高考数学一轮复习人教A版第54课平面向量的基本定理与坐标运算学案(江苏专用).docx

名校名 推荐第 54 课 平面向量的基本定理与坐标运算1. 了解平面向量的基本定理及其意义.2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1. 阅读：必修 4 第 74 81 页 .2.解悟：平面向量基本定理；平面向量的坐标表示；结合第78 页例 4 能得到什么一般性的结论吗？3.践习：在教材空白处，完成第82 页习题第7 16 题 .基础诊断1.(4， 6) .设向量 AB (2， 3)，且点 A 的坐标为 (2， 3)，则点 B 的坐标为解析：设点，3) (x 2， y 3)，所以B 的坐标为 (x， y)， ABOB OA (x， y)(2x 2 2，x 4，解得故点 B 的坐标为 (4，6).y 33，y 6，2.已知向量 a (1，1)， b ( 1，1) ，c (4，2)，则用向量 a，b 表示向量 c3a b.xy 4，解析：设 c xayb，所以 (4， 2) x(1， 1) y( 1， 1) (x y， x y)，所以xy 2，x 3，解得故 c3a b.y 1，3. 如图所示，设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点， 给出下列向量组： AD 与 AB ； DA 与 BC ； CA 与 DC ； OD 与 OB . 其中，可作为该平面内其他向量的基底的是.(填序号 )解析：因为 AD与 AB ， CA与 DC不共线，所以可以作为该平面内其他向量的基底；因为 .DA 与 BC ， OD与 OB共线，所以不可作为该平面内其他向量的基底，故选4. 已知向量 a (3，1)， b (1， 3)， c (k，7) ，若 (a c) b，则 k5 .解析：由题意得 a c(3 k，17) (3 k， 6).因为 (a c) b，所以 3(3 k) ( 6) 1 0，解得 k 5.范例导航1名校名 推荐考向 ?平面向量的基本定理例 1 如图所示，在OCB 中， C 是以 A 为中点的点两B 的对称点， D 是将 OB分为 2 1部分的一个内分点，DC 和 OA 交于点E，设 OA a， OB b.(1) 用 a 和 b 表示向量 OC， DC ；(2)若 OE OA ，求实数 的值 .解析： (1) 2 由题意知， A 是 BC 的中点，且 OD OB.3 由平行四边形法则得 OB OC2OA，所以 OC 2OA OB 2a b. 25b.DC OCOD (2a b) b 2a33(2) 由图可知，所以存在实数EC与 DC共线，t，使 EC tDC . 5b，因为 EC OC OE (2a b) a(2 )a b， DC 2a35所以 (2 )a b 2ta tb，32 2t，4所以5解得 .1t，534故实数 的值为 5.3 在 ABC 中， P 为边 BC 上一点，且 BP PC.2 23 ；(1) 用 AB， AC为基底表示 APAB AC55 3 3 5 3 2 解析：因为 BP PC，所以 AP AB(AC AP)，所以2APAB AC，即 AP AB22252名校名 推荐3 5AC.3 .(2) 用 AB， PC为基底表示 APABPC2 3解析： AP ABBP ABPC.2考向 ?平面向量的坐标运算例 2 已知向量 a (3， 2)，b ( 1， 2)， c (4， 1).(1) 求满足 ambnc 的实数 m，n 的值；(2) 若 (a kc) (2b a)，求实数 k 的值；(3) 若 d 满足 (d c)(a b)，且 |d c|5，求 d 的坐标 .解析： (1) 由题意得 (3，2) m( 1，2) n(4， 1)，5 m 4n 3，m9，所以解得82mn 2，n，9故 m 的值为 5， n 的值为 8.99(2) a kc (3 4k， 2 k)， 2b a( 5， 2)，由题意得 2 (3 4k) (5) (2 k) 0，16解得 k 13.(3) 设 d (x， y)，则 d c (x 4，y 1).又 a b (2， 4)， |d c|5，4（ x 4） 2（ y 1） 0，所以（ x 4）2（ y 1） 2 5，x 3，x 5，解得或y 1y 3，所以 d 的坐标为 (3， 1)或 (5， 3).已知点 A(2，3)，B(5 ，4)，C(10，8)，若 AP AB AC( R)，则当点 P 在第二象限时，的取值范围为解析：设点4，5.58P 的坐标为 (x， y).因为 AP AB AC ，所以 (x 2， y3) (3， 1) (8， 5)x2 3 8，x 5 8，58<0 ，(3 8，1 5)，所以即因为点 P 在第二象限， 所以y3 1 5，y 4 5.4 5>0 ，3名校名 推荐4 5解得 5<< 8.考向 ?平面向量基本定理的综合应用例 3如图，已知 ABC 的面积为14，D ，E 分别为边 AB ，BC 上的点，且 AD DB BE EC2 1， AE 与 CD 交于点 P.设存在 和 ，使得 AP AE ， PD CD， AB a，BC b.(1) 求 及 的值；(2)用 a， b 表示 BP；(3)求 PAC 的面积 .解析： (1) b，因为 AB a， BC1ab.所以 AE a2b， DC 3321又因为 AP AE (a3b)， DP DC 3a b ， 1AP AD DP 2AB DP 2a a b ，333212b ，所以 a 3a b a332 16，33，7所以解得4.2，37 6214(2) BP BA AP a 7a3b 7a7b.(3) 设 ABC、 PAB、 PBC 的高分别为h、 h1、h2.4，因为 h1h |PD| |CD | 7所以 S 4 8.PABS ABC71又因为 h2 h |PE|： |AE| 1 7，所以 S 1 2，PBC7SABC所以 S PAC S ABC S APB S PBC 4.若 a， b 是一组基底，向量c xa yb(x，yR)，则称 ( x，y)为向量 c 在基底 a， b 下的4名校名 推荐坐标，现已知向量在基底 p (1， 1)， q(2， 1)下的坐标为 ( 2， 2)，则 在另一组基底 m ( 1， 1)， n (1，2)下的坐标为(0， 2) .解析：因为 在基底 p， q 下的坐标为 (2， 2)，即 2p 2q 2(1， 1) 2(2， 1)(2 ，4).令 xm yn，则 (2， 4) x( 1， 1) y(1， 2) ( x y， x 2y)， x y 2，x 0，所以解得y 2，x 2y 4，所以 在基底 m， n 下的坐标为 (0，2).自测反馈1. 已知 a， b 不共线，且 c a b，d a (2 1)b，若 c 与 d 同向，则实数 的值为1 .解析：因为c 与 d 同向，所以设c kd(k>0)，所以 a b ka (2 1)b ka k(2 k，解得 111)b，所以或 .因为 k>0 ，所以 1.k（ 2 1） 1，22.3，4.已知点 A(1 ， 3)， B(4 ， 1)，则与 AB 同方向的单位向量为5522同方向的解析：由题意得， AB (3， 4)，所以 |AB |3 （ 4） 5，所以与 AB134单位向量eAB，. (3 ， 4)555|AB|3. 如图，已知 |OA| |OB |1，OA 与 OB 的夹角为120，OC与 OA的夹角为30，若OC2 .OA OB( ， R)，则解析：如图，根据平行四边形法则将向量OC沿 OA与OB方向进行分解 .由题意可知 OCD90，所以在 Rt OCD 中， sin COD CD |OB| sin 30 1，所以 2.OD2|OA|4. 已知平行四边形 ABCD 中 A( 1，0)，B(3 ，0)，C(1， 5)，则点 D 的坐标为( 3，5).解析：由题意可知，AD BC.设点 D 的坐标为 (x， y)，所以 (x 1， y) ( 2， 5)，所5名校名 推荐x 1 2，x 3，以解得故点 D 的坐标为 (3， 5).y 5，y 5，1. 向量的线性运算 (加法、 减法、实数与向量的积 )可转化为坐标运算， 借助坐标运算讨论平行共线、向量表示等，可使问题简单，目标明确.2. 应用等价转化思想处理问题，如点共线转化为向量共线，基底的转化等.3. 你还有哪些体悟，写下来：6名校名 推荐7