边际分析、弹性分析与经济问题的最优化.ppt
7-8 边际分析、弹性分析 与经济问题最优化,第七章,第八节,一、边际分析,二、弹性分析,三、经济问题的最优化,边际分析、弹性分析与经济,问题的最优化,一、边际分析,回忆一元函数:,y=f(x) 在 x=x0处的边际为,边际的经济意义:当 时, x 改变一个单位, y 改变,个单位 .,边际的实质: 反映了一种经济变量随另一种经济变量变化的快慢程度.,现实生活中，经常需要考虑一种经济变量随多个经 济变量变化的情况。例如, 某种品牌的电视机的销售 情况，除了受本品牌电视机的价格影响外 , 还受其他 品牌同类型电视机的价格的影响。边际的概念也可推 广到多元函数的情形。,一、边际分析,回忆一元函数:,y=f(x) 在 x=x0处的边际为,1. 定义：,边际的经济意义：,表示在(x0, y0)处，当y=y0保持不变，x每改变一 个单位，函数z=f(x,y)改变 个单位,表示在(x0, y0)处，当x=x0保持不变, y每改变一个单位，函数z=f(x,y)改变 个单位,例1 设Cobb-Douglas生产函数为 P(K, L) = 20K0.3L0.7。其中P表示产量、 K表示资本、 L表示劳动。求,解：,PK(1,1) 及 PL(1,1) ，并解释其含义。,PK(1, 1)= 6(1)-0.7(1)0.7 = 6,PK =6K-0.7L0.7 ，,含义: PK= 6 表示当劳动保持1个单位不变，且当资本为1个单位时，每增加一单位的资本，产量约增加6单位。称为资本的边际生产量。,P ,L=14K0.3L-0.3 ，,PL(1, 1)=14(1)0.3(1)-0.3 = 14,含义: PL = 14 表示当资本保持1个单位不变，且当劳动为一个单位时，每增加一单位的劳动，产量约增加14单位。称为劳动的边际生产量。,例2 已知某企业雇佣熟练工x人，非熟练工y人，日产量由二元函数 决定。已知该企业雇佣熟练工20人，非熟练工50人，若增加熟练工1人，问产量增加多少？,解：,根据题意，必须求得,因为,所以,日产大约会增加1800单位。,实际上，日产量增加的真实值为,2. 边际需求,设两种相关商品甲和乙的需求函数为：,两种商品彼此关系可分为为替代型还是互补型。 替代型：一种商品的需求增加时伴随的结果是另一种商品需求的减少。如国产汽车与进口汽车、猪肉和鸡蛋等。 互补型：一种商品的需求增加时，另一种商品的需求也跟着增加。例如高尔夫球杆与高尔夫球鞋、CD机和光盘等。,3、利用偏导数对两种商品之间性质进行解释,两种商品之间的关系:,假设有两种商品 A 与 B。p1 与 p2 分别表示商品 A 与 B 每单位的价格。函数 Q1（p1, p2） 表示商品 A 的需求函数，函数 Q2（p1, p2）表示商品 B 的需求函数。则函数恒有下列关系：,即： 商品 A 的价格 p1 上升，则商品 A 的需求量会下降。,商品 B的价格 p2 上升，则商品 B的需求量会下降。,3、利用偏导数对两种商品之间性质进行解释,两商品在价格 (p1, p2) 处为互补型 表示当商品 B 的价格上升时，商品 A 的需求量减少；当 A 的价格上升时，商品 B 的需求量减少。即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的减少。,两商品在价格 (p1, p2) 处为替代型 表示当商品 B 的价格上升时，商品 A 的需求量增加；当 A 的价格上升时，商品 B 的需求量增加。即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的增加。,例3 两种商品 A 与 B，当其价格分别为 x 与 y 时的需求函数为 f(x, y) = 300 - 6x2 + 10y2 (A的需求函数) g(x, y) = 600 + 6x - 2y2 (B的需求函数) 试问这两种商品为替代型还是互补型？,解：,所以，两种商品为替代型关系。,二、弹性分析,回忆一元函数:,y=f(x) 在 x处的弹性为,y=f(x) 在 x=x0处的弹性为,弹性的经济意义：表示在x= x0处,当 x改变1 时, y=f (x)改变了,弹性的概念也可推广到多元函数的情形。,二、弹性分析,回忆一元函数:,y=f(x) 在 x=x0处的弹性为,1. 定义：,二、弹性分析,1. 定义：,弹性的经济意义：,表示在(x0, y0)处，当y=y0保持不变时，x每改变1%，函数z=f(x,y)改变,表示在(x0, y0)处，当x=x0保持不变时, y每改变1%，函数z=f(x,y)改变,二、弹性分析,1. 定义：,偏弹性函数的定义：,假设有两种商品 A 与 B。P1 与 P2 分别表示商品 A 与 B 每单位的价格。函数 Q1（P1, P2） 表示商品 A 的需求函数，函数 Q2（P1, P2）表示商品 B 的需求函数。称：,为需求量对自身价格的直接价格偏弹性。称,2、需求价格偏弹性,为需求量对相关价格的交叉价格偏弹性。,例4 设某市场牛肉的需求函数为 Q14580-5P1+1000+1.5P2 其中牛肉价格P110,相关商品猪肉的价格P28.求 (1) 牛肉需求的价格偏弹性, (2) 牛肉需求的交叉价格偏弹性, (3) 若猪肉价格增加10%,求牛肉需求量的变化率.,解:,(1) 牛肉需求的价格偏弹性为,例4 设某市场牛肉的需求函数为 Q14580-5P1+1000+1.5P2 其中牛肉价格P110,相关商品猪肉的价格P28.求 (1) 牛肉需求的价格偏弹性, (2) 牛肉需求的交叉价格偏弹性, (3) 若猪肉价格增加10%,求牛肉需求量的变化率.,解:,(2) 牛肉需求的交叉价格偏弹性为,例4 设某市场牛肉的需求函数为 Q14580-5P1+1000+1.5P2 其中牛肉价格P110,相关商品猪肉的价格P28.求 (1) 牛肉需求的价格偏弹性, (2) 牛肉需求的交叉价格偏弹性, (3) 若猪肉价格增加10%,求牛肉需求量的变化率.,解:,3) 由需求的交叉价格偏弹性,得,即当相关商品猪肉的价格增加10%,而牛肉价格不变时,牛肉的市场需求量将增加0.02,也可用偏弹性函数来描述两种商品彼此为替代型还是互补型。,假设有两种商品 A 与 B。p1 与 p2 分别表示商品 A 与 B 每单位的价格。函数 Q1（p1, p2） 表示商品 A 的需求函数，函数 Q2（p1, p2）表示商品 B 的需求函数。因为函数恒有下列关系：,所以恒有：,3、用需求价格偏弹性对两种商品之间性质进行解释,若两商品在价格 (p1, p2) 处为替代型 因为： 则有： 表示当商品 A的价格不变，而商品 B 的价格上升时，商品 A 的需求量增加；当商品 B 的价格不变，而A 的价格上升时，商品 A的需求量增加。即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的增加，两种产品是替代关系。,若两商品在价格 (p1, p2) 处为互补型 因为： 则有： 表示当商品 A的价格不变，而商品 B 的价格上升时，商品 A 的需求量减少；当商品 B 的价格不变，而A 的价格上升时，商品 A的需求量减少。即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的减少，两种产品是互补关系。,小结：不同交叉弹性的值，能反映两种 商品间的相关性，具体就是：,当交叉弹性大于零时，两商品互为替代品； 当交叉弹性小于零时，两商品为互补品； 当交叉弹性等于零时，两商品为相互独立的商品。,例5 某种数码相机的销售量 , 除与它自身的价格 有关外，还与彩色喷墨打印机的价格 有关，具 体为,求 时 , (1) 对 的弹性 ;,(2) 对 的交叉弹性。,解,(1) 对 的弹性为,当 时，,(2) 对 的弹性为,当 时，,三、经济问题的最优化,例6：某企业生产两种商品的产量分别为x、y单位,利润函数为：L=64x-2x2+4xy-4y2+32y-14，求最大利润。,解：由极值的必要条件,解得唯一驻点(40,24).,由,可知,唯一驻点(40,24)为极大值点,亦即最大值点。,最大值为：L(40,24)=1650,例7：某厂生产A、B两产品,产量分别为x和y (单位:千件),利润函数为L=6x-x2+16y-4y2-2 (单位:万元);已知生产这两产品时,每千件消耗某原料2000公斤,现有该原料12000公斤,问两产品各生产多少,总利润最大？,解：,条件极值问题,拉格朗日函数,令,解得唯一驻点：,由实际意义可知,最大值为,答：当A生产3.8千件,B生产2.2千件时,利润最大,最大,利润为36.72万元。,小 结,1. 二元函数z=f(x,y)的边际定义：,边际的经济意义：,表示在(x0, y0)处，当y=y0保持不变，x每改变一 个单位，函数z=f(x,y)改变 个单位,表示在(x0, y0)处，当x=x0保持不变, y每改变一个单位，函数z=f(x,y)改变 个单位,2. 二元函数z=f(x,y)的弹性定义：,弹性的经济意义：,表示在(x0, y0)处，当y=y0保持不变时，x每改变1%，函数z=f(x,y)改变,表示在(x0, y0)处，当x=x0保持不变时, y每改变1%，函数z=f(x,y)改变,作业：P327： 1(1),2,8,复习第7章,
