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配方法应用举例湖北省枣阳市吴店镇二中 杜学兵 邮政编码：441214配方法是一种非常重要的数学方法，在解决数学问题上应用非常广泛、有效。下面结合实例对配方法的应用做以简单说明，以期对同学们有所帮助。一、用配方法可以分解因式。例1 将x2+4x+3分解因式。分析：在没有学过“十字相乘法”的情况下，采用配方法就非常方便了。解：x2+4x+3=（x2+4x+4）-1=（x+2）2-1=(x+2+1)(x+2-1)=(x+3)(x+1)二、用配方法可以判定二次三项式值的正、负性。例2 求证无论x取何值，代数式2x26x+5的值恒大于零。分析：同学们在没有学习二次函数之前，是无法解答的。若用配方法，这类问题就迎刃而解了。解：这是因为2x26x+5=2(x23x)+5=2(x23x+)+5=2(x)2+5=2(x)2+0。例3 求证：无论为何值，10y2+5y-4的值恒小于零。解：这是因为10y2+5y-4=-10（2）-4=-10(2+)-)-4=-10()三、用配方法可以求出二次三项式的最大值（或最小值）。例求当x取何值时，代数式2x-2x2-1的值最大？最大值是多少？分析：这是一道关于二次函数极值的问题，用配方法解答此题显得更浅显易懂。解：2x-2x2-1=-2（x2-x）-1=-2(x2-x+)-1=-2(x-)2-；因为无论x取何值 -2(x-)20,所以 -2(x-)2-，当x=时，代数式2x-2x2-1的值最大,最大值是-。例5 代数式4y2+8y-7有最大值还是有最小值？解：4y2+8y-7=4（y2+2y）-7=4(y2+2y+1)-1-7=4(y+1)2-11；因为4(y+1)20，所以4(y+1)2-11-11，故当y=-1时，代数式4y2+8y-7有最小值，最小值是-11。四、用配方法可以求出某些等式中字母的值。例6 已知a2+b2+c2+3=2(a+b+c)，求a3+b3+c3-3abc的值。分析：可以将已知等式通过移项、配方，再根据几个非负数的和等于零，则这几个非负数均为零，求出式子中各字母的值。解：由a2+b2+c2+3=2(a+b+c)，得(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)=0，(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0，则(a-1)2=0，(b-1)2=0，(c-1)2=0，所以a=b=c=1；故a3+b3+c3-3abc=0。五、用配方法可以使某些求代数式的值更简便。例7 已知a=2009，b=2010，c=2011，求a2+b2+c2-ab-ac-bc的值。分析：若直接将a、b、c的值代入求值，计算非常繁琐。若将所给代数式先配方，再代入求值，则可使计算较为简便。解：a2+b2+c2-ab-ac-bc=( 2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc)= (a2-2ab+b2)+(a2-2ac+c2)+(b2-2bc+c2)= (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2当a=2009，b=2010，c=2011时，原式=(2009-2010)2+(2009-2011)2+(2010-2011)2=3六、用配方法可以解一元二次方程。例8 解下列方程(1)4x2-300x+1400=0 (2)x2+17=8x分析：用配方法解一元二次议程的步骤是：（1）把方程的常数项移到方程的右边去；（2）把二次项的系数化为1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程变为(mx+n)2=p的形式；（4）当p0时，开平方求得方程的解；当p0时，原方程无实数解。解：（1）移项，得4x2-300x=-1400，二次项系数化为1，得x2-75x=-350，配方，得x2-75x+=-350， (x-)2=，由此可得x-=， x1=5，x2=30.(2) 移项，得x2-8x=-17，配方，得x2-8x+16=16-17, (x-4)2=-10所以原方程无实数根。七、用配方法可以求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。例9 已知函数y=3x2-24x+21，（1）该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当x取何值时，y随x增大而增大？x取何值时,y随x增大而减小？（3）当x取何值时，函数有最大值或最小值？并求出最值；（4）该函数图象可由y=3x2的图象怎样平移得到？分析：可将该函数配方成y=a(x-h)2+k(a0,h,k是常数)的形式，再根据二次函数y=a(x-h)2+k(a0,h,k是常数)的图象和性质解答。解：由函数y=3x2-24x+21，得y=3(x2-8x)+21=3(x2-8x+16)-16+21=3(x-4)2-27（1）因为a=30，所以该函数图象的开口向上，对称轴为直线x=4，顶点坐标为（4，-27）.(2)当x4时，y随x的增大而增大；当x4时，y随x的增大而减小.(3)当x=4时，函数有最小值-27。（4）该函数图象可由y=3x2的图象先向右平移4个单位，再向下平移27个单位而得到。3
