边缘分布与条件分布.ppt
第二节 边缘分布,边缘分布函数 离散型随机变量的边缘分布律 连续型随机变量的边缘概率密度 课堂练习,二维联合分布全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 什么关系呢?,二维随机变量 (X,Y)作为一个整体,一、边缘分布函数,分别记为,关系式:,记住：,一般地，对二维离散型随机变量 ( X,Y )，,(X,Y) 关于X 的边缘分布律（即X的分布律）为:,X和Y 的联合分布律为：,二、二维离散型随机变量(X,Y)的边缘分布律,(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律（即Y的分布律）为:,二维离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为:,我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.,例1 已知下列分布律求其边缘分布律.,解,注意,联合分布,边缘分布,例2 已知下列分布律求其边缘分布律.,例3 设随机变量,且满足PX1X2=0=1，求 （1）(X1 ,X2)的联合概率分布； （2） PX1 <X2； （3） PX1 =X2。,二维连续型随机变量(X,Y)的边缘概率密度即X,Y 各自的概率密度,分别记为：,三、二维连续型随机变量(X,Y)的边缘概率密度,同理由,可得关于 Y 的边缘概率密度,记住：,解,例3,注 在求连续型 r.v 的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分. 当联合密度函数是分片表示的时候，应特别注意所求边缘密度应如何分段以及积分限应如何选取.,解 （X，Y）的概率密度为,先计算,注 二维均匀分布的边缘分布也为均匀分布。,例 5 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.,解,因为,所以,则有,同理,注 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布 ,并且不依赖于参数 .,由边缘分布一般不能确定联合分布.,也就是说,对于给定的 不同的 对应,不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.,此例表明,例 5 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.,四、课堂练习,解,暂时固定,当 时,当 时,故,暂时固定,暂时固定,暂时固定,当 时,当 时,故,第三节 条件分布,离散型随机变量的条件分布 连续型随机变量的条件分布 课堂练习,在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 .,在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率,推广到随机变量,设有两个随机变量X,Y ， 在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.,这种分布就是条件分布.,例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布.,体重X,身高Y,体重X 的分布,身高Y 的分布,现在若限制 1.7<Y<1.8(米), 在这个条件下去求 X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布.,容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会不一样.,例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加 .,一、二维离散型随机变量的条件分布,实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复.,定义1 设 ( X,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若 PY = yj 0，则称,为在 Y = yj条件下随机变量X的条件分布律.,PX= xi |Y= yj =,，i=1,2, ,类似地可定义在 X= xi 条件下随机变量Y 的条件分布律.,PY= yj | X= xi =,j=1,2, ,对于固定的i,当PX = xi 0时，称,为在 X = xi条件下随机变量Y的条件分布律.,条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质. 正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质一样.,例如：,i=1,2, ,例1,解,由上述分布律的表格可得,二、二维连续型随机变量的条件分布,设(X,Y)是二维连续型随机变量，由于对任意x, y, PX=x=0, PY=y=0 ，所以不能象离散的一样直接用条件概率公式定义条件分布，要用到极限的方法，下面我们直接给出条件概率密度的计算公式.,设 X 和 Y 的联合概率密度为,关于 的边缘概率密度为 ,记为,记为,定义2,即,类似地,可以定义在 的条件下Y的条件概率密度 以及条件分布函数,例2 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为,求,解 X的边缘密度为,由于当|x|1时,只有当|x|<1时,才有,故只有当x取（-1,1）中的固定值时，才有,即 当 |x|<1 时,有,X的取值x已知， 即x是固定常数,这里是y的取值范围,X已知的条件下 Y 的条件密度,注 二维均匀分布的条件分布仍为均匀分布。,注 二维正态分布的条件分布仍为正态分布。,三、课堂练习,1 . 对于二维正态分布，在已知 X= x 条件下，求Y 的条件分布.,解,设,则其概率,密度为,X的边缘密度为,在 X= x 条件下，Y 的条件概率密度为,例3 . 设(X,Y)的概率密度是,求 .,( X,Y )关于 Y 的边缘概率密度为,解,当 时,综上,当 时,这一节，我们介绍了条件分布的概念和计算，并举例说明对离散型和连续型随机变量如何计算条件分布. 请课下通过练习进一步掌握.,四、小结,
