共边定理的应用.doc

共边定理的应用我们在上一期引入了共边定理，并对共边定理的应用进行了举例说明。接下来我们将给出更多的例子，你会发现难题并不一定非要用复杂的方法才能解决。共边定理看似平凡，但只要运用得当，也会成为解题的利器。我们先来回顾一下这个定理。共边定理若直线AB和PQ相交于点M（如图1，有四种情形），则有：。例1.如图2，已知的面积是1，AF=2FC，BD=DE=EC。求四边形GDEH的面积。解：四边形GDEH不是规则四边形，不能直接求其面积，可先求出，相减即得。由共边定理，得。由共边定理，得。所以。例2.如图3，的面积等于25，AE=ED，BD=2DC，则的面积之和等于_，四边形CDEF的面积等于_。解：利用共边定理，例3.如图4，中，CA。连接AE、BF、CD，围成。问：的面积是的面积的几分之几？解：由（由共边定理，），得。同理可得。所以。例4.如图5，三条交于一点的直线把分成6个小三角形。已知其中4个小三角形的面积，如图上所标。求的面积。解：根据共边定理，我们可以列出方程组（比如，而由共边定理知等于AO分BC的两部分的长的比。这个比等于（两个等高三角形）：从中选出容易计算的，如和，联立解得。所以，。对于例4，虽然使用共边定理能够轻松解答，但我们不能就此放过它。有必要进一步思考：为什么列出的三个方程，有一个竟然可以不用呢？是不是题目本身有什么问题？假设我们将84，40，30，35这四个数中的一个换成z，譬如将84换成z，那么方程组就有三个方程，三个未知数，也是可以求解的，但计算的难度就要增加不少了。由以上分析可以知道，如果我们已知6个小三角形中其中3个的面积，就可以求出其余3个小三角形的面积。那么我们可以判定例4有多余的条件，这多余的条件带来的好处就是使题目的难度降低了。本文的例4给予我们一个启示：对于较简单的题目，我们解答完成后，不要轻易丢弃，要做进一步思考，这样就可能得到更一般的结论，甚至还能发现题目中的漏洞。这对于提高我们的解题能力会大有裨益。