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    2014年高考数学文科(高考真题+模拟新题)分类汇编:E单元不等式.docx

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    2014年高考数学文科(高考真题+模拟新题)分类汇编:E单元不等式.docx

    数学E单元不等式E1不等式的概念与性质xy5, 2014 山东卷 已知实数x, y 满足 a <a (0<a<1) ,则下列关系式恒成立的是()Bsin x>sin yCln( x2 1)>ln( y21)1 1D.x2 1>y2 15 A 解析 因为 ax ay(0 a 1),所以 x y,所以 x3>y3 恒成立故选 A.5 2014 四川卷 若 ab 0, cd 0,则一定有 ()A.a bB.a bd cdcC.a bD.a bc dcd5 B 解析 11 0,即 11 0,与 a b 0 对应相乘得,因为 c d 0,所以 dcdc ad bc 0,a b,故选 B.所以<d cE2绝对值不等式的解法9、 2014 徽卷安 若函数 f(x) |x 1| |2x a|的最小值为3,则实数 a 的值为 ()A 5 或 8 B 1 或 5C 1 或 4 D 4 或 89 D 解析 当 a 2 时,3x a 1( x> 1),f(x)x a1 a x 1 ,2 3xa1ax<2 .由图可知,当x a时, fmin(x) f a a 13,可得 a 8.222a,3x a1 x> 2当 a<2 时, f(x) x a 1 1 x a,2 3x a1( x< 1) .由图可知,当 x a时, fmin (x) f a a 1 3,可得 a 4.综上可知, a 的值为2224 或 8.cos x, x 0,1,10 2014 宁卷辽 已知 f( x)为偶函数,当x0 时, f( x)2则2x 1, x 1,2不等式f(x1) 12的解集为 ()1, 24, 7A. 4 33 4B. 3, 1 1, 2434 31347C. 3, 4 3,4D. 3, 1 1, 343340, 110A解析 由题可知,当x时,函数 f(x)单调递减,由cos x 1,得 1112113231;当 xx,时,函数 f(x)单调递增,由 2x 1 ,得 <x .故当 x 0 时,由 f(x),222242131的解解集为3,11,3,所以不等式得 x .又因为 f(x)为偶函数,所以f(x)3343424f(x 1)1的解满足3 x 11或1 x 13,解得 x 1,24, 7.243344334x( x2) 0,3、 2014 国卷全 不等式组的解集为 ()|x| 1A x| 2x 1B x| 1 x 0C x|0 x 1D x|x 13 C 解析 由x( x 2)>0 ,x>0或 x< 2,|x|<1,得即 0<x<1. 1<x<1 ,E3 一元二次不等式的解法x( x2) 0,3、 2014 全国卷 不等式组的解集为 ()|x| 1A x| 2x 1 B x| 1 x 0C x|0 x 1D x|x 13 C 解析 由x( x 2)>0 ,x>0或 x< 2,得即 0<x<1.|x|<1, 1<x<1 ,E4简单的一元高次不等式的解法E5简单的线性规划问题x y2 0,13 2014 安徽卷 不等式组x 2y4 0,表示的平面区域的面积为 _x 3y2 0134 解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,S ABD S ABD SBCD 1 2 (2 2)4.2y1,13 2014 北京卷 若 x,y 满足 xy1 0,则 z3x y 的最小值为 _xy1 0,131 解析 可行域如图, 当目标函数线 z y 3x 过可行域内 A 点时, z 有最小值,y 1,得 A(0, 1),故 zmin 30 1 11.联立x y1 0,x y 7 0,11,2014 福建卷 已知圆 C:(x a)2 (y b)2 1,平面区域:xy 3 0,若圆y0.心 C,且圆 C 与 x 轴相切,则 a2 b2 的最大值为 ()A 5 B 29C37 D 49x y 7 0,11 C 解析 作出不等式组x y3 0,表示的平面区域(如下图阴影部分所示,y 0含边界 ),圆 C: (x a)2(y b)2 1 的圆心坐标为 (a,b),半径为1.由圆 C 与 x 轴相切,得x y7 0, x 6,b 1.解方程组得即直线 x y 7 0 与直线 y1 的交点坐标为 (6,1),y 1,y 1,设此点为 P.又点 C,则当点C 与 P 重合时, a 取得最大值,所以, a2b2 的最大值为62 12 37,故选 C.x 2y 8,42014 广东卷 若变量 x,y 满足约束条件 0 x 4, 则 z2x y 的最大值等于 ()0 y 3,A 7 B 8C10 D 114D 解析 作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示作出直线l: 2xy 0,平移该直线,当直线经过点A(4, 3)时,直线 l 的截距最大,此时 z zx y 取得最大值,最大值是 11 .x y 4,4 2014 北卷湖 若变量 x, y 满足约束条件x y 2,则 2xy 的最大值是 ()x 0, y 0,A 2B 4C 7D 8x y 4,4 C 解析 作出约束条件x y 2, 表示的可行域如下图阴影部分所示x 0, y 0设 z 2x y,平移直线 2x y 0,易知在直线 x y 4 与直线 x y 2 的交点 A(3, 1) 处, z 2x y 取得最大值 7. 故选 C.y x,13 2014 湖南卷 若变量 x, y 满足约束条件x y 4,则 z 2x y 的最大值为y 1,_13 7 解析 依题意,画出可行域,如图所示xy 4,由得点 B 的坐标为 (3, 1),则 z 2x y 在 B(3, 1)处取得最大值 7.y 12x y 20,142014 辽宁卷 已知 x,y 满足约束条件 x 2y 40,则目标函数 z 3x 4y 的最大值为 _3x y 30,314 18 解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,由z3x 4y 得 y 4xzx 2y 40,x 2,4,当直线经过点C 时,z 取得最大值 由3x y 30, 得y 3, 故 C 点坐标为 (2,3),这时 z 3 2 4 318.x y0,152014 国卷全 设 x,y 满足约束条件x 2y 3,则 z x 4y 的最大值为 _x 2y 1,15 5 解析 如图所示,满足约束条件的可行域为ABC的内部 (包括边界), z x4y 的最大值即为直线11y 4x 4z 的截距最大时z 的值结合题意知,当11y 4x4z 经过点 A 时, z 取得最大值,联立xy 0 和x 2y 3,可得点A 的坐标为(1,1),所以zmax 1 4 5.xy1 0,92014 新课标全国卷 设 x,y 满足约束条件xy1 0, 则 z x 2y 的最大值x 3y 30,为()A 8 B 7C2 D 19B解析 作出约束条件表示的可行域 (略 ),可知该可行域为一三角形区域,当目标函数通过可行域的一个顶点(3, 2)时,目标函数取得最大值,zmax 3 2 2 7.112014 全国新课标卷 设 x,y 满足约束条件x y a,且 zx ay 的最小值为x y 1,7,则 a ()A 5 B 3C 5 或 3 D 5 或 311 B解析 当 a<0 时,作出相应的可行域,可知目标函数z x ay 不存在最小值当 a 0 时,作出可行域如图,易知当1 1,即 a 1 时,目标函数在A 点取得最a小值由 Aa 1,a 12 a,知 zmin a 1 a 7,解得 a 3 或 5(舍去 )22 22x y 1 0,当目标函数 z ax by(a>0,102014 山东卷 已知 x,y 满足约束条件2x y 30,b>0) 在该约束条件下取到最小值2 5时, a2 b2 的最小值为 ()A 5 B 4C. 5D 210 B解析 画出关于 x, y 的不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示显然当目标函数z ax by 过点 A(2,1)时,目标函数 z ax by 取得最小值, 即 2 52a b,所以 25 2a b,所以 a2 b2 a2 (2 5 2a)2 5a2 85a 20.构造函数 m( a)5a2 8 5a 20(0<a<5),显然当 a4 5时,函数 m(a)取得最小值4.故 a2 b2 的最小值为54.6、 2014 四川卷 执行如图 1-2的程序框图,如果输入的x,y R,那么输出的 S 的最大值为 ()图 1-2A 0 B 1 C 2 D 3x y 1,6C 解析 题中程序输出的是在x 0,的条件下 S2x y 的最大值与1 中较大y 0的数结合图像可得,当x 1, y 0 时, S 2x y 取最大值2, 2>1 ,故选 C.x y2 0,2 2014 津卷天 设变量x, y 满足约束条件x y2 0,则目标函数z x 2y 的最y1,小值为 ()A 2B 3C 4D 52 B 解析 作出可行域,如图中阴影部分所示x y 20,解得x 1,联立可得点 A (1, 1)y 1,y 1,当目标函数线过可行域内A 点时,目标函数有最小值z 1 1 2 13.x 2y 40,12 2014 浙江卷 若实数 x, y 满足 x y 10, 则 xy 的取值范围是 _x 1,121,3 解析 实数 x,y 满足的可行域如图中阴影部分(包括边界 ) 所示,图中 A(1,30),B(2,1),C 1, 2 .令 z xy,则 y xz.当直线 y x z 经过 A 点时, z 取最小值1;经过 B 点时, z 取最大值3.故 x y 的取值范围是 1, 3E6基本不等式abab29、 2014 庆卷重 若 log4(3a 4b) log2ab,则 a b 的最小值是 ()A 6 23 B 7 23C6 43 D 7 439 D 解析 由 log4(3a 4b) log2ab,得4 3 1,所以 a b (a3a 4bab,则 ab434b3a4b3a4b3ab)b 7 a b 7 2a b 743,当且仅当 a b ,即 a 423,ab 23 3 时等号成立,故其最小值是743.162014 湖北卷 某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆 /小时 )与车流速度 v(假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/ 秒 )、平均车长 l(单位:米 )的值有关,其公式为F76 000vv2 18v 20l.(1)如果不限定车型,l 6.05,则最大车流量为_辆 /小时;(2)如果限定车型, l 5,则最大车流量比 (1)中的最大车流量增加_辆 /小时16 (1)1900 (2)100解析 (1) 依题意知, l>0, v>0,所以当 l 6.05 时,76 000v76 00076 000 1900,当且仅当 v 11 时,取等号Fv2 18v 121121121 182v v 18v v(2)当 l 5 时,76 000v76 000 2000,Fv2 18v 100100 18v v当且仅当 v 10 时,取等号,此时比(1) 中的最大车流量增加100辆 /小时14、2014 江苏卷 若 ABC 的内角满足 sin A 2sin B 2sin C,则 cos C 的最小值是_14.6 2 解析 设 ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别是a, b, c,则由正弦定4理得 a2b 2c.故a2 b2a 2b 231231cosC a2 b2 c224a22b2 2 ab4a2 2b22 2ab2ab2ab2ab4232124a 2b2 62,2ab44a2当且仅当3a2 2b2,即 b3时等号成立16 2014 辽宁卷 对于 c0,当非零实数 a,b 满足 4a2 2ab b2 c 0 且使 |2a b|最大时, 1 2 4的最小值为 _abc4a2 2ab b2 c 0 , 所 以 (2a b)2 c 6ab 16 1 解 析 因 为( 2ab) 2b 2a,c 4a2 时, |2a b|取得最大3 2ab 34,所以 (2a b)2 4c,当且仅当2124 21 值故1 1 1,其最小值为 1.abcaa2a2221,2014 山东卷 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆 C:x2 y2 1(a>b>0) 的离心率为ab3,直线 y x 被椭圆 C 截得的线段长为 41025 .(1)求椭圆 C 的方程(2)过原点的直线与椭圆C 交于 A,B 两点 (A,B 不是椭圆 C 的顶点 )点 D 在椭圆 C 上,且 AD AB,直线 BD 与 x 轴、 y 轴分别交于 M, N 两点(i) 设直线 BD, AM 的斜率分别为 k1, k2,证明存在常数 使得 k1 k2,并求出 的值;(ii) 求 OMN 面积的最大值21 解: (1) 由题意知,a2 b23,可得 a2 4b2.a2椭圆 C 的方程可简化为x2 4y2 a2.将 y x 代入可得 x 5a5 .因此 2 2 5a410,即 a2,所以 b 1,55x2所以椭圆 C 的方程为 4 y2 1.(2)(i) 设 A(x1, y1)( x1y1 0), D( x2,y2),则 B( x1, y1)y1因为直线 AB 的斜率 kAB,且 AB AD,所以直线 AD 的斜率 k x1.1y设直线 AD 的方程为 y kx m,由题意知 k 0,m 0.y kxm,由 x2消去 y,得 (1 4k2) x2 8mkx 4m2 4 0,4 y2 1,所以 x1 x28mk 2,1 4k因此 y1 y2 k(x1 x2) 2m2m .1 4k2由题意知 x1 x2,所以 k1y1y2 1 y1x1x2.4k 4x1y1所以直线 BD 的方程为y y1(x x1)令 y 0,得 x 3x1,即 M(3x1,0) y1可得 k2 .12x11所以 k1 2k2,即 2.因此,存在常数 1使得结论成立2(ii) 直线 BD 的方程 y y1 y1 (x x1), 4x1令 x 0,得 y3 10,3y1.4y ,即 N4由 (i) 知 M (3x1, 0),1 3所以 OMN 的面 S2 3|x1| 4|y1|98|x1|y1|.2|x|2x11| 2 ,等号成立,因 |x1|y1| 4 y121,当且 当 2 |y1此 S 取得最大 9,8所以 OMN 面 的最大 98.E7 不等式的 明方法20、2014 天津卷 已知 q 和 n 均 定的大于1 的自然数, 集合 M 0 ,1,2,q 1 ,集合 A x|x x1 x2q xnqn 1, xiM , i1, 2, n (1)当 q 2, n 3 ,用列 法表示集合A.(2)设 s,t A,s a1 a2q anqn 1,t b1 b2q bnqn 1,其中 ai,biM,i 1,nn2, n. 明:若 a b , s t.20解: (1)当 q 2,n 3 , M 0 ,1 , A x|x x1 x22 x322,xi M,i 1,2, 3 ,可得 A 0 ,1, 2, 3, 4, 5, 6,7 (2) 明:由 s, t A, s a1 a2q an qn 1, t b1 b2q bnqn 1,ai, bi M,i1, 2, n 及 an<bn,可得n 2n 1s t (a1b1) (a2 b2)q (an 1 bn1)q (an bn)q (q 1) (q1)q (q 1)q n 2 qn 1( q 1)( 1 qn 1) qn 11 q 1<0,所以 s<t.E8不等式的 合 用16 2014 浙江卷 已知 数a, b, c 足 a b c0, a2 b2 c2 1, a 的最大 是 _16.6解析 方法一:令 b x, cy, x y a, x2 y2 1a2,此 直 x y3 a 与 x2y21 a2 有交点, 心到直 的距离d |a| 1 a2,解得 a22,所以236a 的最大 3 .方法二:将c ( a b)代入 a2b2c21 得 2b2 2ab 2a21 0,此关于 b 的方程有 数解, (2a)2 8(2a2 1) 0,整理得到 a2 2,所以 a 的最大 633 .9、 2014徽卷安 若函数 f(x) |x 1| |2x a|的最小 3, 数 a 的 ()A 5 或 8B 1 或 5C 1 或 4D 4 或 89 D 解析 当 a 2 时,3x a 1( x> 1),f(x)x a1 a x 1,2a 3xa 1 x<2 .由图可知,当x a时, fmin(x) f a a 13,可得 a 8.2223x a1x> a,2当 a<2 时, f(x) x a 1 1 xa,2 3x a1( x< 1) .由图可知,当 x a时, fmin (x) f a a 1 3,可得 a 4.综上可知, a 的值为222 4 或 8.9 2014 福建卷 要制作一个容积为4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20 元,侧面造价是每平方米10 元,则该容器的最低总造价是 ()A 80 元B 120 元C160 元D 240 元9 C

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