a ， 3a ， 5a 的三条线段可以组成三角形设长为 5a 的线段所对的角为，则为 ABC的最大角又由(2)2(3)2(5)2212aaaa当a212 0，即a23时，为直角三角形。ABC例 2 (2009 年温州 ) 下列长度的三条线段能组成三角形的是()A 1cm， 2cm ， 3 5cmB 4cm， 5cm ， 9cmC 5cm， 8cm， 15cmD 6cm， 8cm， 9cm解题思路：三角形任意两边之和大于第三边答案： D练习：已知三角形的两边长分别为3cm和 8cm，则此三角形的第三边的长可能是（）A 4cmB 5cmC 6cmD 13cm答案： C考查目标三、三角形全等例 1（ 2009 年浙江省绍兴市）如图，D， E 分别为 ABC 的 AC ， BC 边的中点，将此三角形沿 DE 折叠，使点 C 落在 AB 边上的点 P 处若 CDE48，则 APD 等于（）A 42B 48 C 52 D 58 解题思路：折叠前后的两个三角形全等，CDEEDP48,CD=DP=AD,再利用三角形中位线定理，答案B例 2、（ 2009 陕西省太原市）如图， ACB A C B ，BCB =30，则ACA 的度AA9BBC数为（）A20B30C35D40解题思路： ACB A C B ，BCBACA 选 B例 3（ 2008 年苏州）如图，四边形ABCD的对角线 AC与 BD相交于 O点， 1 2， 3 4求证：（ 1） ABC ADC；（2） BO DOB解题思路：A132C证明：（ 1）在 ABC和 ADC中O 412DACAC34 ABC ADC（2） ABC ADC， AB AD又 1 2， BO DO练习。如图， ABC中，点 D 在 BC上，点 E 在 AB上， BD BE，要使 ADB CEB，还需添加一个条件（1）给出下列四个条件： ADCE AECDBACBCAADBCEB请你从中选出一个能使 ADB CEB 的条件，并给出证明；你选出的条件是证明：（2）在（ 1）中所给出的条件中，能使 ADB CEB 的还有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号：答案：第（ 1）题添加条件，中任一个即可，以添加为例说明（ 1）证明： AE CD， BE BD， AB CB，又 ABD CBE， BE BD ADB CEB（ 2）10过关测试一、 选择题1 下列说法正确的是-（）A、三角形的角平分线是射线。B、三角形三条高都在三角形内。C、三角形的三条角平分线有可能在三角形内，也可能在三角形外。D、三角形三条中线相交于一点。2、在 Rt 中，两个锐角关系是-（）A、互余B 、互补C、相等D 、以上都不对3、以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的是-（）A、 7 ， 8 ， 15 B、15 ， 20 ， 5C、 6 ， 7 ， 5 D、7 ， 6 ， 14 4、下列图中， 是全等的图形是-（）ABCD5 在 ABC中， A=390， B=410 ，则 C 的外角度数为 -（）A 80度 B100 度 C 90度 D 70度6、如图所示，若ABC DEF， BC=FE，AB=ED，则图中 B 的对应角是（）A、 CB、 FBCC、 ED、 DAD7如图， ABC的两条高线 AD， BE交于点 F，FE00） BAD=45， C=60，则 BFD的度数为（A 60 度 B 65度 C 75度 D 80度8在 ABC中， AD为 BC边的中线，若 ABD与 ADC的周长差为 3， AB=8，则 AC的长为 -（）A 5 B 7C 9 D 1 1119如图， ABC的内角平分线交于点0O，若 BOC=130，则 A 的度数为 -（）A 100 度 B 90 度 C 80度D 70 度10.我们知道三角形的内角和为180 ,而四边形可以分成两个三角形,故它的内角和为2180360 , 五边形则可以分成3个三角形 , 它的内角和为 3180540 ( 如图 ), 依次类推 ,则八边形的内角和为 ()1个三角形2个三角形3个三角形A.900B.1080C.1260D.144011根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC的是（）A.AB 3，BC 4， AC 8；B.AB 4， BC 3， A 30；C. A 60， B 45， AB 4；D.C 90， AB 612. 在 ABC 和 A BC中 , AB=A B , B= B ,补充条件后仍不一定能保证ABC A B C ,则补充的这个条件是()A BC=B CB A= AC AC=A CD C=C二、填空题1三角形ABC中， A 是 B 的 2 倍， C 比 A B 还大 12 度，则这个三角形是三角形2以三条线段3、 4、 x 5 为这组成三角形，则x 的取值为3. 直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数_4. 如图已知： ABC DBE， A=50， E=30则 ADB=度， DBC=度5. 如图已知： AD是 ABC的对称轴，如果 DAC=30?， DC=4cm，那么 ABC的周长为cm 。126. 如图已知： ABC中， AB=AC， AB 的垂直平分线 DE交 AC于 E，垂足为 D，如果 A=40?，那么 BEC=；如果 BEC的周长为20cm，那么底边BC=。三、解答题1. 如图，已知 MON的边 OM上有两点 A、 B，边 ON上有两点 C、 D，且 AB CD，P 为 MON的平分线上一点。问：（ 1） ABP与 PCD是否全等？请说明理由。（ 2） ABP与 PCD的面积是否相等？请说明理由。MBAPOCDN2、如图，在锐角4 题图D，求证： ACABC中， ABC 2 C， ABC的平分线与 AD垂直，垂足为2BD。AEDBC3 题图3.如图已知： RtABC中， C=90， DEAB 于 D，BC=1， AC=AD=1。求： DE、BE 的长。134. 如图已知： ABC中， BC=2AB， D、E 分别是 BC、 BD的中点。求证： AC=2AE5. 如图已知： ABC中， ABC的平分线与 ACB的外角平分线交于 D，DEBC交 AB于 E，交 AC于 F。求证： BE=EF+CF6. 若ABC的三边长分别为222+2ABC是直角三角形m-n ， m n ， 2mn。（ m>n>0）求证：14参考答案一 .1.D 2.A .3.C 4. C 5.A 6.C 7.A 8.A 9.C 10.B 11.C 12.C二.1.钝角 2. 6 x<12 3. 45或 135 4. 50 ， 20 5. 24 6.30?， 8cm三、 1.（ 1）不一定全等，因ABP与 PCD中，只有 AB CD，而其它角和边都有可能不相等，故两三角形不一定全等。（ 2）面积相等，因为OP为 MON平分线上一点，故P 到边 AB、CD上的距离相等， 即 ABP中 AB 边上的高与 PCD中 CD边上的高相等， 又根据 AB CD（即底边也相等）从而ABP与 PCD的面积相等。2. 提示：延长 AD交 BC于点 M。3. 解： BC=AC=1 C=90，则： B=45222AB=BC+AC=2， AB=2又 DE AB， B=45 DE=DB=AB-AD= 2 1 BE=2DE=2（21） =224. 证明：延长 AE 到 F，使 AE=EF，连结 DF，在 ABE 和 FDE中，BE=DE， AEB= FEDAE=EF ABE FDE（ SAS） B=FDE，DF=ABD为 BC中点，且BC=2AB DF=AB= BC=DC而： BD=BC=AB， BAD=BDAADC=BAC+B，ADF=BDA+FDE ADC=ADF