线面积分习题课.ppt
习题课,线面积分的计算,一、曲线积分的计算法,1. 基本方法,曲线积分,第一类 ( 对弧长 ),第二类 ( 对坐标 ),(1) 统一积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2) 确定积分上下限,第一类: 下小上大,第二类: 下始上终,(1)计算,其中L为圆周,提示: 利用极坐标 ,原式 =,说明: 若用参数方程计算,则,其中L为摆线,上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.,提示:,(2),其中由平面 y= z截球面,提示: 因在 上有,故,原式 =,从 z 轴正向看沿逆时针方向.,(3),(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;,(2) 利用积分与路径无关的等价条件;,(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ;,(4) 利用斯托克斯公式 ;,(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .,2. 基本技巧,例1 已知 L的长度为a，求,解： 即3x2+4y2=12，所以,又L关于x轴对称，而sin(xy)关于y为奇函数，所以,于是 I = 12a。,又如,逆时针方向，则,例2. 计算,其中 为曲线,解: 利用轮换对称性 , 有,利用重心公式知,(的重心在原点),例3. 计算,其中L 是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1 令,则,这说明积分与路径无关, 故,a 为半径的上半圆周.,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),思考:,(2) 若 L 同例3 , 如何计算下述积分:,(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:,则,添加辅助线段,思考题解答:,(1),(2),解：L：即 。 所以,注： 应充分利用L的方程简化被积函数。,例5 设L是分段光滑的简单闭曲线，取正向，点（2，0）和（2，0）不在L上。计算,解：,(x，y)(2，0)或(2，0),（1）当点(2，0)和(2，0)均在 L所围区域D外时,以(2，0)为圆心，充分小的正数为半径作圆L1，取正向，则有：,L1,（3）当点(2，0)和(2，0)均在D内时,2,2,x,L1,L,O,L2,例10 设Q(x，y)具有连续的一阶偏导数，曲线积分 与路径无关，且对任意的实数t，恒有 ，求Q(x，y)。,解：由积分与路径无关知,取折线作为积分路径,先积x,左端,由题设有,两端对t求导,所以,右端,先积x,计算,其中L为上半圆周,提示:,沿逆时针方向.,(4).,设在右半平面 x 0 内, 力,构成力场,其中k 为常数,证明在此力场中,场力所作的功与所取的路径无关.,提示:,令,易证,(5),(6)求力,沿有向闭曲线 所作的,功,其中 为平面x + y + z = 1被三个坐标面所截成三,提示:,方法1,从 z 轴正向看去沿顺时针方向.,利用对称性,角形的整个边界,设三角形区域为,方向向上,则,方法2,利用斯托克斯公式,7解,二、曲面积分的计算法,1. 基本方法,曲面积分,第一类( 对面积 ),第二类( 对坐标 ),二重积分,(1) 统一积分变量 代入曲面方程,(2) 积分元素投影,第一类: 始终非负,第二类: 有向投影,(3) 确定二重积分域, 把曲面积分域投影到相关坐标面,思 考 题,1) 二重积分是哪一类积分?,答: 第一类曲面积分的特例.,2) 设曲面,问下列等式是否成立?,不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关,2. 基本技巧,(1) 利用对称性及重心公式简化计算,(2) 利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(辅助面一般取平行坐标面的平面),(3) 两类曲面积分的转化,练习:,其中为半球面,的上侧.,且取下侧 ,提示: 以半球底面,原式 =,记半球域为 ,高斯公式有,(1)计算,为辅助面,利用,例1.,证明: 设,(常向量),则,单位外法向向量,试证,例2. 计算曲面积分,其中,解:,思考: 本题改为椭球面,时,应如何,计算 ?,提示:,在椭球面内作辅助小球面,内侧,然后用高斯公式 .,解：,例3. 设是曲面,解: 取足够小的正数,作曲面,取下侧,使其包在 内,为xoy平面上夹于,之间的部分,且取下侧 ,取上侧,计算,则,第二项添加辅助面, 再用高斯公式 计算, 得,例6.计算曲面积分,中是球面,解:,用重心公式,例7.,设L 是平面,与柱面,的交线,从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算,解: 记为平面,上 L 所围部分的上侧,D为在 xoy 面上的投影.,由斯托克斯公式,D 的形心,证明：取z轴正向铅直向下，xOy平面位于液面上。液体中点(x，y，z)处的压强p=z。,物体的表面记为取外侧，在上任取一有向曲面元 dS=ndSdydz，dzdx，dxdy， n为上点(x，y，z)处的向外的单位法向量,即浸没在液体中的物体所受液体的压力,的合力（即浮力）的方向铅直向上，其大小,等于这物体所排开的液体的重力。,这有向曲面元受到的液体的压力 FzndS=zdS =-zdydz,dzdx,dxdy =dF=dFx，dFy，dFz,F = 0，0，V,(1)在任一固定时刻 ,此卫星能监视的地球表面积是,备用题 地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄,象机能监视其视线所及地球表面的每一处的景象并摄,像,若地球半径为R,卫星距地球表面高度为H =0.25R ,卫星绕地球一周的时间为 T , 试求,(2) 在,解: 如图建立坐标系.,的时间内 ,卫星监视的地球,表面积是多少 ?,多少 ?,(1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为,(2) 在,时间内监视的地球表面积为,点击图片任意处 播放开始或暂停,注意盲区与重复部分,其中S0 为盲区面积,(2)在,其中盲区面积,时间内监视的地球表面积为,
