2015年上海市高三三模浦东新区数学试卷(文科含答案).docx

2015 年上海市高三三模浦东新区数学试卷(文科含答案2015.5注意 :1. 答卷前 ,考生务必在答题纸上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚 ; 2. 本试卷共有 23 道试题 ,满分 150 分,考试时间 120 分钟 .一、填空题 :(本大题满分 56 分,每小题 4 分本大题共有 14 小题 ,考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果 ,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分 . 1.若集合13A x x =,集合2B x x =<, 则 AB = 1,2 .2.函数 2(,(2f x x x =<- 的反函数是(4y x => . 3.过点 (1,0 且与直线 02=+y x 垂直的直线的方程210x y -= .4.已知数列 n a 为等比数列 ,前 n 项和为 n S ,且 3245+=S a ,3256+=S a 则,此数列的公比 q 3 .5.如果复数 z 满足 2=-+i z i z (i 是虚数单位 ,则|z 的最大值为 1 .6.函数 x y 2cos =的单调增区间为,2 k k-(Z k .7.行列式 42354112k-中第 2 行第 1 列元素的代数余子式的值为10-,则实数 k = 14- . 8.设 21,F F 是双曲线 12422=-y x 的两个焦点 ,P 是双曲线上的一点 ,且 2143PF PF =,则 21F PF ?的周长 24 .9.设 A 、B 、 C 、D 是球面上的四个点 ,且在同一个平面内 ,1=DA CD BCAB ,球心到该平面的距离是球半径的23 倍 ,则球的体积是 328. 10.从 3 名男生和 4 名女生中选出 4 人组成一个学习小组 .若这 4 人中必须男女生都有的概率为3435.11.数列 n a 中 ,111nn na a a +=-且 12a =,则数列 n a 前 2015 项的积等于 3 . 12.若,a b c 均为平面单位向量 ,且333(,22a b c +-=,则 c = 12?- ? ?.(用坐标表示13.已知 (,P x y 满足约束条件 301010x y x y x +-?-? -? ,O 为坐标原点 ,(3,4A ,则 c o s OP A O P 的最大值是 115. 14.记符号 12min ,n c c c 表示集合 12,n c c c 中最小的数 .已知无穷项的正整数数列 n a 满足 (1N i i a a i *+ ,令(min |,kn bn a k k *= N ,若 21k b k =-,则数列 n a 前 100 项的和为 2550 .二、选择题 (本大题共有 4 题,满分 20 分 每小题都给出四个选项 ,其中有且只有一个选项是正确的 ,选对得 5 分 ,否则一律得零分 .15.二元一次方程组111222,a xb yc a x b y c +=? +=? 存在唯一解的必要非充分条件是( DA .系数行列式 0D B .比例式 1122a ba bC .向量 1122,a b a b? ?不平行 D . 直线 111222,a x b y c a x b y c +=+=不平行 16.用符号 (x 表示不小于x 的最小整数 ,如 (4 =,(1.21-=-.则方程 (12x x -=在 4,1(上实数解的个数为 ( D A .0B .1 C .2 D .317.已知 P 为椭圆 2214x y +=的左顶点 .如果存在过点 (00,0,0M x x > 的直线交椭圆于 A B 、两点 ,使得 2AOB AOP S S =,则 0x 的取值范围为 (CA .(B .C .(1,2D .(1,+18.在圆锥 PO 中,已知高 PO =2,底面圆的半径为1;根据圆锥曲线的定义 ,下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线,其中点 M 为所在母线的中点 ,O 为底面圆的圆心 ,对于下面四个命题 ,正确的个数有 ( C圆的面积为4;双曲线两渐近线的夹角为4 arcsin5;.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个三、解答 (本大 共有 5 题, 分 74 分解答下列各 必 写出必要的步 .19.(本 分 12 分本 共有 2 个小 ,第 (1 小 分 5 分 ,第(2 小 分 7 分.如 ,边长为 2 的正方形 ABCD 所在平面与 O 所在平面相交于CD,CE 为圆 O 的直径 , 段CD 为圆 O 的弦 ,AE 垂直于 O 所在平面 ,且1=AE.(1 求异面直 CB 与 DE 所成角的大小 ;(2 将 A C D?(及其内部 AE 所在直 旋 一周形成一几何体,求 几何体体 .解 :(1 因 DACB/,AE 垂直于 O 所在平面 ,所以 DEAE,所以 ,ADE 异面直 CB 与 DE 所成的角 2分在 AEDRt? 中,1=AE,2=DA, 所以21sin=ADE, 得6=ADE,即异面直 CB 与 DE 所成的角 6. 5分 (2 由 意知 ,将 ACD?(及其内部 AE 所在直 旋 一周形成一几何体的体 是两 的体 之差.因 异面直 CB 与 DE 所成的角 6,且 DACB/,所以6=ADE,7 分又因 1=AE,所以 ,在 AEDRt? 中,3=DE,2=DA9分因 CE 为圆 O 的直径 ,所以2=CDE,在 CDERt? 中,2=DA CD ,3=DE , 所以 7=CE 10分所以 几何体的体 34313122=? ? -? ? =AE DE AE CE V 12分 20.(本 分 14 分本 共有 2 个小 , 第 (1 小 分 6 分 ,第(2 小 分 8 分 .如 在半径 5cm 的 形的材料中 ,要截出一个 “十字形 ”ABCDEFGHIJKL ,其 一正方形的四角截掉全等的小正方形所形成的 形 .(O 心(1 若要使截出的 “十字形 ”的 相等 (DE CD =( 图 1,此 多少 ? (2 若要使截出的 “十字形 ”的面 最大 (图 2,此 DOE 多少 ?(用反三角函数表示图 (1 图(2解:(1 当“十字形 ”的 相等 ,过 O 作 DE OM 交 DE 于 E ,作 CN OM 交OM于 N .设该 “十字形 ”的 2x ,则 DM x =,3OM x =. 在 OMD Rt ? 中 ,由勾股定理得 ,(2525322=? =+x x x5分 所以 ,边长 cm x52=6 分 (2 过 O 作 DE OM 交 DE 于 E ,作 CN OM 交 OM 于 N . DOM =,则 5cos ,5sin OM DM =.5sin ON CN =,5cos 5sin NM =-.8 分所以 , “十字形 ”的面 2222(24(100cos 100(cos sin S OM NM-=-12?=+-( 其中 cos ?=21tan =? ?<<20分10所以 ,当 22?=+时,(2max 1550cm S -= 12分此 ,552arccos22-= DOE或 21arctan 2- 分1421.(本 分 14 分本 共有 2 个小 ,第 (1 小 分 6 分 ,第(2 小 分 8 分. 设函数 (x f 任意 R x ,都有 (2(x f a x f ? =,其中 a 常数 .当 2,1x 时,2sin(x x f=.(1 设 0>a ,(x f 在 8,4 x 的解析式及其 域 ; (2 设 01<-a ,求(x f 在,1 +x 的 域 . 解 :(1 当 8,4x 时 ,于是2,14 x,又 (2(x af x f = 所以 4(2(2x f a x af x f = 即 8sin(2x a x f=3分 x 8,4 <?82x2(0a x f?<即(x f 在 8,4x 的 域 ,0(2a6分(2 由于 2,22,22,22,1,11322+= +n n只研究函数 (x f 在(2,21N n n n + 域即可 7分 于 x (2,21N n n n +得 2,12nx于是 2(2(2(22nn x f a x f a x af x f = 所以 2sin(1+=n nxa x fx (2,21N n n n +9分 <+122n x? 12sin(01 <+n x因 01<-a所以当 n 偶数 ,(x f 在(2,21N n n n +上 减 , 域 ,0(n a ;且 ? ,0(,0(,0(1,0(242ka a a分10当 n 奇数 ,(x f 在 (2,21N n n n +上 增 , 域 0,na且 ? -0,0,0,0,1253k a a a a 分 所12以 (x f 的 域为 1,0(0, a 分1422.(本 分 16 分本 共有 3 个小 ,第(1 小 分 4 分,第 2 小 分 6 分,第 3 小 分 6 分 .已知在数列 n a 中,11=a .(1 设 121+=+n n a a (*N n ,求数列 n a 的通 公式 ; (2 若 ? +=+奇数时当为偶数时当 n a n a a nn n 211,求数列 n a 的前 m 2 项和 m S 2;（3）当 an11时，是否存在一个常数 p ，使 a2npa2n1对任意正整数 n 都 an1成立？如果存在，请求出p 的值，并证明；如果不存在，请说明理由 解： （1）由题意 an12an，1令 an1x2anx ，比较得到 x1， 故有 an112an1 ，所以数列a n1 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列， ,2分 因此 an122 n12，n所以 an2 n1， nN。,4分 （2）由题意可知 a2n1a2n，1a2n2a2n 1，所以 a2n12a2n1，1由 a11，可得到 a2n 112 n， a2n12 n1， nN 所以 a2n111，1所以数列a2n11 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列， 又因为 a2n22a2n12a2n1 ，所以 a2 n22a2 n2 ,6分 由 a 22，同样可以求得 a2n2 n12， nN ,8分所以 S 2ma1a2a3a4a2m1a2ma1a3a2m1a2a4a2m22 22 mm2 2232 m12m(2 m 12m(2 m 242m32 m 13m，即 6S 2m32 m13m6 ,10分 1 （3）因为 f ( x在0,上单调递减且 f ( x0， x1由 an1f (an， a11可知数列an中的各项均满足 0an1由要证明不等式的结构可令 f ( xx ，解得 x故猜想：0a 2 n5，12 51a2 n1，1 ,13分2 1 1 2 ， a3f (， 2 2 3 下面用数学归纳法证明：证明：（ i）当 n1时， a2所以 0a 251a3，1命题成立；2 （ii ）假设 nk kN时，命题成立，即有 0a 51f (a2 k1f (1 2 2k由于 f ( x在区间0,上单调递减， 所以 f (0f (a 2 kf (即 05 1a2 k11， 2 1 51a2k 2a 2 k1 1， 2 2再次利用函数 f ( x 在区间0,上单调递减， 得到 f (0f (a 2 k2f ( 即 051f (a2 k1f ，(1 2 1 5 1a2k 2a 2 k31 ， 2 2 所以 nk1时命题也成立， 51所以 0a 2 na2 n 11 2 51即存在常数 p，使 a2npa2n1对任意正整数 n 都成立。 ,16分2 23 （本题满分 18 分）本题共有3 个小题，第（ 1）小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分. 如图，矩形 ABCD 中， AB2, BC4，以矩形ABCD 的 中心为原点， 过矩形 ABCD 的中心平行于 BC 的直线为 x 轴， 建 立直角坐标系， （1）求到直线 AD 、BC 的距离之积为1 的动点 P 的轨迹； （ 2）若动点 P 到线段 CD 中点 N 的距离比到直线 AB 的距 离大 4，求动点 P 的轨迹方程，作出动点 P 的大致轨迹； A 2 B 4 D C （3）若动点 P 到直线 AD 、 BC 的距离之积是到直线 AB 、CD 的距离之积的aa0倍，求动点 P 的轨迹方程，并指出是怎样的曲线解： （1）如图，设 P ( x, y ，则 y1y11. ,2 分化简得 y2或 y0 .故动点 P 的轨迹为三条平行线；,4分 （2） yx22y 2x24. ,6分-2 O x y 28x2x2.,8分0,y216x2,x2,x作2图.如图，一条抛物线和一条射线。a x2x2 . 2 2 2 化2简得0 ,10 y分 （3）设1a x2 2即2 ax2P ( x, y ,则4y4ayy1或11axya xy144a1a0. ,13分 1 当a时，两条相交直线和椭圆；,14分 4 当a1时，双曲线和圆；,16分 1 当a且a1时，双曲线和椭圆。,18分4