恒成立问题基本题型 (2).doc

恒成立问题基本题型及解题方法恒成立问题一直以来都有是数学中的一个重点、难点，这类问题也没有一个固定的思想方法去处理，各类考试以及高考中都屡见不鲜。如何更好地简单，准确，快速解决这类问题并更好地认识把握，本文通过举例说明这类问题的一些常规解题方法。一 转化为二次函数，利用分类讨论思想解题例1 已知函数f(x)=x2-2ax+4在区间-1，2 上都不小于2，求a的值。解：由函数f(x)=x2-2ax+4的对称轴为x=a所以必须考察a与-1，2的大小，显然要进行三种分类讨论1当a2时f(x)在-1，2上是减函数此时= f(2)=4-4a+4 即a 结合a2，所以a的解集为2当a 时 f(x)在-1，2上是增函数， = f(-1)=1+2a+4结合a 即 3当-1<a<2时 = f(a)=a2-2a2+4 即a 所以综上1，2，3满足条件的a的范围为：二 确定主元，构造函数，利用单调性解题例2对于满足0a4的所有实数a求使不等式x2+ax>4x+a-3都成立的x的取值范围。解：不等式变形为x2+(x-1)a-4x+3>0设f(a)= (x-1)a+x2-4x+3，则其是关于a的一个一次函数：是单调函数结合题意有即 得或三 利用不等式性质解题例3若关于的不等式|x-2|+|x+3|a恒成立，试求a的范围解：由题意知只须由 所以 四 构造新函数，利用导数求最值：例4已知 若当时在0，1恒成立，求实数t的取值范围。解：在0，1 上恒成立，即在0，1上恒成立令 则须F(x)在0，1上的最大值小于或等于0所以 又所以即在0，1上单调递减所以 即 得 （说明：若将恒成立改成有解，即在0，1上有解，则应F(x)min。）五 分离参变量，变换成函数问题例5 已知二次函数对恒有，求的取值范围。解： 对恒有即变形为 当时对任意的都满足只须考虑的情况 即要满足题意只要保证比右边的最大值大。现求在上的最大值。令 （） 所以又是二次函数所以且 六 利用数形结合解题 例6：不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。xy03解：画出两个函数和在上的图象如图知当时，当 时总有所以2