初值问题的数值解法.pdf

湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 第六章 常微分方程初值问题的数值解法_习题课 1 .欧拉法的局部截断误差的阶为 。 改进欧拉法的局部截断误差的阶为 。 三阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 。 四阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 。 2. 欧拉法的绝对稳定实区域为 。 二阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 。 三阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 。 四阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 。 3.求解初值问题欧拉法的局部截断误差是( ); yxy yxfy )( ),( 改进欧拉法的局部截断误差是( ); 四阶龙格库塔法的局部截断误差是( ). (A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5) 4. 改进欧拉法的平均形式公式是( ) .(A) )( ),( ),( cpk pkkc kkkp yyy yxhfyy yxhfyy (B) )( ),( ),( cpk pkkc kkkp yyy yxhfyy yxhfyy (C) )( ),( ),( cpk pkkc kkkp yy h y yxhfyy yxhfyy (D) )( ),( ),( cpk pkkc kkkp yyy yxhfyy yxhfyy 答案答案：(D) 5. 解微分方程初值问题的方法，( )的局部截断误差为O(h3). (A) 欧拉法 (B)改进欧拉法 (C)三阶龙格库塔法 (D) 四阶龙格库塔法 答案答案：(B) 解答解答：改进欧拉法的局部截断误差是二阶精度，O(h3)。 6. 对Euler公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法。 解：解：其局部截断为 )(,()()( 11nnnnn xyxhfxyxyT 对在处作Talor展开，有 )( 1n xy n x )()( 2 )()()( 3 2 1 hOxy h xyhxyxy nnnn 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 而且，因此其局部截断为 )(,()( nnn xyxfxy )(,()()( 11nnnnn xyxhfxyxyT )()( 2 )()( 3 2 hOxy h xyhxy nnn )()( nn xyhxy )()( 2 3 2 hOxy h n )( 2 hO 所以，显式Euler方法是1阶方法，其截断误差的主项是)( 2 2 n xy h 。 7.对隐式Euler公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法。 解：解：其局部截断为 )(,()()( 1111 nnnnn xyxhfxyxyT 对在处作Talor展开，有 )( 1n xy n x )()( 2 )()()( 3 2 1 hOxy h xyhxyxy nnnn 而且，也在处作Talor展开，有 )(,()( 111 nnn xyxfxy n x ) ()()()( 2 1 hOxyhxyxy nnn 所以，因此其局部截断为 )(,()()( 1111 nnnnn xyxhfxyxyT )()( 2 )()( 3 2 hOxy h xyhxy nnn ) ()()()( 32 hOxyhxyhxy nnn )()( 2 3 2 hOxy h n )( 2 hO 所以，隐式Euler方法也是1阶方法，其截断误差的主项是)( 2 2 n xy h 。 8.对梯形公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法. 解：解：其局部截断为 )(,()(,( 2 )()( 1111 nnnnnnn xyxfxyxf h xyxyT 对在处作Talor展开，有 )( 1n xy n x )()( 6 )( 2 )()()( 4 32 1 hOxy h xy h xyhxyxy nnnnn 而且， )(,()( nnn xyxfxy)(,()( 111 nnn xyxfxy ，对 )( 1 n xy 也在处作Talor展开， 有 n x )()( 2 )()()( 3 2 1 hOxy h xyhxyxy nnnn 所以，因此其局部截断为 )(,()(,( 2 )()( 1111 nnnnnnn xyxfxyxf h xyxyT 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 )()( 6 )( 2 )()( 4 32 hOxy h xy h xyhxy nnnn )()( 12 )( 2 )( 2 )( 2 )( 4 32 hOxy h xy h xy h xy h xy nnnnn )()( 12 4 3 hOxy h n )( 3 hO 所以，梯形公式是2阶方法，其截断误差的主项是)( 12 3 n xy h 。 9.用欧拉法解初值问题， 取步长h=0.2.计算过程保留4位小数. )( ).( y xxyyy 解解: h=0.2, f(x)=yxy2.首先建立欧拉迭代公式 )2 , 1 , 0)(4(2 . 0 ),( 2 1 kyxy yhxhyyyxhfyy kkk kkkkkkkk 当k=0，x1=0.2时，已知x0=0,y0=1，有 y(0.2)y1=0.21(401)0.800 0 当k1，x2=0.4时，已知x1=0.2, y1=0.8，有 y(0.4)y2=0.20.8(40.20.8)0.614 4 当k=2，x3=0.6时，已知x2=0.4,y2=0.614 4，有 y(0.6)y3=0.20.614 4(40.40.4613)0.800 0 10.用欧拉预报校正公式求解初值问题，取步长h=0.2,计算 y(0.2),y(0.4)的近似值，计算过程保留5位小数.l )( sin y xyyy 解解 步长h=0.2, 此时f(x,y)=yy2sinx. 欧拉预报校正公式为： ),(),( 2 ),( 111 1 kkkkkk kkkk yxfyxf h yy yxhfyy 校正值 预报值 有迭代公式： )sin( 1 . 0)sin1 . 09 . 0( )sin()sin( 2 )sin2 . 08 . 0( )sin( 1 2 11 1 2 11 2 1 2 1 kkkkkk kkkkkkkk kkk kkkkk xyyxyy xyyxyy h yy xyy xyyhyy 校正值 预报值 当k=0，x0=1, y0=1时，x1=1.2，有 .)sin.()sin.(xyyy .).sin.(.)sin.().(yy 当k=1，x1=1.2, y1=0.71549时，x2=1.4，有 . ).sin.(.)sin.(xyyy 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 ).sin.(.).sin.(. ).( yy =0.52608 11.用改进的欧拉法平均公式，取步长h=0.1，求解初值问题 1)0( )2 . 00( y xyxy 计算过程保留4位小数. 解解 首先建立迭代格式： kkkcpk kkkpkkc kkkkkp y h hhxxhhyyy xhhxhhyyxhfyy hyhxyxhfyy ) 2 1 ()1 ( 2 1 2 1 )1 (),( )1 (),( 2 11 2 1 2 1 当k=0时，x0=0,y0=1,x1=0.1,有 11. 11) 2 1 . 0 1 . 01 ( 1 . 01 . 00) 1 . 01 (1 . 0 2 1 2 1 y 当k=1时，x1=0.1, y1=1.11, x2=0.2,有 1242. 111. 1) 2 1 . 0 1 . 01 (2 . 01 . 01 . 0) 1 . 01 (1 . 0 2 1 2 2 y 12.（1）取步长）取步长 h=0.2,用改进用改进 Euler 法求解常微分方程初值问题法求解常微分方程初值问题 22, (0)yxyy 0在 在 x=0.6 上的解。上的解。 （2）对改进）对改进 Eluer 格式进行误差分析。格式进行误差分析。 解解:（1）改进）改进 Euler 公式公式 ) ,(),( 2 ),( 111 1 iiiiii iiii yxfyxf h yy yxhfyy 分别将分别将 x=0.2, 0.4,0.6,代入上式中计算即可！代入上式中计算即可！ (2)改进欧拉格式改进欧拉格式 11 1 21 2 ( ,) (, ii ii ii h 2 ) yykk kf x y kf xh yhk 23 4 1 ()()( )( )( )( )() 2!3! iiiiii hh y xy xhy xhy xy xyxO h 1 211 2222 11 ( ,)( ) (,)( ,)( ,)( , 1 ( ,)2( ,)( ,)() 2! iii iiiixiiyii xxiixyiiyyii kf x yy x kf xh yhkf x yhfx yhk fx y h fx yh k fx yh k fx yO h 3 ) 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 又又 1 ( )( ,)( ,)( )( ,)( ,) ixiiyiiixiiyii y xfx yfx y y xfx yfx y k 代入代入 11 2 ii h 2 yykk ，整理后，整理后 3 1 ()( )( ii )y xy xO h 13. （1）取步长为0.1，试用欧拉公式求解常微分方程初值问题 1)0( 1 y yxy 在x=0.4处的近似值(计算过程保留3位小数)； (2) 试用泰勒展式估计改进欧拉公式的局部截断误差。 解:（1）欧拉公式为: ) 1( 1 iiii yxhyy,计算结果为： i x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 i y 1.000 1.000 1.010 1.031 1.064 (2) 改进欧拉公式为 ) ,(),( 2 ),( 111 1 iiiiii iiii yxfyxf h yy yxhfyy 由于讨论的是局部截断误差，因而可设 )( ii xyy 又 ( , )yf x y ，,故有 ( , )( , ) xy yfx yy fx y )()(,(),( 11iiiii xyhxyhxfyxf = )()(,( 2 )(,( hOfyhhfxyxf ii xyxyxii 所以)()( 2 )()( 3 2 1 hOxy h xyhxyy iiii 而原方程的解连续可微，有 )()( 2 )()()()( 3 2 1 hOxy h xyhxyhxyxy iiiii 通过比较，两式中的次数低于三次的项相同，而三次项不相同，因而 h ) ()( 3 11 hOyxy ii 改进欧拉公式的局部阶段误差为. )( 3 hO 14.(1)取步长取步长，用改进的，用改进的 Euler 公式求解常微分方程初值问题公式求解常微分方程初值问题 0.1h 0)0( )( y ey yx 在处的近似值。 （计算结果保留三位小数）在处的近似值。 （计算结果保留三位小数） 0.3x (2)试分析改进欧拉法的局部截断误差。试分析改进欧拉法的局部截断误差。 解解:(1)改进改进 Euler 公式公式 ) ,(),( 2 ),( 111 1 iiiiii iiii yxfyxf h yy yxhfyy 分别将分别将 x=0,0.1,0.2,0.3 代入上式中计算即可！代入上式中计算即可！ 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 （2）改进欧拉格式）改进欧拉格式 11 1 21 2 ( ,) (, ii ii ii h 2 ) yykk kf x y kf xh yhk 23 4 1 ()()( )( )( )( )() 2!3! iiiiii hh y xy xhy xhy xy xyxO h 1 211 2222 11 ( ,)( ) (,)( ,)( ,)( , 1 ( ,)2( ,)( ,)( 2! iii iiiixiiyi xxiixyiiyyii kf x yy x kf xh yhkf x yhfx yhk fx y h fx yh k fx yh k fx yO h 3 ) ) i 又 1 ( )( ,)( ,)( )( ,)( ,) ixiiyiiixiiyii y xfx yfx y y xfx yfx y k 代入 11 2 ii h 2 yykk ，整理后整理后 3 1 ()( )( ii )y xy xO h 15.取步长取步长，用预估-校正法解常微分方程初值问题 2 . 0h 1)0( 32 y yxy ) 10(x 解： )32()32(1 . 0 )32(2 . 0 )0( 111 )0( 1 nnnnnn nnnn yxyxyy yxyy 即 04. 078. 152. 0 1 nnn yxy n 0 1 2 3 4 5 n x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 n y 1 1.82 5.8796 10.7137 19.4224 35.0279 16.用预估校正法求解(0 x1)，h=0.2，取两位小数。 1)0(y yxy 解：预估校正公式为 ),( ),( )( 2 1 12 1 211 kyhxhfk yxhfk kkyy nn nn nn n , 2 , 1 , 0 其中，h=0.2， yxyxf),(1 0 y4 , 3 , 2 , 1 , 0n ，代入上式得： n 1 2 3 4 5 n x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 n y 1.24 1.58 2.04 2.64 3.42 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 17.用欧拉法，预估用欧拉法，预估校正法求一阶微分方程初值问题校正法求一阶微分方程初值问题 1)0(y yxy ，在0 x（0.1）0.2近似解 解 （1）用欧拉法计算公式 1 . 0h nnnnnn xyyxyy1 . 09 . 0)( 1 . 0 1 ， 0,1n 计算得 9 . 0 1 y 82. 01 . 01 . 09 . 09 . 0 2 y （2）用预估校正法计算公式 1 , 0 )(05. 0 1 . 09 . 0 )0( 111 )0( 1 n yxyxyy xyy nnnnnn nnn 计算得 91. 0 1 y， 83805. 0 2 y 18.写出用四阶经典的龙格库塔方法求解下列初值问题的计算公式： 3 , 01;,01; (1) 1)2) (0)1; (0)1. y yxyxyx x y y 1 211 322 433 0.2 (,) (,)1.1()0.1 2222 1) (,)1.11()0.11 2222 (,)1. nnnn nnnnnn nnnnnn nnnn h kf xyxy hhhh kf xykxykxy hhhh kf xykxykxy kf xh yhkxhyhk 解：令 11234 1 21 32 43 1 222()0.222 (22)0.22141.22140.0214 6 3/(1) 3(0.1 )/(10.1) 2) 3(0.1)/(10.1) 3(0.2)/(10.2) 0.2 ( 6 nn nnnn nn nn nn nn nn xy h yykkkkxy kyx kykx kykx kykx yyk 1234 22).kkk 19. 证明对任意参数 ，下列龙格库塔公式是二阶的： t 123 1 21 31 (); 2 (,); (,); (1) ,(1) nn nn nn nn h yyKK Kf xy Kf xth ythK Kf xt h yt hK . 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 2 3 1 123 2 () ()()()(, ()(, () (, () 23 ()( (,)(,) 22 (,)(,)()( (,)(, n nnnxnnynnnn nnnnnxnn ynnnnnnxnn yh y xy xhy xfxy xfxy xf xy xh hh yyKKyf xyfxy th fxy thf xyO hf xyfxy 证：由一元函数的泰勒展开有 又由二元函数的泰勒展开有 ! 2 2 3 2 3 1 1 )(1)(,)(1)(,)() (,)(,)(,) (,)() 2 (), (, ()(, ()(, () (, ()() 2 () ynnnn nnnxnnynnnn nn nnnnxnnynnnn nn t hfxyt hf xyO h h yhf xyfxyfxyf xyO h yy x h yyhf xy xfxy xfxy xf xy xO h y xy 为考虑局部截断误差，设上式有 比较与 3 1111 ()() nnn Ry xyO h t 两式，知其局部误差为 故对任意参数 ，公式是二阶的。 20.已知一阶初值问题已知一阶初值问题 1)0( 5 y yy 求使欧拉法绝对稳定的步长h值。 解 由欧拉法公式 nnnn yhyhyy)51 (5 1 nn yhy )51 ( 1 相减得 01 )51 ()51 (ehehe n nn 当 151 h 时，4 . 00 h时，有 0 een 欧拉法绝对稳定。 21.试分析分析 Euler 方法的绝对稳定性方法的绝对稳定性 nnnnnnn yhyhyyxhfyy) 1(),( 1 )1 ( 11 hyy nn 当满足h 11h ，Euler方法绝对稳定。 所以Euler方法绝对稳定的区域为： 11 zz 绝对稳定区间为 ) 0 , 2( 若为实数，则 )0 , 2(h ，才能保证Euler方法绝对稳定。 试分析隐式分析隐式 Euler 方法的绝对稳定性方法的绝对稳定性 11 nnn hyyy nn y h y 1 1 1 当 0)Re( 时，对任意步长，h 1 1 1 0 h ， 所以隐式Euler方法恒绝对稳定。 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 试分析梯形方法：分析梯形方法： nn y h h y 2 2 1，易知恒稳定。，易知恒稳定。 改进的改进的 Euler 方法：方法： nn yhhy 2 1 )( 2 1 1 ，稳定区间为，稳定区间为 )0 , 2( 可见隐式方法的稳定性往往比显式方法好。 22.用梯形方法解初值问题用梯形方法解初值问题 0; (0)1, yy y 证明其近似解为 2 , 2 n n h y h 并证明当 时，它收敛于原初值问题的准确解 0h . x ye 解: 梯形公式为 ),(),( 2 111 kkkkkk yxfyxf h yy(k=0,1,2,n1) yyxf),( 2 11 kkkk yy h yy 整理成显式 kk y h h y 2 2 1 ( k=0,1,2,n1) 用k=n,n1,n2,1,0反复代入上式，得到 0 1 2 3 1 2 1 2 2 . 2 2 2 2 2 2 y h h y h h y h h y h h y n nnnn n n h h yy ,. n hnynhx用上述梯形公式以步长 经 步计算到故有 000 22 limlimlim 22 x n h x n hhh hh ye hh